王 強，劉永葆，徐慧東，賀 星，劉樹勇

（1.海軍工程大學 動力工程學院，武漢430033；2.湖南大學 機載與運載工程學院，長沙 410082）

外圈故障滾動軸承周期運動Neimark-Sacker分岔研究

王 強1，劉永葆1，徐慧東2，賀 星1，劉樹勇1

（1.海軍工程大學 動力工程學院，武漢430033；2.湖南大學 機載與運載工程學院，長沙 410082）

文章基于非線性理論，建立了三自由度非光滑系統(tǒng)軸承外圈故障模型，研究了該情況下，系統(tǒng)周期運動的Neimark-Sacker分岔現(xiàn)象和混沌等非線性行為。求出系統(tǒng)的切換矩陣，將得到的切換矩陣結合Floquet理論確定了該非光滑系統(tǒng)周期運動發(fā)生Neimark-Sacker分岔的條件。通過在碰撞面處建立Poincaré映射，用數(shù)值方法進一步揭示軸承系統(tǒng)的周期運動經(jīng)Neimark-Sacker分岔通向混沌的現(xiàn)象。發(fā)現(xiàn)當旋轉頻率接近臨界分岔點時，系統(tǒng)有一對Floquet特征乘子的模接近1，其余特征乘子模都小于1，系統(tǒng)發(fā)生Neimark-Sacker分岔，隨著旋轉頻率的增加，系統(tǒng)經(jīng)歷了典型的Neimark-Sacker分岔通向混沌的非線性行為。同時研究了不同的阻尼系數(shù)對系統(tǒng)分岔的影響，發(fā)現(xiàn)阻尼可以有效地延遲系統(tǒng)的分岔點。對該故障軸承系統(tǒng)分岔和混沌的研究，可為實際裝備安全運行及故障診斷提供依據(jù)，同時為設計提供理論指導和技術支持。

軸承；Floquet理論；倍化分岔；混沌

0 引 言

隨著船舶事業(yè)的大發(fā)展，燃氣輪機作為艦船的主動力正在逐步地發(fā)展，而目前燃氣輪機在運行過程中極易出現(xiàn)故障，幾年前某船在海上航行過程中，出現(xiàn)了多級葉片損壞，軸承嚴重失效的故障，造成了重大損失。在燃機用來發(fā)電的設備使用中，國內(nèi)外也出現(xiàn)了多起軸承損壞造成嚴重事故的情況。據(jù)統(tǒng)計軸承作為一個旋轉核心部件發(fā)生故障的概率占所有設備故障的30%，因此，本文針對這種情況，從最根本的軸承碰撞出發(fā)，研究了軸承在運轉過程中出現(xiàn)的分岔混沌等非線性振動行為，為設備的軸承設計、健康管理和預測診斷提供重要的理論依據(jù)。而碰撞問題屬于強非線性、非光滑系統(tǒng)的一種，常用的線性化假設已經(jīng)不能滿足需要，必須考慮非線性、非光滑因素的的影響。在光滑的非線性領域已有了很多成熟的理論，Lyapunov、Bendix、Dulac和Birkoff等人討論的系統(tǒng)的穩(wěn)定性、極限環(huán)以及不變流形等問題，而Poincare、Andronov和Bogolubov等人的如小參數(shù)法、坐標變形法、多尺度法、慢變參數(shù)法、KBM法、諧波平衡法、等效線性化方法等來逼近非線性系統(tǒng)的精確解[1]。隨著非線性理論的發(fā)展，出現(xiàn)了如混沌的結構和普適性、分岔、分形、突變、奇異性、奇怪吸引子、混純同步等等[2-3]，形成了非線性動力學中的主要概念以及理論基礎。而中心流行理論、分岔理論、奇異性理論、攝動理論等光滑系統(tǒng)的非線性理論在非光滑系統(tǒng)中，這些理論并不能完全適用或做很大修改，而且出現(xiàn)了許多常規(guī)光滑系統(tǒng)沒有的特殊非線性現(xiàn)象，如角點碰撞、粘滯—滑移分岔、C—型奇怪吸引子等。

目前非線性理論在各個領域有了突破和應用。國外，Shaw和Holmes[4]對一類在簡諧激振力作用下有單側約束的單自由度振子做了研究，用中心流形定理分析了周期運動的局部分岔，并通過同宿相截條件討論了混沌運動。Peterka[5]研究了具有粘滯阻尼的碰撞振子中的擦邊分岔、周期倍化分岔和鞍結分岔之間的轉遷現(xiàn)象。Kleczka等人[6]通過對不穩(wěn)定周期解延續(xù)及胞映射方法發(fā)現(xiàn)并討論了含間隙振子中混沌的激變現(xiàn)象。Leine等人[7]對非光滑系統(tǒng)周期解的不連續(xù)分岔作了進一步的研究，分析了伴隨基解矩陣的跳躍而發(fā)生的各種不連續(xù)分岔現(xiàn)象。Luo[8]研究了一個分段線性周期激勵系統(tǒng)，通過建立相應映射，研究了各類穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期運動。國內(nèi)，在醫(yī)學方面，陳方方，洪靈等人[9]根據(jù)一類具有時滯及非線性特性發(fā)生率的SIRS傳染病模型，將非線性發(fā)生率的引入其中，運用中心流形定理和規(guī)范型理論進行研究分析，給出了分岔方向及分岔周期解穩(wěn)定性的計算公式，利用特征值理論分析了模型的Neimark-Sacker分岔行為及平衡點的局部穩(wěn)定性。夏小飛，王俊松[10]基于分岔理論，通過神經(jīng)群模型興奮性和抑制性突觸增益的余維一分岔分析，分別給出了神經(jīng)群運行于單穩(wěn)、雙穩(wěn)、正常和異常極限環(huán)振蕩狀態(tài)的興奮性和抑制性突觸增益的單參數(shù)區(qū)間，進而通過興奮性和抑制性突觸增益的余維二分岔分析給出了神經(jīng)群運行于上述多種狀態(tài)的雙參數(shù)區(qū)域。在電力系統(tǒng)方面，王曉東，陳予恕[11]運用多尺度法和C-L方法研究了單機無窮大電力系統(tǒng)在外部周期性負荷擾動作用下的解析解及其穩(wěn)定性和主共振響應在不同系統(tǒng)參數(shù)下的不同分岔模式，發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)具有倍周期分岔、混沌、增幅振蕩失步等豐富動力學行為，可為電力系統(tǒng)中同步發(fā)電機使用提供理論指導。陳章耀等人[12]研究了自治與非自治電路系統(tǒng)在周期切換連接下的動力學行為及機理，采用系統(tǒng)周期切換的方法分析了Rayleigh振子的不同參數(shù)下，兩子系統(tǒng)的周期振蕩行為，及切換系統(tǒng)隨參數(shù)變化的最大李雅普諾夫指數(shù)及對應的分岔圖，研究了其復雜的非線性行為及振蕩機理。而研究最多的主要集中在非線性理論的研究和機械系統(tǒng)中存在各種非線性，鄭小武，謝建華等人[13]采用Floquet-Lyapunov理論將常系數(shù)系統(tǒng)的控制分岔行為的方法應用于一類具有周期系數(shù)的力學微分系統(tǒng)，研究了其控制平衡點分岔行為的有效性，設計了相應的控制器，將的Flip分岔行為和Neimark-Sacker分岔行為最后控制在周期一點。侯東曉等人[14]應用多尺度法和奇異性理論分析一類具有三勢阱Mathieu-Duffing振子系統(tǒng)在非自治情況下的余維三分岔特性，獲得系統(tǒng)在Smale馬蹄意義下混沌的閾值，研究了系統(tǒng)的混沌行為和安全盆分岔。王學弟等人[15]基于非線性動力系統(tǒng)的分岔控制理論，研究了一個新的非線性動力系統(tǒng)的Neimark-Sacker分岔極限環(huán)幅值的控制問題，對應本系統(tǒng)應用具體的非線性控制器實現(xiàn)了Neimark-Sacker分岔極限環(huán)幅值的反饋控制，時得到了計算極限環(huán)幅值近似值的計算公式。吳鴻濤，張艷龍[16]研究了在隨機干擾條件下對兩自由度碰撞振動系統(tǒng)倍化分岔的影響。柴林，吳曉明[17]建立了單自由度碰撞振動機械的通用動力學模型，研究了碰撞間隙、阻尼、剛度、激振頻率等參數(shù)對系統(tǒng)運動出現(xiàn)的分岔和混沌現(xiàn)象的影響。于海，陳予恕[18]針對航空發(fā)動機低壓轉子系統(tǒng)，采用降維方法將26維裂紋故障的高維非線性動力學模型降為2自由度的含有特征的低維非線性系統(tǒng)，得到了各種不同的分岔模式，反映了裂紋轉子的動力學特征。茍向鋒等人[19]建立了三自由度單級直齒輪副傳動系統(tǒng)的扭轉振動非線性動力學模型，結合系統(tǒng)相圖、Poincaré映射圖及FFT頻譜圖，分析了系統(tǒng)在激勵頻率變化時的動力學特性。李曉貞，朱如鵬[20]基于集中參數(shù)理論，建立了正交面齒輪多自由度耦合振動模型，采用龍格庫塔數(shù)值積分法對系統(tǒng)的動力學方程求解，得到隨摩擦系統(tǒng)變換的系統(tǒng)動態(tài)響應分岔特性。而目前單獨針對軸承本身的非光滑、非線性振動的研究還沒有。

軸承作為旋轉機械最核心的關鍵部件之一，軸承本身輕微異常振動反應在外圍的旋轉機械部件會有一個放大，尤其在高速旋轉的情況下，可能造成意想不到的后果，如燃機輪機等葉片的碰磨，振動破壞，機械設備的損壞，甚至造成人員的傷亡。軸承一旦發(fā)生破損等故障時會造成更嚴重的后果，因此本文針對軸承本身，建立軸承三自由度故障模型，研究軸承非光滑、非線性振動行為。

1 故障滾動軸承建模分析及運動過程

圖1 滾動軸承簡化模型Fig.1 The simplified rolling bearing model

根據(jù)軸承的滾動模型圖1（a）建立外圈存在故障的情況下軸承單個滾動體的簡化模型如圖1（b）所示。M1，M2，M3分別為內(nèi)圈與軸的等效質(zhì)量、滾動體質(zhì)量、外圈及機座的質(zhì)量，X1，X2，X3分別為M1，M2，M3的運動的位移；C1，C2，C3別為M1與M2的阻尼，M2與M3之間阻尼，M3與固定端阻尼，K1，K2，K3分別為三個物體之間的剛度，K4為發(fā)生故障時，外圈與滾動體之間的接觸剛度。F1sin（ Ω1T），F(xiàn)2sin（ Ω2T ）分別為作用在M1，M2的等效作用力，D為故障深度，Ω1與Ω2分別為轉軸和保持架的頻率，發(fā)生故障時Ω1與Ω2的關系為：

圖2 軸承模型二維相平面圖Fig.2 The two-dimensional phase plane of bearing model

內(nèi)圈轉動頻率為fr=N/60（N為轉軸轉速）；外圈轉動頻率fo=0；滾動體個數(shù)為Nb；接觸角為α；軸承節(jié)圓直徑；滾動體直徑d；外圈半徑R，內(nèi)圈半徑r，Ω1=fr，Ω2=fr/Nb。

為了描述該軸承系統(tǒng)的運動過程，引入一個分界面。首先定義邊界函數(shù)，E=X2-X3-D，分界面可表示如下：

表示物塊M2與M3剛接觸或分離，這樣狀態(tài)空間被分界面分成兩部分，如圖2所示。

根據(jù)上面的分析，可建立系統(tǒng)的運動學方程如下：

2 系統(tǒng)周期運動的Floquet特征乘子分析

將系統(tǒng)（3）和（4）寫為如下的規(guī)范式：

設系統(tǒng)（5）的一個解x（t）從區(qū)域v-出發(fā)，即x（ t0）∈v-。在t=tp時刻到達分界面Σ。系統(tǒng)在區(qū)間是連續(xù)的，相應的基解矩陣也是連續(xù)的。然而由于向量場f（ t， x（t））在分界面處的非光滑性使得相應的Jacobian矩陣在分界面處通常是不連續(xù)的，這將引起系統(tǒng)整個基解矩陣不連續(xù)，因此在不連續(xù)處需要求出相應的切換矩陣。

下面來求分界面處的切換矩陣。

（1）從區(qū)域v-進入?yún)^(qū)域v+時，對超平面Σ：e=x2-x3-d=0，有法向量n=［0，0，1，0，-1，0 ］T，設一周期解x（t）到達分界面Σ的時間為t1并交于點。在t1時刻計算切換矩陣如下

（2）從區(qū)域v+進入?yún)^(qū)域v-，設周期解x（t）到達分界面Σ的時間為t2并交于點，在時刻t2有切換矩陣

下面求各光滑區(qū)域的基解矩陣。在區(qū)域v-系統(tǒng)的運動方程為

因為我們研究的是系統(tǒng)（5）穿越了分界面的周期解，將切換矩陣（8）和（9）結合各子空間相應的基解矩陣（13）和（14）經(jīng)過合成可得全局的單值矩陣：

（16）式中，T=2nπ/ω1為系統(tǒng)周期的整數(shù)倍，n為自然數(shù)；t0表示初始時刻，t1和t2分別表示軌線到達分界面的兩段時間。

于是系統(tǒng)的Floquet特征乘子即為單值矩陣（16）的特征值。對于系統(tǒng)（5）這樣的非光滑系統(tǒng)，由于分界面是光滑的，系統(tǒng)的Floquet特征乘子是連續(xù)穿越單位圓周的。當一對Floquet特征乘子的模等于1，其它特征乘子仍位于單位圓內(nèi)時，系統(tǒng)（5）穩(wěn)定的周期解將發(fā)生Neimark-Sacker分岔。

3 數(shù)值分析

為了通過數(shù)值仿真進一步揭示滾動軸承系統(tǒng)（3）和（4）的倍化分岔通向混沌的現(xiàn)象，在分界面Σ處取Poincare截面如下：

其中：θ=ω1t；S=R（ mod 2π）為1個實數(shù)對2π取余數(shù)。

選取系統(tǒng)（3）和（4）的一組無量綱化參數(shù)：

以旋轉頻率ω1為分岔參數(shù)。

當ω1=2.831時（ωs為軸承臨界分岔的旋轉頻率），軸承故障系統(tǒng)對應的其中一對Floquet特征乘子為，接近單位圓周上的（1，0）點，其余特征值的模都小于1，位于單位圓內(nèi)，所有的特征值為：

由此可見軸承外圈故障系統(tǒng)在ω1=2.831時發(fā)生了Neimark-Sacker分岔。系統(tǒng)隨ω1變化的分岔圖如圖3所示。系統(tǒng)起初處于穩(wěn)定的單周期運動，如ω1=2.75時圖4所示的相圖和龐相萊截面圖。當ω1=2.95時，系統(tǒng)經(jīng)過了分岔點ω1=2.831發(fā)生了Neimark-Sacker分岔，如圖5所示的相圖和龐加萊截面圖。研究了當外圈m3發(fā)生Neimark-Sacker分岔時內(nèi)圈m1和滾動體m2的振動行為，其運動行為的龐相萊截面圖如圖6所示。同時研究了碰撞面處不同的阻尼系數(shù)對系統(tǒng)分岔點及相圖和龐相萊截面的影響，可以明顯看出，阻尼系數(shù)增加對系統(tǒng)的振動有很大的衰減作用，隨著阻尼系數(shù)的增大，系統(tǒng)的分岔點會逐漸增大甚至消失如表1所示。

表1 不同的阻尼系數(shù)ζ3對系統(tǒng)分岔的影響Tab.1 The influence of different damping coefficients ζ3on the bifurcation of system

圖3 系統(tǒng)的分岔圖Fig.3 The bifurcation diagram of the system

圖4 ω1=2.75時單周期運動的相圖和龐加萊截面圖Fig.4 The phase diagram and poincare section diagram of single periodic motion at ω1=2.75

圖5 ω1=2.95時運動的相圖和龐加萊截面圖Fig.5 The phase diagram and poincare section diagram at ω1=2.95

圖6 ω1=2.95時內(nèi)圈m1和滾動體m2的龐加萊截面圖Fig.6 The poincare section diagrams of inner ring m1and cage ball m2at ω1=2.95

當選取系統(tǒng)（3）和（4）的無量綱化參數(shù)：

d=0.000 1；f1=15；f2=0；m2=1；m3=2；ζ1=0.1；ζ2=0.2；k4=5.5；k2=2；k3=2；基本參數(shù)保持不變，當ζ3減小到ζ3=0.02時，以旋轉頻率ω1為分岔參數(shù)，依據(jù)Floquet理論及前面的公式推導，確定此時系統(tǒng)的分岔點。

當ω1=2.772 4時（ωs為軸承臨界分岔的旋轉頻率），軸承故障系統(tǒng)對應的其中一對Floquet特征乘子為，接近單位圓周上的（1，0）點，其余特征值的模都小于1，位于單位圓內(nèi)，所有的特征值為：

圖7 系統(tǒng)的分岔圖ζ3=0.02Fig.7 The bifurcation diagram of the system ζ3=0.02

由此可見軸承內(nèi)圈故障系統(tǒng)在ω1=2.772 4時發(fā)生了Neimark-Sacker分岔。系統(tǒng)隨ω1變化的分岔圖如圖7所示。

圖8 ω1=2.75時運動的相圖和龐加萊截面圖Fig.8 The phase diagram and poincare section diagram at ω1=2.75

圖9 ω1=2.9時運動的相圖和龐加萊截面圖Fig.9 The phase diagram and poincare section diagram at ω1=2.9

圖10 系統(tǒng)的分岔圖ζ3=0.04Fig.10 The bifurcation diagram of the system ζ3=0.04

同時選取系統(tǒng)（3）和（4）的無量綱化參數(shù)，基本參數(shù)保持不變，當ζ3增大到ζ3=0.04時，以旋轉頻率ω1為分岔參數(shù)，依據(jù)Floquet理論及前面的公式推導，確定此時系統(tǒng)的分岔點。

當ω1=2.879時（ωs為軸承臨界分岔的旋轉頻率），軸承故障系統(tǒng)對應的其中一對 Floquet特征乘子為，接近單位圓周上的（1，0）點，其余特征值的模都小于1，位于單位圓內(nèi)，該所有的特征值為：

圖11 ω1=2.85時運動的相圖和龐加萊截面圖Fig.11 The phase diagram and poincare section diagram at ω1=2.85

圖12 ω1=2.98時運動的相圖和龐加萊截面圖Fig.12 The phase diagram and poincare section diagram at ω1=2.98

由此可見軸承內(nèi)圈故障系統(tǒng)在ω1= 2.879時時發(fā)生了Neimark-Sacker分岔。系統(tǒng)隨ω1變化的分岔圖如圖10所示。

同時選取系統(tǒng)（3）和（4）的無量綱化參數(shù)，基本參數(shù)保持不變，當ζ3增大到ζ3=0.1時，系統(tǒng)的分岔圖如圖13所示。

圖13 系統(tǒng)的分岔圖ζ3=0.1Fig.13 The bifurcation diagram of the system ζ3=0.1

4 結 論

本文針對軸承內(nèi)圈破損故障，建立了軸承三自由度分段非光滑模型，應用F-loquet理論分析了該系統(tǒng)周期運動發(fā)生倍化分岔的條件。結果表明系統(tǒng)有1對Floquet特征乘子的模接近1，其余特征乘子的模小于1，系統(tǒng)發(fā)生了Neimark-Sacker分岔，數(shù)值仿真進一步調(diào)查了系統(tǒng)由單周期經(jīng)過分岔點通向Neimark-Sacker分岔的過程；研究了當外圈發(fā)生Neimark-Sacker分岔時對內(nèi)圈和滾動體的影響發(fā)生了類似Neimark-Sacker分岔行為；同時通過研究不同的阻尼系數(shù)對系統(tǒng)分岔的影響，發(fā)現(xiàn)阻尼可以有效地延長系統(tǒng)的分岔點，減少系統(tǒng)的分岔混沌等非線性行為。

致謝

非常感謝國家自然科學基金資助項目（51179197），國家海洋工程重點實驗室（上海交通大學）基金資助項目（1009）。

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Neimark-Sacker bifurcation of rolling bearing system with fault in outer ring

WANG Qiang1,LIU Yong-bao1,XU Hui-dong2,HE Xing1,LIU Shu-yong1
(1.College of Power Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China;2.College of Mechanical and Vehicle Engineering,Hunan University,Changsha 410082,China)

Piecewise non-smooth model of three-degree-of-freedom rolling bearing system with fault in outer ring is established by the method of the nonlinear theory.The bifurcations and chaos of bearing system are studied.The switching matrixes of system are obtained at the switching boundaries,and the Neim-ark-Sacker bifurcation of non-smooth bearing system is analyzed by combining the switching matrixes with the Floquet theory for smooth systems.The numerical method is used to further reveal the bifurcations and chaos of bearing system through estabilshing the Poincare mapping on the collision plane.Results show that when the rotating frequency is decreased to a critical bifurcation point,a pair of complex conjugate Floquet multipliers is on the unit circle and others into a unit circle,and the Neimark-Sacker bifurcation appears.With the increase of rotating frequency,the system has experienced the nonlinear dynamical behaviors of classical Neimark-Sacker bifurcations to chaos.Also the influence of different damping coefficients on the bifurcation of system is analyzed and it is found that the damping of system can effectivelyreduce the nonlinear behaviors of bifurcation and chaos.The study of bifurcation and chaos of the fault bearing system provides reliable basis for the design and fault diagnosis and provides theoretical guidance and technical support for the actual design in the safe and stable operation of large high-speed rotating machinery.

bearing;floquet theory;period-doubling bifurcation;chaos

TH212 TH213.3

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2017.05.013

1007-7294（2017）05-0621-12

2016-09-11

國家自然科學基金資助項目（51179197）；國家海洋工程重點實驗室（上海交通大學）基金資助項目（1009）

王 強（1985-），男，博士研究生，E-mail：wangqiang13000306@163.com。