吳小嶸

摘要：近幾年各省、市數(shù)學(xué)中考題中不斷出現(xiàn)“新定義”型問題，所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運(yùn)算、新符號，根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型。

關(guān)鍵詞：特例探索；歸納證明；拓展應(yīng)用；思維能力；創(chuàng)新能力

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）04-0102

近幾年各省、市數(shù)學(xué)中考題中不斷出現(xiàn)“新定義”型問題，所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運(yùn)算、新符號，根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型，它能考查學(xué)生對新概念（公式）特性的理解和認(rèn)識，能考查學(xué)生適應(yīng)新問題、接受新知識、認(rèn)識新事物的能力，又能考查學(xué)生的自學(xué)能力，以及信息的收集、遷移和應(yīng)用能力，它對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力就有很好的促進(jìn)作用。同時(shí)，此類題型新穎別致，頗具魅力，已成為中考試題中新亮點(diǎn)。本文先以最近兩年江西省兩道“新定義”中考試題為例進(jìn)行探討。

例1（2015江西省中考題24題）：我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”。例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”。設(shè)BC=a，AC=b，AB=c。

特例探索：（1）如圖1，當(dāng)∠ABE=45°，c=2■時(shí)，a= ，b= ；

如圖2，當(dāng)∠ABE=30°，c=4時(shí)，a= ，b= ；

歸納證明：（2）請你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2，b2，c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，請利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式；

拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在□ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，CD的中點(diǎn)，BE⊥EG，AD=■，AB=3。求AF的長。

分析：本題定義了一種新的“中垂三角形”，三個(gè)環(huán)節(jié)圍繞著新定義展開閱讀、感知、理解，計(jì)算、猜想、論證與拓廣應(yīng)用；本題運(yùn)用了中位線的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形、全等三角形，相似三角線、平行四邊形等有關(guān)知識。本題要求解答者讀懂題意并結(jié)合已有的知識進(jìn)行理解，再根據(jù)新的定義進(jìn)行運(yùn)算、猜想、推理，歸納、證明、遷移，拓展應(yīng)用。

解：（1）如圖1，連接EF，則EF是△ABC的中位線，

∴EF=■AB=■，∵∠ABE=45°，AE⊥EF .∴△ABP是等腰直角三角形，∵EF∥AB ，∴△EFP也是等腰直角三角形，

∴AP=BP=2，EP=FP=1，∴AE=BF=■，∴a=b=2■.

如圖2，連接EF，則EF是△ABC的中位線.

∵∠ABE=30°，AE⊥BF，AB=4，

∴AP=2，BP=2■，∵EF∥■AB，∴PE=■，PF=1，

∴AE=■，BF=■ ∴a=2■，b=2■.

（2）a2+b2=5c2

如圖3，連接EF， 設(shè)AP=m，BP=n，則

∵EF∥■AB，∴PE=■BP=■n，PF=■AP=■m，

∴AE2=m2+■n，BF2=n2+■m2，

∴b2=AC2=4AE2=4m2+n2，

a2=bc2=4bf2=4n2+m2

∴a2+b2=5（m2+n2）=5c2

（3）如圖，連接AC，CE，延長CE交BA的延長線于點(diǎn)H。在△ACD中，∵E，G是分別是AD，CD的中點(diǎn)，∴EG∥AC?！連E⊥EG，∴AC⊥BE。

又∵□ABCD，∴AE∥BC，AD=BC，BC=2AE。

∴△HAE∽△HBC。∵■=■=■=■，

∴HA=AB，HE=EC。∴BE，CA是△HBC的中線。

∴△HBC是“中垂三角形”，∴HB2+HC2=5BC2。

又∵AB=3，AE=■，∴HB=6，BC=2■. ∴.即HC=8.

∵AF是△HBC的中位線，∴AF=■HC=4。

思考：第（1）問設(shè)計(jì)特例探索僅僅認(rèn)知了“中垂三角形”，但隱含了解決第（2）題思路方法，特別是中位線構(gòu)造；第（2）問通過（1）猜想歸納中垂三角形一般結(jié)論并還是需要嚴(yán)格的幾何邏輯推理證明。第（3）小題解題方法多樣，主要是通過添加輔助線構(gòu)造“中垂三角形”，然后再運(yùn)用（2）問的一般結(jié)論求AF的長，有一定難度。但是，從整道題來看，第（1）小題和第（2）小題作為“路標(biāo)”，解決第（3）小題可以拾階而上，讓學(xué)生經(jīng)歷對新概念的理解、操作、運(yùn)用和證明過程。此題解決的關(guān)鍵是先從特殊圖形出發(fā)，理解新概念的內(nèi)涵，抓住本質(zhì)，逐步歸納出解決一般情形的方法，然后進(jìn)行拓展應(yīng)用。

例2（2016年江西省中考題22題）【圖形定義】：如圖，將正n邊形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點(diǎn)O，連接AO，我們稱AO為“疊弦”；再將“疊弦”AO所在的直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點(diǎn)P，連接PO，我們稱∠OAB為“疊弦角”，△AOP為“疊弦三角形”。

【探究證明】：（1）請?jiān)趫D1和圖2中選擇其中一個(gè)證明：“疊弦三角形”（即△AOP）是等邊三角形；（2）如圖2，求證：∠OAB=∠OAE。

【歸納猜想】：（3）圖1、圖2中“疊弦角”的度數(shù)分別為 ，

（4）圖n中，“疊弦三角形” 等邊三角形（填“是”或“不是”）；

（5）圖n中，“疊弦角”的度數(shù)為 （用含n的式子表示）。

分析：本題定義了“疊弦三角形”的概念，圍繞它的定義進(jìn)行猜想、探究、證明。本題運(yùn)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形、全等三角形的性質(zhì)和判斷方法及正多邊形等有關(guān)知識。本題要求解答者讀懂題意并結(jié)合已有的知識進(jìn)行理解，再根據(jù)已學(xué)的概念進(jìn)行探究證明、歸納猜想。

（1）如圖1，∵四ABCD是正方形，

由旋轉(zhuǎn)知：AD=AD′，∠D=∠D′=90°，∠DAD′=∠OAP=60°

∴∠DAP=∠D′AO，∴APD≌AOD′（ASA）∴AP=AO，

又∠OAP=60°，∴AOP是等邊三角形.

（2）如右圖，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N.

∵五邊形ABCDE是正五邊形，由旋轉(zhuǎn)知：AE=AE′，∠PEA=∠E′=108°，∠EAE′=∠OAP=60°∴∠EAP=∠E′AO，∴△APE≌△AOE′（ASA）∴∠OAE′=∠PAE.

在Rt△ABM和Rt△ABN中，

∠M=∠N=90°∠ABM=∠ABN=72°AE=AB

∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS）?！唷螮AM=∠BAN，AM=AN.

在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AOAM=AN

∴Rt△APM≌Rt△AON（HL）.

∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB∴∠OAE′=∠OAB（等量代換）

（3）15°，24°

（4）是

（5）∠OAB=[（n+3）×180°÷（n+3）-60°]÷2=60°-■。

思考：此題第（1）問探究了“疊弦三角形”的形狀，然后在第（2）問中探索“疊弦三角形”的“疊弦角”的性質(zhì)。最后在第（3）（4）（5）問中由特殊到一般，進(jìn)一步探究了“疊弦三角形”的形狀及“疊弦角”的度數(shù)。題目中新定義的數(shù)學(xué)概念與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)概念和知識有機(jī)結(jié)合，通過添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，來證明等角和等線，鍛煉了學(xué)生的推理能力，有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念，較好地考查了學(xué)生獲取信息及利用所獲得的信息解決問題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力； 靈活運(yùn)用的能力。

上述兩道“新定義”中考試題，要求考生能透徹理解課本中的所學(xué)內(nèi)容，善于總結(jié)解題規(guī)律，歸納出用于應(yīng)用的操作程序及步驟。其解題的過程就是將“新”規(guī)則及符號轉(zhuǎn)化到“舊”的知識體系中。其解題的關(guān)鍵的兩點(diǎn)：一是掌握問題原型的特點(diǎn)及其問題解決的思想方法，二是根據(jù)問題情景的變化，合理進(jìn)行思想方法的遷移。其解決新的途徑有三種：利用新知識解決問題；利用結(jié)論解決問題；利用新方法解決問題。利用新知識解決問題本題也是一種對新定義規(guī)則的應(yīng)用，而新定義的規(guī)則學(xué)生是比較容易理解與掌握的。其解題方法：一般是運(yùn)用新定義的法則轉(zhuǎn)化成常規(guī)方法，其中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等，多角度、多側(cè)面分析問題。

總之，新定義型問題，一般構(gòu)思巧妙、題意新穎、隱蔽性強(qiáng)，因此在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)閱讀能力的培養(yǎng)，通過轉(zhuǎn)化、類比、推廣等方法，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，養(yǎng)成科學(xué)合理的推理運(yùn)算，提高靈活綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決較為復(fù)雜問題的能力。這樣，學(xué)生在解決“新定義”型問題中就一定能取得更好的成績。

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（作者單位：江西省撫州市東鄉(xiāng)區(qū)第二中學(xué) 344000）