圖 雅, 何 艷, 高早春, 陳永壽, 田永威

(1. 沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034; 2. 中國原子能科學(xué)研究院, 北京 102413)

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時間反演不對稱投影后變分方法

圖 雅1, 何 艷1, 高早春2, 陳永壽2, 田永威1

(1. 沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034; 2. 中國原子能科學(xué)研究院, 北京 102413)

在HF(Hartree-Fock)平均場的基礎(chǔ)上,建立了新的投影后變分方法(Variation after projection即VAP方法)。由于算法中考慮了HF平均場的時間反演對稱性破缺,使得新的VAP方法能夠很自然地推廣到偶偶核的奇自旋態(tài),以及奇奇核和奇-A核的所有暈態(tài)計算中。采用這種新的VAP方法,初步計算了sd-殼原子核24Mg,25Mg,26Mg和26Al的暈帶,并將其與殼模型(Shell Model,SM)給出的準(zhǔn)確值進(jìn)行比較,結(jié)果發(fā)現(xiàn)二者非常接近。這表明VAP方法是一種非常有效的殼模型近似方法。同時,根據(jù)計算結(jié)果,分析認(rèn)為角動量投影在獲得良好的殼模型近似中起到了關(guān)鍵的作用。

超越平均場; 投影后變分; 原子核結(jié)構(gòu)

0 引 言

在原子核理論中,原則上,量子多體體系的波函數(shù)可以通過求解薛定諤方程而獲得。傳統(tǒng)殼模型[1]就是基于這種思想,但其在對重核的計算中遇到了很大困難。對于重核,其組態(tài)空間異常巨大,即使當(dāng)今最快的超級計算機(jī)也難以實(shí)現(xiàn)重核的殼模型計算,這直接阻礙了人們對于重核結(jié)構(gòu)性質(zhì)的深入研究。為了回避這一困難,人們引入比較簡單的平均場近似方法[2],以揭示原子核的粗塊性質(zhì)。其中比較成功且應(yīng)用廣泛的平均場方法有HF (Hartree-Fock)[3]和HFB(Hartree-Fock-Bogoliubov)[3]方法。但是平均場方法破壞了體系的對稱性,同時很多物理效應(yīng)被忽略,因此無法給出好的波函數(shù)。發(fā)展超越平均場方法,不僅可以大大改善平均場波函數(shù),而且為重核的殼模型近似計算提供了一條非常有效的途徑。

超越平均場方法[4-7]已經(jīng)成為研究量子多體體系的一類重要理論方法。其基本思想是,通過投影方法將平均場的對稱性進(jìn)行恢復(fù),得到的波函數(shù)具有好的量子數(shù),進(jìn)而能夠更好地描述量子多體體系的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。為了盡可能好地優(yōu)化波函數(shù),理想的辦法是將投影波函數(shù)進(jìn)行變分,即投影后變分(Variation After Projection,VAP)。到目前為止,在核理論中,VAMPIR[8-10]是比較成功的一種VAP方法。在VAMPIR計算中,同時考慮了粒子數(shù)投影和角動量投影,因此這需要很大的計算量。為了減少計算量,在通常的VAMPIR計算中,采用的平均場具有時間反演對稱性和軸對稱性。

在前人工作的基礎(chǔ)上,我們發(fā)展了自己的VAP[11]方法。在文獻(xiàn)[12]中,首次在VAP方法中引入三軸形變,并且首次實(shí)現(xiàn)了角動量(J),同位旋(T),以及質(zhì)量數(shù)(A)的同時投影。計算結(jié)果表明,角動量投影是獲得很好殼模型近似的關(guān)鍵,同時也引起了三軸形變的普遍出現(xiàn)。在該工作中,仍然保留了時間反演對稱性。這就使得VAP的計算僅限于偶偶核的偶自旋態(tài)。為了將VAP的計算推廣到偶偶核的奇自旋態(tài),奇-A 核和奇奇核,必須破壞平均場的時間反演稱性。

目前,在VAP中進(jìn)一步考慮時間反演對稱性破缺。同時為簡化計算,將HFB平均場變?yōu)镠F平均場。因?yàn)镠F平均場中粒子數(shù)是確定的,因此不必進(jìn)行粒子數(shù)投影。這不僅大大地優(yōu)化了計算,同時也能更清楚的揭示純粹角動量投影帶來的新現(xiàn)象。采用新的VAP方法,計算了sd-殼一些核的暈態(tài)能量。通過比較發(fā)現(xiàn),VAP能量值與殼模型給出的準(zhǔn)確值十分接近。

1 VAP理論框架

(1)

式中:N是歸一化常數(shù);而d是一個反對稱矩陣,其矩陣元dμν是決定|Φ〉的變分參量。可以通過改變dμν矩陣元來改變波函數(shù)|Φ〉。在這里設(shè)定dμν是復(fù)數(shù),形式如下(其中,xμν和 yμν均是實(shí)數(shù)。)

(2)

(3)

(4)

為簡單起見,記

(5)

(6)

其相對應(yīng)的投影能量EJ則可以展開為如下的形式

(7)

事實(shí)上,投影能量EJ及其相關(guān)的系數(shù)fk,可以通過求解Hill-Wheeler(HW)[13]方程同時獲得,

(8)

同時在這里,fk滿足歸一化條件〈ΨJ,M|ΨJ,M〉=1,

(9)

由于dμν是復(fù)數(shù),我們要對實(shí)部xμν和虛部yμν分別求一階偏導(dǎo)。對于實(shí)部xμν,EJ的一階偏導(dǎo)數(shù)為

(10)

(11)

對于虛部yμν處理方法與上式相同,只需將xμν換成yμν。

(12)

求二階偏導(dǎo)數(shù)的優(yōu)點(diǎn)在于:

1) 加快迭代的速度,提高計算效率。

2 計算結(jié)果與討論

在VAP計算中,采用的是USDB相互作用[14-15]。特別值得注意的是,在這里只用了一個HFSlater行列式進(jìn)行計算,并且在此基礎(chǔ)上只做了角動量(J)投影。這樣不僅能夠優(yōu)化算法,減少計算量,大大提高了計算的效率。而且,還能夠充分地表明,角動量投影是VAP近似方法取得成功的關(guān)鍵。換言之,角動量投影是獲得良好的殼模型近似的關(guān)鍵。

圖1 初期VAP計算結(jié)果與SM結(jié)果對比

圖2 后期VAP計算結(jié)果與SM結(jié)果對比

3 結(jié) 語

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The VAP calculations with time-odd Hartree-Fock mean field in nuclear many body theory

TU Ya1, HE Yan1, GAO Zaochun2, CHEN Yongshou2, TIAN Yongwei1

(1. College of Physics Science and Technology, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China; 2. China Institute of Atomic Energy, Beijing 102413, China)

We have implemented a new variation after projection (VAP) calculation based on the Hartree-Fock (HF) mean field. Due to the time reversal symmetry breaking of the mean field,the present VAP can be naturally extended to the yrast states in odd-A and odd-odd nuclei as well as the yrast states in the even-even nuclei. With the new VAP code,we calculated the yrast states in24Mg,25Mg,26Mg and26Al. All the calculated VAP energies are very close to the Shell Model(SM) ones. This clearly shows that the spin projection is very important in achieving a good approximation to the full shell model.

Beyond mean field method; Variation after projection; Nuclei structure

1673-5862(2017)02-0156-05

2016-03-07。

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項目(11305108); 國家自然科學(xué)基金理論物理專款項目(11047171)。

圖 雅(1979-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學(xué)副教授,博士。

O571.21

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.02.006