廣東省深圳市坪山區(qū)坪山高級(jí)中學(xué)(518118)

姚融民●

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解讀幾何概型中的“一一對(duì)應(yīng)與等價(jià)轉(zhuǎn)化”

廣東省深圳市坪山區(qū)坪山高級(jí)中學(xué)(518118)

姚融民●

幾何概型是高中數(shù)學(xué)新課程的新增加的內(nèi)容之一，是等可能事件的概念從有限到無限的延伸.正是由于幾何概型的基本事件有無限多個(gè)，故在幾何概型測(cè)度的選取上至關(guān)重要，測(cè)度不同得到的概率會(huì)呈現(xiàn)不同的答案.隨機(jī)事件的概率是事件的本質(zhì)屬性，其取值是唯一確定的.同樣的題目出現(xiàn)不同答案，一定是在解題過程中出現(xiàn)了這樣或者那樣的問題.

人們?cè)诮忸}時(shí)總會(huì)專注于題目的已知條件，自然而然地將已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即將幾何概型的測(cè)度進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，從而忽略了在轉(zhuǎn)化過程中的等可能性問題.本文結(jié)合自身在教學(xué)過程中的遇到的幾道習(xí)題，進(jìn)行分析研討，形成一些認(rèn)識(shí)，與同仁探討，以期共同提高.

解1 顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為y=k(x+1)，代入(x-1)2+y2=3中得，

(k2+1)x2+2(k2-1)x+k2-2=0，

∵l與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，

一、已知條件對(duì)解題思路的影響

題案1的已知條件給出了點(diǎn)的坐標(biāo)，又給出了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，很容易引導(dǎo)解題者采用解1來解決， 不論題目設(shè)計(jì)者是有意為之，還是無心之舉，結(jié)果是帶領(lǐng)我們走進(jìn)一個(gè)無法自拔的思維誤區(qū).想糾正這個(gè)誤區(qū)，需與解2進(jìn)行對(duì)比分析

解1是此案的典型錯(cuò)解.事實(shí)上此題中定點(diǎn)直線系與x軸正方向所成的角是均勻分布的，是等可能的，故可以用角度作為此題的測(cè)度進(jìn)行計(jì)算，如解2.而解1轉(zhuǎn)化為直線的斜率之后，斜率在所得區(qū)間內(nèi)的分布是不均勻的，也就不符合等可能性.

二、探討解題思路而引發(fā)的思考

由于筆者沒有系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過概率的相關(guān)理論與知識(shí)，對(duì)于實(shí)數(shù)在這種一一對(duì)應(yīng)下的等可能問題該如何解釋，不能拿出理論依據(jù)進(jìn)行說明，只能通過幾何圖形在宏觀至微觀的過渡中進(jìn)行說明，也就是依據(jù)平均變化率至瞬時(shí)變化率(導(dǎo)數(shù))這一層次進(jìn)行說明解釋，得出結(jié)論如下，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

①對(duì)于函數(shù)y=f(x)，假設(shè)自變量x在定義域內(nèi)是均勻分布的，當(dāng)且僅當(dāng)f′(x)=常數(shù)時(shí)，函數(shù)值y在其值域內(nèi)是均勻分布的.

三、一一對(duì)應(yīng)不能確保等可能性，啟發(fā)思維

此題案實(shí)際上與著名的“貝特朗問題”有異曲同工之妙，事實(shí)上“貝特朗問題”自從1993年柯莫哥洛夫提出概率的公理化定義以后就能辯解清楚了(本文不再論述)，即幾何概型的測(cè)度選取至關(guān)重要，同樣的題目在不同的測(cè)度下得出的概率是不同的，究其原因就是將已知條件轉(zhuǎn)化為測(cè)度的過程中，雖然是等價(jià)轉(zhuǎn)化，但在轉(zhuǎn)化過程中沒有保證測(cè)度的等可能性.本文不在論述“貝特朗問題”.

針對(duì)題案1引發(fā)的疑問是：“直線系與x軸正方向所成的角是均勻分布的，是等可能的，此角與直線的斜率(正切值)是一一對(duì)應(yīng)的，如何理解實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)在一一對(duì)應(yīng)下，等可能性的不同.”這個(gè)疑問在高中階段很難與學(xué)生解釋清楚.而本題案的測(cè)度選取又不是很明確.故筆者列舉以下題案加以說明.

上面兩題的意圖把幾何概型結(jié)合不等式來進(jìn)行綜合考查，意圖顯而易見，屬于小綜合題，參考答案給出的是解1，既然解1是正確的，那么解2的問題在哪里呢？

那么此變式的解法應(yīng)該將y在區(qū)間上的分布認(rèn)為是均勻的，而x的分布是不均勻的，故用解2來解此變式.

題案2可以說明的問題是：“雖然x與y是一一對(duì)應(yīng)的，假設(shè)x在區(qū)間上是均勻分布的，而y在其區(qū)間上的分布即是不均勻的，反之亦然.”在此進(jìn)一步說明結(jié)論①.

綜上所述，對(duì)于幾何概型的概率計(jì)算，測(cè)度的準(zhǔn)確選取至觀重要.一般情況下我們應(yīng)該從題目的原始條件出發(fā)確定測(cè)度，也可以適當(dāng)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，化繁為簡(jiǎn)，但一定要確保在等價(jià)轉(zhuǎn)化過程中等可能性的保持.不論怎樣選取測(cè)度，都要從條件產(chǎn)生的等可能角度出發(fā)，從基本事件的等可能性出發(fā)，從建構(gòu)均勻分布的樣本空間出發(fā)，方能撥開迷霧，解決疑難.

[1]徐明. “幾何概型”教學(xué)釋疑—兼談“貝特朗悖論”[J].數(shù)學(xué)通訊，2009(6)(下半月)

[2]許麗麗，江澤.教育教學(xué)[J].福建基礎(chǔ)教育研究,2011(8)

[3]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，1983.

[4]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)3(必修)[M].北京：人民教育出版社，2007.

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