文 /朱廣科

尺規(guī)作圖題新走向

文 /朱廣科

中考作圖題已不局限于對(duì)基本作圖技能的考查，取而代之的是一批立意活潑、設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)意的作圖題．該類作圖題大都聯(lián)系生活實(shí)際，要求學(xué)生必須進(jìn)行多方位、多角度、多層次探索，以檢驗(yàn)思維的靈活性、發(fā)散性、創(chuàng)新性．現(xiàn)以2016年中考試題為例，就各種創(chuàng)新題分類說(shuō)明，供你復(fù)習(xí)時(shí)參考．

一、圖形剪拼型

例1（2016年荊州卷）請(qǐng)用割補(bǔ)法作圖，將一個(gè)銳角三角形經(jīng)過(guò)一次或兩次分割后，重新拼成一個(gè)與原三角形面積相等的平行四邊形（只要求用一種方法畫出圖形，把相等的線段作相同的標(biāo)記）.

解：如圖1所示．

圖1

AE=BE，DE=EF，AD=CF.

點(diǎn)評(píng)：解答剪拼問(wèn)題需要進(jìn)行多方位、多角度、多層次的探索，能培養(yǎng)思維的靈活性、發(fā)散性和創(chuàng)新性.

二、圖形變換型

例2（2016年昆明卷）如圖2，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

圖2

（1）請(qǐng)畫出將△ABC向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖形；

（2）請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的圖形；

（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

圖3

圖4

責(zé)任編輯：王二喜

解：（1）如圖2所示.

（2）如圖3所示.

（3）找出A的對(duì)稱點(diǎn)A′（-1，-1），連接BA′，與x軸交點(diǎn)即為P，如圖4所示，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）．點(diǎn)評(píng)：觀察并挖掘變換條件，根據(jù)圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置.

三、利用網(wǎng)格的特征作圖

例3（2016年溫州卷）如圖5，在方格紙中，點(diǎn)A，B，P都在格點(diǎn)上．請(qǐng)按要求畫出以AB為邊的格點(diǎn)四邊形，使P在四邊形內(nèi)部（不在邊界上），且P到四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．

（1）畫出一個(gè)?ABCD；

（2）畫出一個(gè)四邊形ABCD，使∠D=90°，且∠A≠90°．

解：（1）如圖5．（2）如圖6.

圖5

圖6

點(diǎn)評(píng)：利用網(wǎng)格線的結(jié)構(gòu)特征和相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例找出對(duì)應(yīng)點(diǎn).

四、開放探究型

例4（2016年廣安卷）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求學(xué)生在5×5的正方形ABCD網(wǎng)格中（小正方形的邊長(zhǎng)為1）畫直角三角形，要求三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，而且三邊與AB或AD都不平行．畫四種圖形，并直接寫出其周長(zhǎng)（所畫圖象相似的只算一種）．

圖7

圖8

圖9

圖10

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于結(jié)論不確定的問(wèn)題，解題思路不同，推導(dǎo)深入程度不同，將得到不同的結(jié)論，它們均可作為問(wèn)題的答案.

五、閱讀理解型

例5（2016年連云港卷）光反射時(shí)，反射光線、入射光線和法線在同一平面內(nèi)，反射光線、入射光線分別在法線兩側(cè)，反射角等于入射角.如圖11，AO為入射光線，入射點(diǎn)為O，ON為法線（過(guò)入射點(diǎn)O且垂直于鏡面的直線），OB為反射光線，此時(shí)反射角∠BON等于入射角∠AON.

圖11

問(wèn)題思考：（1）如圖12，一束光線從點(diǎn)A處入射到平面鏡上，反射后恰好過(guò)點(diǎn)B，請(qǐng)?jiān)趫D中確定平面鏡上的入射點(diǎn)P，保留作圖痕跡，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

圖12

（2）如圖13，兩平面鏡OM、ON相交于點(diǎn)O，且OM⊥ON，一束光線從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)平面鏡反射后，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.小昕說(shuō)，光線可以只經(jīng)過(guò)平面鏡OM反射后過(guò)點(diǎn)B，也可以只經(jīng)過(guò)平面鏡ON反射后過(guò)點(diǎn)B.除了小昕的兩種做法外，你還有其他做法嗎？如果有，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出光線的行進(jìn)路線，保留作圖痕跡；

圖13

問(wèn)題拓展：（3）如圖14，兩平面鏡OM、ON相交于點(diǎn)O，且∠MON=30°，一束光線從點(diǎn)S出發(fā)，且平行于平面鏡OM，第一次在點(diǎn)A處反射，經(jīng)過(guò)若干次反射后又回到了點(diǎn)S，如果SA和AO的長(zhǎng)均為1m，求這束光線經(jīng)過(guò)的路程.

圖14

解：（1）如圖12，作A關(guān)于平面鏡ML的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交ML于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求.

證明：如圖12，作PN⊥ML，

∵A與A′關(guān)于ML對(duì)稱，∴∠1=∠2，

∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4，

∴AP是入射光線，PB是反射光線，即P為入射點(diǎn)．

（2）如圖13，作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A′，作B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，分別交OM、ON于點(diǎn)P、Q.光線的行進(jìn)路線為A→P→Q→B.

（3）如圖14，光線的行進(jìn)路線為S→A→B→C→B→A→S.

∵∠SAN=∠OAB=∠MON=∠30°，∴OB=BA，

∴這束光線經(jīng)過(guò)的路程為：SA+AB+BC+CB+BA+AS=

點(diǎn)評(píng)：理解光的反射定律與軸對(duì)稱關(guān)系，正確作圖是解題的關(guān)鍵.