劉立漢

(重慶師范大學數(shù)學科學學院, 重慶401331)

全涂層的可穿透腔體散射問題的解的存在唯一性*

劉立漢

(重慶師范大學數(shù)學科學學院, 重慶401331)

利用變分法研究了全涂層的可穿透腔體散射問題的解的存在唯一性。首先，應(yīng)用Green公式把微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程后，由Rellich引理和唯一延拓原理，證明了全涂層的可穿透腔體散射問題的解的唯一性。然后，由Dirichlet-to-Neumann算子理論、跡定理、連續(xù)嵌入定理和Lax-Milgram引理，證明了全涂層的可穿透腔體散射問題的解的存在性。

腔體； 散射；解的存在性；解的唯一性

聲波和電磁波散射和反散射問題是近30年來應(yīng)用數(shù)學中發(fā)展最迅速的領(lǐng)域之一，它是一個典型的非線性不適定問題，其研究成果被廣泛應(yīng)用于諸如幾何物理學、雷達與聲納、地質(zhì)勘探、生命科學、材料科學、遙感技術(shù)、模式識別、信號(圖像)處理、無損探傷、醫(yī)學診斷(CT)、工業(yè)控制及經(jīng)濟決策等自然科學和工程技術(shù)中。因此，對聲波和電磁波散射和反散射問題數(shù)學理論與數(shù)值方法的研究，引起了國內(nèi)外許多學者的興趣和關(guān)注，也成為近年來一個非常活躍的研究熱點，有關(guān)這方面的詳細綜述見專著[1-6]。

現(xiàn)有聲波和電磁波散射和反散射問題的研究，大部分考慮的是經(jīng)典的外部散射和反散射問題，即入射波在散射體的外部，而且測量數(shù)據(jù)(遠場數(shù)據(jù)或近場數(shù)據(jù))也在散射體的外部，詳細的綜述見專著[3]。然而，正如最近的文獻[7-8]所述，在無損探測的許多實際工業(yè)問題中，點源(入射波)和測量數(shù)據(jù)(散射波)均在散射體的內(nèi)部，由此產(chǎn)生了一類新型的研究課題：內(nèi)部腔體散射和反散射問題。由于散射波被困在腔體內(nèi)部，它會被腔體的邊界反復(fù)反射，因此導(dǎo)致內(nèi)部腔體散射和反散射問題比經(jīng)典的外部散射和反散射問題物理上更加復(fù)雜。根據(jù)腔體的物理性質(zhì)，內(nèi)部腔體散射和反散射問題可分為如下兩種類型：第一類是內(nèi)部不可穿透腔體的散射和反散射問題，第二類是內(nèi)部可穿透腔體的散射和反散射問題。

對于第一類模型，即內(nèi)部不可穿透腔體的散射和反散射問題，根據(jù)腔體的物理性質(zhì)，有3種基本邊界條件：Dirichlet邊界條件、Neumann邊界條件和阻尼(impedance)邊界條件。文獻[8]于2012年首先證明了Dirichlet邊界條件下內(nèi)部不可穿透腔體散射和反散射問題的唯一性理論，并且利用線性采樣法來反演腔體的位置及形狀。繼而，文獻[9]又證明了阻尼邊界條件下內(nèi)部不可穿透腔體散射和反散射問題的唯一性理論，也利用線性采樣法來反演腔體的位置、形狀及其物理性質(zhì)(阻尼函數(shù))。隨后，文獻[10]證明了混合邊界條件下內(nèi)部不可穿透腔體散射和反散射問題的唯一性理論，同樣利用線性采樣法來反演腔體的位置、形狀及其物理性質(zhì)(阻尼函數(shù))。文獻[11]則利用分解法來反演Dirichlet和阻尼邊界下內(nèi)部不可穿透腔體的位置、形狀及其物理性質(zhì)(阻尼函數(shù))。無論是線性采樣方法還是分解法，它們一個共同的前提條件就是要排除內(nèi)部特征值。然而，一般而言，散射和反散射問題本身與內(nèi)部特征值沒有任何關(guān)系，因此，這些方法對波數(shù)的要求顯得有些多余。盡管內(nèi)部特征值是離散的，在特定的區(qū)間內(nèi)至多有有限個，但是當波數(shù)靠近這些特征值時，數(shù)值反演效果會隨之變差。于是，文獻[12]通過在原先散射系統(tǒng)中人為引入一個帶阻尼邊界的障礙物，這樣就成功地排除了內(nèi)部特征值。

線性采樣法和分解法的優(yōu)勢在于不需要先驗知道腔體的物理性質(zhì)及其尺寸大小，但不幸的是，這些方法需要多點源的測量數(shù)據(jù)。如何利用內(nèi)部單一點源測量數(shù)據(jù)來反演不可穿透腔體的位置、形狀及其物理性質(zhì)？文獻[13]在對腔體尺寸大小的限制下，證明了由內(nèi)部單一點源測量數(shù)據(jù)可以唯一確定Dirichlet邊界條件下不可穿透腔體的位置及形狀。文獻[14]利用分裂法(Decomposition Method)研究了同樣的問題，他們將原問題拆分為兩步，即首先利用測量數(shù)據(jù)構(gòu)造散射場，然后根據(jù)邊界條件，利用入射場和已構(gòu)造的散射場尋找邊界，其中第一步是線性不適定的，第二步是非線性適定的，這樣將原問題的兩大難點(非線性和不適定)分裂開來。文獻[15]在對腔體尺寸大小的限制下，證明了由內(nèi)部單一點源測量數(shù)據(jù)可以唯一確定阻尼邊界條件下不可穿透腔體的位置、形狀及其物理性質(zhì)(阻尼函數(shù))。

對于第二類模型，即內(nèi)部可穿透腔體的散射和反散射問題，目前這類問題的研究還很少。文獻[16]于2014年首先證明了在傳輸邊界條件下，由內(nèi)部多點源測量數(shù)據(jù)可以唯一確定可穿透腔體的位置及形狀，并利用線性采樣法進行數(shù)值反演；文獻[17]利用分解法研究同樣的問題。對于更一般的混合邊界條件，文獻[18]基于外部傳輸特征值問題的譜性質(zhì)分析，證明了由內(nèi)部多點源測量數(shù)據(jù)可以唯一確定可穿透腔體的位置、形狀及其物理性質(zhì)，并利用線性采樣法的思路，分析點源的奇異性，由此構(gòu)造適當?shù)闹甘竞瘮?shù)，依次反演腔體的位置、形狀以及物理性質(zhì)。本文我們將考慮傳導(dǎo)邊界下可穿透腔體的散射問題。

1 全涂層的可穿透腔體散射問題

在聲波散射(d=2)或電磁波散射(d=3)時，D表示一個充滿如空氣等的腔體，并且設(shè)為波數(shù)為k的參考介質(zhì)。設(shè)Φ(·,y)(y∈D)為入射點源，定義如下：

(1)

Δxu+k2u=δ(x-y),x∈D

(2)

而在腔體D內(nèi)，總場w滿足

(3)

在邊界?D上，如下傳導(dǎo)邊界條件

(4)

最后，還有Sommerfeld輻射條件，其給定如下：

(5)

(6)

其中f和g由文獻[21]可知

2 解的存在唯一性

在這一部分，我們將證明全涂層的可穿透腔體散射問題的解的存在唯一性。

2.1 解的唯一性

取上式兩邊的虛部，并且注意到Im (A)≤0，Im (n)≥0和η(x)≥η0>0，則有

即

由Sommerfeld輻射條件(5)可知

于是

從而

2.2 解的存在性

其中β是一個不依賴于Φ但依賴于R的正常數(shù)。

證明 在方程(2)和(3)左右兩邊同時乘以一個試驗函數(shù)φ，并利用Green公式和傳導(dǎo)邊界條件(4)可知,定義在BR內(nèi)的總場U滿足

(4)

現(xiàn)在定義函數(shù)a1(U,φ)如下：

(5)

和定義函數(shù)a2(U,φ)如下：

(8)

(9)

其中T0是Dirichlet-to-Neumann算子T的負定部分，并且對于某一常數(shù)γ>0，有

‖

a1(U,φ)+a2(U,φ)=L(φ),

(8)

其中L(φ)為式(7)的右邊，是一個有界的共軛線性泛函，即

最后，利用跡定理、Cauchy-Schwartz不等式、連續(xù)嵌入定理和對A,n,η的假設(shè)可知：我們很容易得到半線性形式a1(·,·)是有界的和嚴格強制的，半線性形式a2(·,·)是有界的。因此，利用Lax-Milgram引理和文獻[1]的定理5.16可得解的存在性。

[1]CAKONIF,COLTOND.Aqualitativeapproachtoinversescatteringtheory[M].NewYork:Springer, 2014.

[2]CAKONIF,COLTOND,MONKP.Thelinearsamplingmethodininverseelectromagneticscattering[M].Philadelphia:CBMS-NSFRegionalConferenceSeriesinAppliedMathematics80,SIAM, 2011.

[3]COLTOND,KRESSR. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory [M]. 3rd ed. New York: Springer, 2013.

[4] KIRSCH A. An Introduction to the mathematical theory of inverse problems [M]. 2nd ed. New York: Springer, 2011.

[5] KIRSCH A, GRINBERG N. The factorization method for inverse problems [M]. Oxford: Oxford University Press, 2008.

[6] POTTHAST R. Point sources and multipoles in inverse scattering theory [M]. London: Chapman and Hall/CRC, 2001.

[7] JAKUBIK P, POTTHAST R. Testing the integrity of some cavity-the Cauchy problem and the range test [J]. Applied Numerical Mathematics, 2008, 58(6): 899-914.

[8] QIN H, COLTON D. The inverse scattering problem for cavities [J]. Applied Numerical Mathematics, 2012, 62(6): 699-708.

[9] QIN H, COLTON D. The inverse scattering problem for cavities with impedance boundary condition [J]. Advances in Computional Mathematics, 2012, 36(2): 157-174.

[10] HU Y, CAKONI F, LIU J. The inverse problem for a partially coated cavity with interior measurements [J]. Applicable Analysis, 2014, 93(5): 936-956.

[11] LIU X. The factorization method for cavities [J]. Inverse Problems, 2014, 30(1): 015006.

[12] QIN H, LIU X. The interior inverse scattering problem for cavities with an artificial obstacle [J]. Applied Numerical Mathematics, 2015, 88: 18-30.

[13] QIN H, CAKONI F. Nonlinear integral equations for shape reconstruction in the inverse interior scattering problem [J]. Inverse Problems, 2011, 27(3): 035005.

[14] ZENG F, SUAREZ P, SUN J. A decomposition method for an interior inverse scattering problem [J]. Inverse Problems and Imaging, 2013, 7(1): 291-303.

[15] QIN H, LIU J. Reconstruction for cavities with impedance boundary condition [J]. Journal of Integral Equations and Applications, 2013, 25(3): 431-454.

[16] CAKONI F, COLTON D, MENG S. The inverse scattering problem for a penetrable cavity with internal measurements [J]. AMS Contemporary Mathematics, 2014, 615: 71-88.

[17] MENG S, HADDAR H, CAKONI F. The factorization method for a cavity in an inhomogeneous medium [J]. Inverse Problems, 2014, 30(4): 045008.

[18] LIU L. The inverse scattering problem for a partially coated penetrable cavity with internal measurements [J]. Applicable Analysis, 2016: 1-25.

[19] ANGELL T, KIRSCH A. The conductive boundary condition for Maxwell’s equations [J]. SIAM J Appl Math, 1992, 52:1597-1610.

[20] ANGELL T, KIRSCH A. Optimization methods in electromagnetic radiation [M]. New York: Springer, 2004.

[21] MCLEAN W. Strongly elliptic systems and boundary integral equations [M]. Cambridge: Cambridge Uninversity Press, 2000.

The uniqueness and existence of solutions for the scattering problem for a fully coated penetrable cavity

LIULihan

(School of Mathematial Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

The uniqueness and existence of solutions for the scattering problem for a fully coated penetrable cavity are studied by using variational method. First, the differential equations are transformed into an integral equation by using the Green’s first identity. Then from the Rellich’s lemma and a unique continuation principle, the uniqueness of solutions for the scattering problem for a fully coated penetrable cavity is proven. Next, from the Dirichlet-to-Neumann operator, the trace theorem, the continuous embedding theorem and the Lax-Milgram’s lemma, the existence of solutions for the scattering problem for a fully coated penetrable cavity is also proven.

cavity; scattering; existence of solutions; uniqueness of solutions

2016-08-11 基金項目：國家自然科學基金數(shù)學天元青年基金(11426052)；重慶市教育委員會科學技術(shù)研究項目(KJ1400522，KJ1600329)；2013年重慶高校創(chuàng)新團隊建設(shè)計劃項目(KJTD201308)

劉立漢(1987年生)，男；研究方向：數(shù)學物理方程的反問題；E-mail:mathsedu2013@163.com

O

A

0529-6579(2017)02-0036-04