摘要：信息技術(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容以及方式產(chǎn)生了很大的影響。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況，合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，使之成為歸納推理的助手、探索創(chuàng)新的助手、滲透數(shù)學(xué)思想方法的助手，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂(lè)意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去。

關(guān)鍵詞：信息技術(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)思維導(dǎo)圖動(dòng)態(tài)幾何

最近，筆者在中國(guó)知網(wǎng)上檢索主題“高效教學(xué)”，發(fā)現(xiàn)論文有800多篇；檢索主題“高效教學(xué)”并且包含“數(shù)學(xué)”，發(fā)現(xiàn)論文有20多篇；檢索主題“高效數(shù)學(xué)教學(xué)”并且包含“信息技術(shù)”，發(fā)現(xiàn)論文為0篇。從這組數(shù)據(jù)可以看出，目前對(duì)“高效教學(xué)”的研究還沒(méi)有大面積展開(kāi)，理論研究的成果還不是太多，尤其是與具體學(xué)科（如數(shù)學(xué)）的融合還不夠。本文將從運(yùn)用信息技術(shù)這一角度，談?wù)勅绾芜M(jìn)行高效數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、高效數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵

吳增生的《3B教育理念下的數(shù)學(xué)高效課堂教學(xué)策略初探》一文認(rèn)為，高效教學(xué)指的是通過(guò)教師組織引導(dǎo)，所有學(xué)生都產(chǎn)生高效率學(xué)習(xí)行為的課堂生態(tài)系統(tǒng)。高效率的核心是在單位時(shí)間里取得學(xué)習(xí)的高收益，即盡可能好的學(xué)習(xí)效果。數(shù)學(xué)教育應(yīng)該是更關(guān)注基于腦、適于腦和發(fā)展腦的教育。王光明教授在《高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的歸因》《高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的特征》兩文中指出，高效的數(shù)學(xué)教學(xué)是通過(guò)優(yōu)化教學(xué)行為，將各個(gè)環(huán)節(jié)高效地整合到一起，促進(jìn)學(xué)生高效地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，并獲得優(yōu)秀的認(rèn)知成績(jī)、良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感、較強(qiáng)的效率意識(shí)、濃厚的理性思維、較強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的行為。高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為與低效教學(xué)行為相比，應(yīng)該凸顯科學(xué)性、智慧性與藝術(shù)性等特征。高效數(shù)學(xué)教學(xué)往往都是在研究教材和學(xué)生的基礎(chǔ)上，考慮如何創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)教學(xué)情境與問(wèn)題。楊田、王廣輝在《透視高效數(shù)學(xué)課堂教學(xué)行為》一文中指出，高效數(shù)學(xué)教學(xué)有清晰的教學(xué)流程、豐富的教學(xué)語(yǔ)言、精選的教學(xué)問(wèn)題，輔助教學(xué)行為有真誠(chéng)的教師情感、深入的課堂交流……筆者認(rèn)為，高效數(shù)學(xué)教學(xué)是一種理想的追求，它不能只停留在某一節(jié)課或某幾節(jié)課的高效上，更應(yīng)關(guān)注的是長(zhǎng)遠(yuǎn)的、能促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展和幸福成長(zhǎng)的高效。

二、信息技術(shù)：時(shí)代的需求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在基本理念中指出：信息技術(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實(shí)效。同時(shí)，要充分考慮信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開(kāi)發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂(lè)意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》提倡利用信息技術(shù)來(lái)呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，盡可能使用科學(xué)型計(jì)算器、各種數(shù)學(xué)教育技術(shù)平臺(tái)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合；鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)。

祁平的《新課程背景下數(shù)學(xué)教學(xué)的哲學(xué)思考》一文呼吁，現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)上的應(yīng)用要在有效性上下功夫，要成為完善和改進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)方法（手段）、提高教學(xué)效率的現(xiàn)代“技術(shù)”。教師要正確處理好“傳統(tǒng)”與“現(xiàn)代”的關(guān)系，讓技術(shù)的運(yùn)用科學(xué)有效，并使學(xué)生經(jīng)歷 “無(wú)圖語(yǔ)言→有圖語(yǔ)言→動(dòng)感圖語(yǔ)言→無(wú)圖語(yǔ)言”的思維過(guò)程，這樣學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)才更為深刻。

楊田、王廣輝的《透視高效數(shù)學(xué)課堂教學(xué)行為》一文指出，應(yīng)把控制好課件展示的時(shí)機(jī)，把多媒體作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的有力工具，使學(xué)生有更多的時(shí)間投入到探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去。

由此可以看出，如果能充分發(fā)揮信息技術(shù)這一得力助手的作用，定能有效促進(jìn)高效數(shù)學(xué)教學(xué)工作的開(kāi)展。

三、信息技術(shù)：高效數(shù)學(xué)教學(xué)的得力助手

常見(jiàn)的信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中已經(jīng)發(fā)揮了一定的作用。比如，函數(shù)圖像的教學(xué)中，可以避免大量重復(fù)的畫圖過(guò)程；正方體側(cè)面展開(kāi)的動(dòng)畫呈現(xiàn)豐富了學(xué)生的直覺(jué)感知；一些隨機(jī)試驗(yàn)（如模擬蒲豐投針計(jì)算π的近似值）得以在課堂內(nèi)實(shí)現(xiàn)……這些靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的演示極大地提高了數(shù)學(xué)教學(xué)的效率，但這只是淺層次的高效數(shù)學(xué)教學(xué)，我們更需要的是那些深層次的，能促進(jìn)學(xué)生思考、啟迪學(xué)生思維、激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的高效數(shù)學(xué)教學(xué)。

（一）歸納整理的助手

以思維導(dǎo)圖（iMindMap）軟件為例，它是歸納整理的得力助手。在數(shù)學(xué)教學(xué)開(kāi)始階段，思維導(dǎo)圖就是一張很好的“知識(shí)地圖”；在數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)束階段，思維導(dǎo)圖有助于學(xué)生良好知識(shí)體系的形成——學(xué)生通過(guò)對(duì)知識(shí)的歸納整理，使概念之間的聯(lián)系更為清晰。思維導(dǎo)圖是20世紀(jì)60年代英國(guó)人托尼·巴贊創(chuàng)造的一種筆記方法，與傳統(tǒng)的直線記錄方法完全不同，以直觀形象的圖式建立起各概念之間的聯(lián)系。它往往是從一個(gè)主要概念開(kāi)始，隨著思維的不斷深入，逐步建立的一個(gè)有序的、發(fā)散的圖。它是對(duì)思維過(guò)程的導(dǎo)向和記錄。學(xué)生可以通過(guò)思維導(dǎo)圖迅速掌握整個(gè)知識(shí)架構(gòu)，從而有利于直覺(jué)思維的形成，促進(jìn)知識(shí)的遷移。

以余弦定理的教學(xué)為例，在該章的復(fù)習(xí)課上，師生共同合作，最后構(gòu)造出如圖1所示的思維導(dǎo)圖，由此留在學(xué)生腦海中的將是一幅有關(guān)余弦定理的美麗畫面。學(xué)生若能結(jié)合其中的主要數(shù)學(xué)思想和證明方法等，浮現(xiàn)出體現(xiàn)相應(yīng)內(nèi)容的例題或習(xí)題，他們對(duì)余弦定理的理解將更為豐滿。

（二）探索創(chuàng)新的助手

波利亞曾指出，形成過(guò)程中的數(shù)學(xué)看上去是一種實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)，形成后的數(shù)學(xué)看上去是歐幾里得方式表現(xiàn)出來(lái)的一種系統(tǒng)演繹科學(xué)。技術(shù)的進(jìn)步為學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦再現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，獲取“做數(shù)學(xué)”的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)提供了更多便利的工具。幾何畫板、Z+Z智能教育平臺(tái)、GeoGebra等動(dòng)態(tài)幾何軟件（DGS）中的幾何圖形設(shè)計(jì)都是以歐式幾何為理論，構(gòu)造的圖形精確而清晰，具有強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)性和可操作性，可以讓學(xué)生在基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)——如計(jì)算、抽象、假設(shè)（猜想）、證明、應(yīng)用、驗(yàn)證、建模、提出問(wèn)題并解決問(wèn)題——的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)“變異”，抓住數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西，看到數(shù)學(xué)的靈魂，最終學(xué)會(huì)“做數(shù)學(xué)”。

如在復(fù)習(xí)課中，借助信息技術(shù)，可以高效地把與拋物線焦點(diǎn)弦相關(guān)的知識(shí)串接起來(lái)。如圖2所示，繪制拋物線y2=2px（p>0），過(guò)焦點(diǎn)F構(gòu)造一條直線l，l與拋物線相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)。當(dāng)直線l與拋物線的對(duì)稱軸垂直時(shí)，容易得到y(tǒng)1=-p，y2=p，從而有y1y2=-p2。改變直線l的傾斜角，借助幾何畫板的度量和計(jì)算功能，發(fā)現(xiàn)依然有y1y2=-p2。學(xué)生的探究欲望被激起，紛紛思考為什么。進(jìn)而通過(guò)構(gòu)造點(diǎn)A、B在準(zhǔn)線上的射影M、N，測(cè)量∠MFN的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)等于90°。改變直線l的傾斜角，依然有∠MFN=90°。學(xué)生中很快有人發(fā)現(xiàn)，可能會(huì)有一系列與拋物線有關(guān)的定值問(wèn)題出現(xiàn)。學(xué)生的思維迅速打開(kāi)，思維的深度和廣度都得以提升，繼而探索出如下一些結(jié)論。如圖3，過(guò)點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn)M，有：（1）∠AMB=90°，∠MFB=90°；（2）點(diǎn)M的橫坐標(biāo)不變，即兩切線的交點(diǎn)軌跡是一條直線（即拋物線的準(zhǔn)線）。如圖2，有：A、O、N三點(diǎn)共線，B、O、M三點(diǎn)共線。有的學(xué)生借助幾何畫板中點(diǎn)的分離與合并功能，把焦點(diǎn)F替換成x軸（即拋物線對(duì)稱軸）上的一點(diǎn)P（x，0），其中x>0，觀察發(fā)現(xiàn)依然有x1x2、y1y2為定值這個(gè)結(jié)論……師生結(jié)合變易理論和動(dòng)態(tài)幾何“變中不變”的關(guān)系，在四種變易范式（對(duì)比、分離、融合和類比）指導(dǎo)下，由動(dòng)態(tài)幾何的“變”（即拖動(dòng)）探尋變中之“不變”（即根據(jù)實(shí)時(shí)測(cè)量，從量的角度刻畫不變屬性），為探索創(chuàng)新提供了有力的“武器”。

又如，在三角形全等判定定理的教學(xué)中，一種大膽的教學(xué)方法如下：借助信息技術(shù)，在幾何畫板中先任意畫一個(gè)△ABC，然后讓學(xué)生畫一個(gè)與它形狀和大小都一樣的△A′B′C′。學(xué)生經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的嘗試，得到若干種方法：

（1）如圖4，在△ABC所在平面上任取一點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作l1∥AB，l2∥BC。然后，以點(diǎn)B′為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，與l1相交于點(diǎn)A′。再以點(diǎn)B′為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫圓，與l2相交于點(diǎn)C′。則△A′B′C′即為所求（當(dāng)然△A′′B′C′′也是滿足要求的三角形）。

此法包含的就是“邊角邊”的判定定理。

（2）如圖5，在△ABC所在平面上任取一點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作l1∥BC。然后，以點(diǎn)B′為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫圓，與l1相交于點(diǎn)C′。再以點(diǎn)B′為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，以點(diǎn)C′為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫圓，兩圓相交于點(diǎn)A′。則△A′B′C′即為所求。

此法包含的即是“邊邊邊”的判定定理。

學(xué)生在拖動(dòng)點(diǎn)A（或B、C）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)不管原來(lái)△ABC的形狀、大小和位置如何變化，按照他們構(gòu)造的方法所繪制的三角形也同步變化（保持全等），動(dòng)態(tài)感受了兩個(gè)三角形全等的判定定理。

借助信息技術(shù)營(yíng)造孕育數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的可視化環(huán)境，為情境建構(gòu)了物理的模擬模型，這是一種高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。它改變了定理、結(jié)論的呈現(xiàn)形式，使學(xué)生于其中獲得發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)；它在變化中凸現(xiàn)其不變性，使學(xué)生于其中獲得分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。由此，學(xué)生真正感受到信息技術(shù)給予的一種探索創(chuàng)新，體會(huì)到高效數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)的樂(lè)趣。

（三）滲透數(shù)學(xué)思想方法的助手

下面簡(jiǎn)要以數(shù)形結(jié)合思想和極限思想為例加以闡述。

“形缺數(shù)時(shí)少直觀，數(shù)缺形時(shí)難入微”，信息技術(shù)為抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)新的生機(jī)與活力，高效地豐富了數(shù)形結(jié)合的思想。許多代數(shù)問(wèn)題先借助信息技術(shù)進(jìn)行幾何化，從結(jié)果著手，有了直觀認(rèn)識(shí)后，再進(jìn)行代數(shù)方法的求解，則會(huì)事半功倍。比如，求方程ax=logax（a>0且a≠1）的解，很多學(xué)生畫出簡(jiǎn)單的示意圖（如圖6）后，發(fā)現(xiàn)有時(shí)有一個(gè)解，有時(shí)無(wú)解。在不借助于信息技術(shù)的條件下，是很難想象到有兩個(gè)、三個(gè)解的情況的。如果先借助幾何畫板，作出兩個(gè)函數(shù)y=ax和y=logax的圖像，然后改變參數(shù)a的值，觀察圖像的變化（如圖7），再去思考為什么，學(xué)生的研究將不再是盲目的、低效的。

信息技術(shù)改變了傳統(tǒng)的粉筆加黑板的教學(xué)方式，為極限思想的教學(xué)創(chuàng)造了有利條件。比如，在圓面積公式的推導(dǎo)中，傳統(tǒng)的方法是：教師先展示把圓面平均分成8份、16份和32份后進(jìn)行拼接，然后告訴學(xué)生當(dāng)分割的份數(shù)越來(lái)越多的時(shí)候，所拼成的圖形越來(lái)越接近長(zhǎng)方形。事實(shí)上，學(xué)生對(duì)這兩個(gè)“越來(lái)越”的體會(huì)并不深刻。如果借助信息技術(shù)，在課堂上讓學(xué)生自我嘗試，當(dāng)輸入的分割份數(shù)越來(lái)越多（比如從32份到64份，再到128份），呈現(xiàn)在眼前的是如圖8所示的一系列變化過(guò)程時(shí)，學(xué)生的視覺(jué)受到極大沖擊，對(duì)極限思想的感悟更為形象、高效。

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合研究已進(jìn)入一個(gè)新的階段，許多學(xué)校具備了相應(yīng)的硬件設(shè)備（如電子白板、TI圖形計(jì)算器等），但是“軟件”（主要是教師對(duì)信息技術(shù)的運(yùn)用）還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有跟上。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師如果能恰當(dāng)借助信息技術(shù)，給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的實(shí)驗(yàn)環(huán)境，讓學(xué)生更多地通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)猜想，學(xué)會(huì)推理，學(xué)會(huì)思維，那么高效數(shù)學(xué)教學(xué)將不再只是一種理想的追求，而是理想的不斷實(shí)現(xiàn)和超越。

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（顧新輝，南通師范高等?？茖W(xué)校數(shù)理系副教授，主要從事信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合研究。）