王樂洋，陳漢清

1. 東華理工大學測繪工程學院，江西 南昌 330013； 2. 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西 南昌 330013； 3. 江西省數(shù)字國土重點實驗室，江西 南昌330013

?

多波束測深數(shù)據(jù)處理的抗差最小二乘配置迭代解法

王樂洋1,2,3，陳漢清1,2

1. 東華理工大學測繪工程學院，江西 南昌 330013； 2. 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西 南昌 330013； 3. 江西省數(shù)字國土重點實驗室，江西 南昌330013

針對利用最小二乘配置處理多波束測深數(shù)據(jù)，存在二次曲面數(shù)學模型通常無法精確表征海底地形的整體變化趨勢以及觀測數(shù)據(jù)存在粗差或異常點時，常規(guī)方法給出的協(xié)方差函數(shù)不能精確表征其統(tǒng)計特性的問題，本文提出了一種抗差最小二乘配置迭代解法。該方法首先進行協(xié)方差函數(shù)和觀測值方差陣初始化，以多面函數(shù)擬合趨勢項，然后應用等價權抗差估計并通過迭代計算，最終給出穩(wěn)健的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)解及最小二乘配置解。利用本文提出的方法及傳統(tǒng)的方法處理實測的多波束測深數(shù)據(jù)，試驗結果表明，相比于傳統(tǒng)的方法，本文提出的方法能夠較好地表征海底地形的整體變化趨勢，一定程度上克服了多波束測深數(shù)據(jù)中粗差或異常點的影響。相比于傳統(tǒng)的抗差方法，本文方法更為有效地識別出測深數(shù)據(jù)中異常點，推估效果較好，具有穩(wěn)健性。

最小二乘配置；海底地形生成；協(xié)方差函數(shù)；抗差；趨勢項

近年來，在海底地形測量技術中多波束測深系統(tǒng)成為海洋測量的主要設備，給研究區(qū)域的海底地形構建帶來了豐富的數(shù)據(jù)資料[1]。高精度的海底地形地貌信息是保障海上船只航行及艦艇作戰(zhàn)訓練安全的必備資料，也是海洋工程、資源開發(fā)和海洋科學研究等多個應用領域的重要基礎信息[2]。為了提高海底地形構建的精度，必須采用合適的算法對多波束測深數(shù)據(jù)進行處理，眾多學者作了大量的研究工作[3]。文獻[3]提出了抗差Kriging擬合方法，該方法在精確估計的同時能夠檢測測深數(shù)據(jù)的異常點，但是該方法需要測深數(shù)據(jù)滿足平穩(wěn)假設或內蘊假設，只能對平坦的海底數(shù)據(jù)進行處理。

最小二乘配置最初是由Trarup提出，是用來研究地球形狀和重力場的一種數(shù)學方法[4]，隨后Moritz和Wolf對最小二乘配置作了進一步研究[5-6]。如今，最小二乘配置已被廣泛應用于地殼形變分析[7-9]、高程異常[10]、重力異常[11]、坐標轉換[12]等領域。文獻[13]將最小二乘配置應用于海道測量非定位點的估計中，利用區(qū)域深度場信息解算出非定位點的水深值，該方法方便精度評估，取得了不錯的效果。最小二乘配置能夠顧及多波束測深數(shù)據(jù)具有趨勢性和隨機性的影響，但無法探測出多波束測深數(shù)據(jù)中的粗差或異常點，針對于此問題，文獻[14]提出了一種抗差最小二乘配置方法進行處理，取得了良好的效果。文獻[15]對多波束測深數(shù)據(jù)處理的傳統(tǒng)抗差最小二乘配置方法和抗差Kriging擬合方法進行了比較分析，通過試驗驗證了在多波束測深數(shù)據(jù)處理中，最小二乘配置在模型上優(yōu)于Kriging擬合方法。但現(xiàn)有的多波束測深數(shù)據(jù)處理的配置法均基于二次多項式擬合趨勢項，一般情況下，特別是在海底地形起伏較大時，二次多項式難以表征海底地形的整體變化趨勢，甚至擬合的地形可能會出現(xiàn)“龍格現(xiàn)象”[16]，從而導致后續(xù)的經(jīng)驗協(xié)方差函數(shù)估計存在偏差；另一方面，由于海況環(huán)境、測量儀器以及人為等因素的影響，多波束測深數(shù)據(jù)不可避免的存在粗差點或異常點的情況，迫切需要一種有效的抗差方法進行處理。

為了解決以上兩個問題，提高多波束測深數(shù)據(jù)處理的精度，本文提出一種抗差最小二乘配置迭代解法，該方法以多面函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的二次多項式擬合海底地形的趨勢項，應用Huber權函數(shù)并通過迭代的方式求出經(jīng)驗協(xié)方差函數(shù)參數(shù)估計和最小二乘配置解。最后利用本文方法、傳統(tǒng)的抗差最小二乘配置方法及最小二乘配置方法進行實際的多波束測深數(shù)據(jù)處理，驗證了本文方法的有效性與可行性。

1 多波束測深數(shù)據(jù)處理的最小二乘配置方法

最小二乘配置方法能夠同時顧及到海底地形的趨勢項及隨機項，根據(jù)海底地形生成的特點，建立多波束測深觀測模型[17-18]

Z=GY+BX+Δ

(1)

(2)

式中，DΔ為測深值方差陣，PΔ為測深值權陣。將式(1)改寫成誤差方程形式

(3)

根據(jù)廣義最小二乘原則，構造目標函數(shù)

(4)

式中，PX為多波束測深已測點與未測點的權陣，由式(4)求自由極值，并通過整理，得

(5)

將式(3)代入式(5)，通過法方程解算，得到多波束測深數(shù)據(jù)處理的最小二乘配置解[17]

(6)

式中，P=(DΔ+DS)-1；DS為測深值已測點信號協(xié)方差；DS′S為測深值未測點信號與已測點信號的協(xié)方差。其中，DS和DS′S由經(jīng)驗協(xié)方差函數(shù)給出，常選定高斯函數(shù)進行擬合[8-9,14]

(7)

(8)

(9)

式中，(xi,yi)為i點測深值的坐標，Y=[abc

def]T為二次多項式模型待估參數(shù)。但一般情況下，特別是在海底地形起伏較大的區(qū)域，利用二次多項式擬合海底的整體連續(xù)變化趨勢可能會出現(xiàn)“龍格現(xiàn)象”[16]，不能夠精確地表征海底地形的整體連續(xù)變化情況。本文針對此問題，提出利用多面函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的二次多項式進行海底地形整體變化趨勢的擬合。

文獻[19—20]提出了多面函數(shù)模型來逼近不規(guī)則表面的思想，即任何的一個數(shù)學表面均可由一系列的數(shù)學表面的總和，以任意的精度進行逼近。文獻[21]提出了基于多面函數(shù)的最小二乘配置改進方法，該方法利用多面函數(shù)擬合地殼形變的趨勢項，并得到了較好的效果。假設海底地形的整體趨勢是一個連續(xù)不規(guī)則變化的表面，基于多面函數(shù)的優(yōu)良特性，利用多面函數(shù)對海底地形的整體趨勢項進行逼近[20]

(10)

式中，γi為待定系數(shù)，R為核函數(shù)，(xi,yi)為核函數(shù)的選定點坐標。其中，核函數(shù)R的表達形式為

(11)

h=Rγ

(12)

以多面函數(shù)擬合海底地形的整體連續(xù)變化趨勢，在最小二乘配置的框架下，把多面函數(shù)融入最小二乘配置中，此時基于多面函數(shù)的最小二乘配置函數(shù)模型為

Z=Rγ+BX+Δ

(13)

式中，Rγ表示海底地形的整體連續(xù)變化部分；R為n×m維的核函數(shù)矩陣；γ為m×1維的待定系數(shù)向量；BX為海底地形不規(guī)則變化的隨機部分。同理，根據(jù)廣義最小二乘原理，解得基于多面函數(shù)的最小二乘配置解[21]

(14)

2 多波束測深數(shù)據(jù)處理的抗差最小二乘配置迭代解法

2.1 觀測值初始權陣的確定

多波束測深系統(tǒng)是現(xiàn)今海洋測深的主要數(shù)據(jù)采集設備，它獲取的數(shù)據(jù)覆蓋范圍廣，采樣密度高等特點而被廣泛應用。但由于海洋測量相比于陸地測量存在較多的不穩(wěn)定因素，導致多波束測深數(shù)據(jù)存在粗差或異常點的情況較多，當多波束測深數(shù)據(jù)含有粗差或異常點時，給出的最小二乘配置解并非是一個最優(yōu)解。針對多波束測深數(shù)據(jù)含有粗差或異常點的問題，在文獻[21—24]的基礎上，本文提出了抗差最小二乘配置方法處理含有粗差或異常點的多波束測深數(shù)據(jù)。該方法首先進行觀測值權陣的初始化，具體權陣初始化步驟如下：

(1) 對多波束測深數(shù)據(jù)消除整體連續(xù)變化趨勢，求取初始殘差值

(15)

(2) 根據(jù)給出的殘差初始值，計算初始方差因子，利用該式去計算參數(shù)的抗差解具有50%的高崩潰污染率

(16)

(3) 選取Huber權函數(shù)計算權因子[14]

(17)

2.2 協(xié)方差函數(shù)的抗差擬合方法

經(jīng)驗協(xié)方差函數(shù)擬合的準確性是求解最小二乘配置問題的關鍵。經(jīng)驗協(xié)方差函數(shù)的擬合主要為求解協(xié)方差函數(shù)(式(7))的兩個參數(shù)解D(0)和k。由上述得到的更新后的觀測值權陣，代入式(8)，得到抗差后的D(0)解

(18)

(19)

(20)

(1) 首先對式(20)左邊的k2開根號處理，并取其中位數(shù)，計算其殘差值，即

(21)

(2) 根據(jù)給出的殘差初始值，計算初始方差因子

(22)

(3) 選取Huber權函數(shù)計算權因子

(23)

最后通過迭代計算，給出穩(wěn)健的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)k的值?？共钭钚《伺渲玫夥ǖ挠嬎悴襟E如下：

(1) 初始化協(xié)方差函數(shù)，給出協(xié)方差函數(shù)的初始值D(0)(0)=1，k(0)=0。利用觀測值中位數(shù)，初始觀測值方差陣，以多面函數(shù)擬合趨勢項，計算得到最小二乘配置的初始解；

(2) 由步驟(1)得到的初始最小二乘配置解，去除趨勢項，根據(jù)Huber權函數(shù)更新觀測值方差陣，隨后進行信號協(xié)方差統(tǒng)計，根據(jù)3.2節(jié)的方法得到協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)解D(0)和k；

(3) 由步驟(2)得到的新的協(xié)方差函數(shù)以及更新后的觀測值方差陣，計算信號協(xié)方差Ds，把Ds和更新后的觀測值方差陣代入式(14)，計算得到新的最小二乘配置解。

3 算例分析

本文數(shù)據(jù)來自于中國某海域，水深范圍為1100～1400 m，海底地形起伏變化較大。本文選取其中一個條帶作為試驗數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)量較大，冗余點較多，首先進行了數(shù)據(jù)抽稀處理，共選取886個多波束測深數(shù)據(jù)點，其中隨機抽取不含粗差的150個點作為檢核點，所有數(shù)據(jù)如圖1所示，星點為檢核點，其余為已測點。測深值等高線圖如圖2所示。

圖1 多波束測深數(shù)據(jù)分布圖Fig.1 Multi-beam data distribution map

圖2 原始數(shù)據(jù)測深等高線圖Fig.2 Contour map of raw data

為了驗證本文算法的有效性，分別利用本文算法、傳統(tǒng)抗差最小二乘配置方法、基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法和基于二次多項式的最小二乘配置方法進行多波束測深數(shù)據(jù)處理，設計的4種方案如下所示：

方案1：基于二次多項式的最小二乘配置法，該法以二次多項式擬合趨勢項，計算檢核點的水深值和外符精度；

方案2：基于二次多項式的傳統(tǒng)抗差最小二乘配置法，計算檢核點的水深值和外符精度；

方案3：基于多面函數(shù)的最小二乘配置法，該法以多面函數(shù)擬合趨勢項，計算檢核點的水深值和外符精度；

方案4：基于多面函數(shù)的抗差最小二乘配置迭代解法，該法以多面的函數(shù)擬合趨勢面，結合抗差的方法進行協(xié)方差函數(shù)擬合，計算檢核點的水深值和外符精度。

通過以上4種方案對實際多波束測深數(shù)據(jù)進行處理，4種方案的外符精度如表1所示，殘差統(tǒng)計如圖3所示。

表1 4種方案檢核點的殘差統(tǒng)計情況

Tab.1 Residual statistics of external check points using four schemes m

通過表1可以看出，基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法的各項指標均比傳統(tǒng)的基于二次多項式的最小二乘配置要優(yōu)。在外符精度上，基于多面函數(shù)的最小二乘配置(方案3)和基于二次多項式的最小二乘配置方法(方案1)的外符精度分別為0.935 86 m和1.205 97 m，相比于傳統(tǒng)的方法，基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法在外符精度上提高了0.270 11 m，說明了以多面函數(shù)擬合海底地形的趨勢項更能反映研究區(qū)域海底地形的整體連續(xù)變化的趨勢，去除趨勢項后得到的隨機變化部分也更為平穩(wěn)，因此可以利用該方法得到更為正確的信號值。通過比較兩種方法的殘差統(tǒng)計圖(圖3)，可以看出基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法給出的殘差小于傳統(tǒng)的基于二次多項式的最小二乘配置方法的殘差，進一步驗證多面函數(shù)擬合趨勢項的有效性。另一方面，通過比較分析傳統(tǒng)的抗差最小二乘配置方法(方案2)與基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法(方案3)可以發(fā)現(xiàn)，雖然傳統(tǒng)的抗差方法進行了抗差處理，但是由于二次多項式不能較好地表征海底地形的整個連續(xù)變化趨勢，使得后續(xù)由扣除趨勢項后得到的殘差進行擬合得到的協(xié)方差函數(shù)發(fā)生了偏差，導致推估的效果比沒有考慮到抗差的基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法要差。最后，本文抗差最小二乘配置方法的推估效果最好，在外符精度上，比基于二次多項式的最小二乘配置方法提高了0.308 13 m，比傳統(tǒng)的抗差最小二乘配置方法提高了0.317 94 m，比基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法提高了0.038 02 m，說明了本文抗差方法能在一定程度上克服多波束測深數(shù)據(jù)中粗差或異常點對最小二乘配置結果的影響；同時，相比傳統(tǒng)的抗差方法，本文方法推估精度更高。同樣的，為了進一步驗證本文抗差方法的有效性的，給出四種方案的經(jīng)驗協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)解，具體如表2所示。本文抗差最小二乘配置能夠在一定程度上抵抗多波束測深數(shù)據(jù)中粗差或異常點的影響，給出協(xié)方差函數(shù)更符合實際情況，更為客觀的反映點位之間的相關性。

表2 4種方案的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)解

Tab.2 Fitting results of covariance function parameters using four schemes

參數(shù)方案1方案2方案3方案4D(0)13.9217813.006262.440060.93110k26.95240×10-86.87077×10-85.97079×10-83.35709×10-7

圖3 4種方案檢核點殘差統(tǒng)計圖Fig.3 Residual statistics chart of external check points using four schemes

圖4 原始多波束測深數(shù)據(jù)TIN圖Fig.4 TIN chart of original multi-beam data

圖5 傳統(tǒng)抗差方法處理后的多波束測深數(shù)據(jù)TIN圖Fig.5 TIN chart of multi-beam data using traditional robust least squares collocation

圖6 經(jīng)本文抗差方法處理后的TIN圖Fig.6 TIN chart of multi-beam data using robust least squares collocation was proposed in this paper

4 結 論

為了進一步提高多波束測深數(shù)據(jù)處理的精度，本文提出了一種抗差最小二乘配置迭代解法，給出了具體的求解公式以及迭代算法，通過算例驗證了本文方法的有效性，得出了以下的結論：

(1) 針對現(xiàn)有配置法的趨勢項的二次曲面數(shù)學模型通常無法精確表征海底地形的整體連續(xù)變化趨勢的問題，本文提出以多面函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的方法擬合海底地形的趨勢項，通過算例驗證了該方法的有效性，進一步提高了配置法在多波束測深數(shù)據(jù)處理中的推估精度。

圖7 兩種抗差方法測深點等價權值概況Fig.7 Equivalent weight of sounding points for two robust methods

(2) 針對多波束測深數(shù)據(jù)存在粗差或異常點時，常規(guī)最小二乘配置方法給出的協(xié)方差函數(shù)不能精確表征其統(tǒng)計特性的問題，提出了一種抗差最小二乘配置迭代解法，以迭代計算的方式給出了經(jīng)驗協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)估計和最小二乘配置解，通過算例驗證了本文方法在一定程度上能夠克服多波束測深數(shù)據(jù)中粗差或異常點的影響，提高了推估的精度，相比于傳統(tǒng)的抗差方法，本文抗差方法能夠更為有效地識別出測深數(shù)據(jù)中的異常點。

最小二乘配置問題的關鍵是確定合理的協(xié)方差函數(shù)，接下來還需進一步研究協(xié)方差函數(shù)的確定方法，從而進一步提高最小二乘配置推估的精度。

致謝：感謝東華理工大學王勝平博士提供多波束測深數(shù)據(jù)。

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(責任編輯：陳品馨)

WANG Leyang (1983—), male, PhD, associate professor, majors in geodetic inversion and geodetic data processing.

Multi-beam Bathymetry Data Processing Using Iterative Algorithm of Robust Least Squares Collocation

WANG Leyang1,2,3,CHEN Hanqing1,2

1. Faculty of Geomatics, East China University of Technology, Nanchang 330013, China; 2. Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring, NASG, Nanchang 330013, China; 3. Key Laboratory for Digital Land and Resources of Jiangxi Province, Nanchang 330013, China

In the process of dealing with multi-beam bathymetry data by least squares collocation, the quadric curved mathematical model of trend term can not express accurately the whole variation trend of seafloor topography in general. Moreover, the covariance function estimated by general method is incapable of accurately expressing statistical characteristics with the multi-beam bathymetry data contains gross errors or outliers. So the iterative algorithm of robust least squares collocation is proposed in this paper. Firstly, the initial weight matrix of observations and the initial parameters of covariance function are both given in this method, then the trend term is fitted by polyhedral function and equivalent weights scheme is applied into robust estimation in this method. Finally, the robust parameters of covariance function and solutions of least squares collocation are iteratively calculated. The experimental results show that the method proposed in this paper can express well the whole variation trend of seafloor topography and overcome the effect of gross error or outlier in multi-beam bathymetry data to a certain extent. Compared with the conventional robust method, the proposed method in this paper more effectively probes the outliers in bathymetry data with the robust and better predicted results.

least squares collocation; seabed terrain generation; covariance function; robust; trend term

National Natural Science Foundation of China (Nos.41664001; 41204003); Support Program for Outstanding Youth Talents in Jiangxi Province (No.20162BCB23050); National Key Research and Development Program(No.2016YFB0501405); Science and Technology Project of the Education Department of Jiangxi Province (No.GJJ150595); the Project of Key Laboratory for Digital Land and Resources of Jiangxi Province(No.DLLJ201705).

王樂洋，陳漢清.多波束測深數(shù)據(jù)處理的抗差最小二乘配置迭代解法[J].測繪學報，2017,46(5)：658-665.

10.11947/j.AGCS.2017.20160491. WANG Leyang, CHEN Hanqing.Multi-beam Bathymetry Data Processing Using Iterative Algorithm of Robust Least Squares Collocation[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(5):658-665. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160491.

2016-10-17

王樂洋(1983—)，男，博士，副教授，主要研究方向為大地測量反演及大地測量數(shù)據(jù)處理。

E-mail： wleyang@163.com

P229

A

1001-1595(2017)05-0658-08

國家自然科學基金 (41664001; 41204003)；江西省杰出青年人才資助計劃項目(20162BCB23050)；國家重點研發(fā)計劃(2016YFB0501405)；江西省教育廳科技項目(GJJ150595) ；江西省數(shù)字國土重點實驗室開放研究基金(DLLJ201705)

修回日期： 2017-04-13