沈華嘉 江俊勤

(廣東第二師范學(xué)院物理與信息工程系,廣東 廣州 510303)

?

·現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)·

導(dǎo)體球面感應(yīng)電荷的電場(chǎng)與靜電屏蔽

沈華嘉 江俊勤

(廣東第二師范學(xué)院物理與信息工程系,廣東 廣州 510303)

基于疊加原理, 用數(shù)值分析法研究了導(dǎo)體球面感應(yīng)電荷的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的空間分布.用圖像直觀地說明導(dǎo)體球面感應(yīng)電荷電場(chǎng)的有趣性質(zhì):在球外,感應(yīng)電荷的電場(chǎng)正好等于像電荷所激發(fā)的電場(chǎng);在球內(nèi),感應(yīng)電荷的電場(chǎng)又剛好與源電荷的電場(chǎng)相互抵消,以保證導(dǎo)體內(nèi)無(wú)電場(chǎng)——靜電屏蔽.本文糾正了中學(xué)物理論文中關(guān)于接地導(dǎo)體球面感應(yīng)電荷分布的錯(cuò)誤表述.

感應(yīng)電荷的電場(chǎng);疊加原理;橢圓積分;像電荷;靜電屏蔽

在接地導(dǎo)體球附近放一個(gè)點(diǎn)電荷(以下稱之為“源電荷”),是靜電學(xué)里最典型最重要的例子,有電像法[1-3]和分離變量法[4]等多種解法,最巧妙的解法是電像法:用一個(gè)像電荷代替球面上感應(yīng)電荷對(duì)球外電場(chǎng)的貢獻(xiàn),簡(jiǎn)單地得到了球外電勢(shì)的空間分布,從而也就求得了電場(chǎng)強(qiáng)度的分布.

但是,對(duì)于“球面上的感應(yīng)電荷在導(dǎo)體球內(nèi)部所激發(fā)的電場(chǎng)怎樣分布”的問題,電像法只能避而不談,或者干脆說:[5]電像法不能用來求解像電荷所在區(qū)域——導(dǎo)體球內(nèi)部的電場(chǎng). 當(dāng)然,根據(jù)“靜電平衡的導(dǎo)體內(nèi)無(wú)電場(chǎng)”這個(gè)大道理,可以反推得出論斷“感應(yīng)電荷在導(dǎo)體球內(nèi)部所激發(fā)的電場(chǎng)必定與源電荷的電場(chǎng)處處相抵消”. 這個(gè)論斷固然符合事實(shí),但這種“說理”過于唯象和“生硬”,還是讓人感覺到某種遺憾. 能不能通過具體的計(jì)算來說明上述論斷呢?

由電像法得到的球外電勢(shì),容易求出球面感應(yīng)電荷的分布. 本文中我們將利用所求得的球面感應(yīng)電荷分布表達(dá)式,由疊加原理,通過Mathematica9.0的符號(hào)積分、數(shù)值積分以及數(shù)字繪圖相結(jié)合,反過來計(jì)算球面上感應(yīng)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)、用直觀的立體圖來說明球面上感應(yīng)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)的有趣性質(zhì). 實(shí)現(xiàn)這一計(jì)算并把結(jié)果繪制成圖像,對(duì)于理解這個(gè)系統(tǒng)的電場(chǎng)分布規(guī)律以及“靜電屏蔽”的機(jī)理是有幫助的.

1 球面感應(yīng)電荷面的密度與電勢(shì)表達(dá)式

源點(diǎn)電荷+q放在接地導(dǎo)體球附近,與球心距離為a,導(dǎo)體球的半徑為R,建立如圖1所示坐標(biāo)系,以球心為坐標(biāo)原點(diǎn),z軸過源點(diǎn)電荷. 根據(jù)電像法的結(jié)果,球外電勢(shì)為

圖1 在接地導(dǎo)體球附近放一個(gè)點(diǎn)電荷

(1)

由式(1)可求得球面感應(yīng)電荷的面密度

(2)

球面上點(diǎn)S的直角坐標(biāo)為x′=Rsinθcosφ,y′=Rsinθsinφ,z′=Rcosθ,觀測(cè)點(diǎn)P(x, 0,z)到S點(diǎn)的距離為

(3)

其中面積元dS=R2sinθdθdφ的電荷量為dq′=σdS=R2σ(θ)sinθdθdφ.

這個(gè)系統(tǒng)具有軸對(duì)稱性,只需研究y=0平面上任一點(diǎn)P(x, 0,z)的電場(chǎng)分布. 由疊加原理得球面感應(yīng)電荷在觀測(cè)點(diǎn)P(x, 0,z)處激發(fā)的電勢(shì)為

(4)

2 球面感應(yīng)電荷和全部電荷的電勢(shì)空間分布

式(4)是一個(gè)十分復(fù)雜的二重積分,尋找有效的計(jì)算方法是本研究的關(guān)鍵.

先對(duì)式(4)中的φ進(jìn)行積分,把結(jié)果表示為第一類完全橢圓積分K(φ)，

(5)

再把式(5)代入式(4),用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值積分法對(duì)θ做積分計(jì)算并進(jìn)行數(shù)字化繪圖,就可以得到電勢(shì)UG的空間分布圖. 由于本節(jié)的重點(diǎn)是計(jì)算球面感應(yīng)電荷激發(fā)的電勢(shì)UG,所以筆者同時(shí)繪制了UG分布圖和-UG分布圖,以便從上下兩個(gè)角度來觀測(cè)它,在實(shí)際計(jì)算時(shí),取R=0.5a, 并以a為長(zhǎng)度單位、U0=q/(4πε0a)為電勢(shì)單位,則結(jié)果如圖2和圖3所示.

接著給出源點(diǎn)電荷電勢(shì)為

的分布圖,如圖4所示,當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)趨近點(diǎn)電荷時(shí),電勢(shì)趨于無(wú)窮大,但圖形只能畫出有限的值,Mathematica會(huì)在所設(shè)定的范圍內(nèi)自動(dòng)截?cái)?形成整齊的頂部,這是由于采用點(diǎn)電荷模型造成的.

圖2 球面感應(yīng)電荷激發(fā)的電勢(shì)

圖3 -UG分布圖

圖4 源點(diǎn)電荷電勢(shì)UD的分布圖

最后給出UD和UG的疊加結(jié)果,如圖5所示.

3 電場(chǎng)強(qiáng)度的空間分布

電場(chǎng)強(qiáng)度是矢量,如果直接用庫(kù)侖定律和疊加原理來計(jì)算,則積分過程過于復(fù)雜、難以進(jìn)行,利用電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的關(guān)系,計(jì)算會(huì)方便得多.由

E=-(UD+UG)，

得

(6)

(7)

圖5 UD和UG的疊加結(jié)果

圖6 電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=Ex2+Ez2的分布圖

4 結(jié)論與討論

從圖2和圖3可見,球面上感應(yīng)電荷的激發(fā)的電勢(shì)是有限大小的(-2.5

UD和UG的疊加結(jié)果的電勢(shì)分布圖(圖5)直觀顯示:球內(nèi)(在y=0平面上為圓內(nèi))的電勢(shì)恒為0,球外電勢(shì)大于0,球面內(nèi)外電勢(shì)在球面處連續(xù).

圖6所示的總電場(chǎng)強(qiáng)度大小分布圖(即源點(diǎn)電荷和球面上感應(yīng)電荷的總貢獻(xiàn))清楚表明:球內(nèi)的電場(chǎng)恒為0,球面內(nèi)外電場(chǎng)突變,特別是在靠近點(diǎn)電荷的球面內(nèi)外兩側(cè),電場(chǎng)突變最強(qiáng),這說明該處球面的感應(yīng)電荷密度(絕對(duì)值)最大;而在離點(diǎn)電荷最遠(yuǎn)的球面內(nèi)外兩側(cè),電場(chǎng)突變最弱,這說明該處球面的感應(yīng)電荷密度(絕對(duì)值)最小,但仍然有少量感應(yīng)電荷.然而,有的中學(xué)物理論文[6]卻錯(cuò)誤地認(rèn)為“遠(yuǎn)端的負(fù)電荷導(dǎo)入大地”,即被大地的異性電荷中和了.

電場(chǎng)強(qiáng)度方向分布與等勢(shì)線圖(圖7)顯示:表示電場(chǎng)強(qiáng)度方向的每個(gè)箭頭都與所在點(diǎn)(所在點(diǎn)是箭頭的起點(diǎn),不是末端點(diǎn))處的等勢(shì)線相互正交,而且在導(dǎo)體球面上(在y=0平面內(nèi)為圓周上)的箭頭都指向球內(nèi)(圓內(nèi)),這直觀地說明感應(yīng)電荷都是負(fù)電荷.

圖7 電場(chǎng)強(qiáng)度方向和等勢(shì)線的分布圖

以上這些結(jié)果雖然都在預(yù)料之中,但面對(duì)Mathematica所給出的如此精美的圖案,仍然會(huì)令人驚訝,感嘆Mathematica在電場(chǎng)數(shù)字化上的強(qiáng)大表現(xiàn)力.

圖6和圖7形象直觀地表明:球面上按照式(2)分布的感應(yīng)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)很奇特: (1) 它在導(dǎo)體球外正好等于像電荷(電荷量q′=-qR/a的點(diǎn)電荷)所激發(fā)的電場(chǎng); (2) 在導(dǎo)體球內(nèi)又剛剛好與源電荷的電場(chǎng)相互抵消,使得導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度處處為0(展示了導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體是等勢(shì)體的微妙關(guān)系),這就是靜電屏蔽的實(shí)質(zhì).

1 郭碩鴻. 電動(dòng)力學(xué)[M]. 北京:人民教育出版社,1979:73-74.

2 林璇英,張之翔. 電動(dòng)力學(xué)題解[M]. 北京:科學(xué)出版社,2007:210-212.

3 杰克遜. 經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)(上冊(cè)) [M]. 朱培豫譯. 北京:高等教育出版社,1978:61-63.

4 鄭春開. 電動(dòng)力學(xué)解題指導(dǎo)[M]. 北京:北京大學(xué)出版社,2004:39-40.

5 張洪欣,沈遠(yuǎn)茂，韓宇南.電磁場(chǎng)與電磁波[M]. 北京.清華大學(xué)出版社, 2013:118-124.

6 趙建昌,許效專. 再談靜電平衡中的幾個(gè)問題[J]. 物理教學(xué)探討, 2000(2):34-35.

2016-11-10)