馮寅

摘要：高考試題不僅是考題，也是一種對考綱的詮釋，更是為我們教學(xué)的優(yōu)質(zhì)素材，所以挖掘高考真題的教學(xué)價值至關(guān)重要，它可以幫助我們明確復(fù)習(xí)的方向，提高復(fù)習(xí)的效率.本文以函數(shù)的高考真題為例，從整體、問題、個體三方面來分析.

關(guān)鍵詞：高考真題；營養(yǎng)；價值；效率

高考試題是考綱、教綱的具體體現(xiàn)，是由命題老師精心雕琢的作品，也是數(shù)學(xué)知識、技能的濃縮，更是數(shù)學(xué)方法、思維的舞臺，因此充分挖掘高考題的內(nèi)涵，吸收它的營養(yǎng)，將使我們的教學(xué)和復(fù)習(xí)更有針對性，效率更高.本文將以函數(shù)為例，從整體、問題、個體三個方面探索一下高考真題的營養(yǎng)究竟在何處，如何吸取它的營養(yǎng).

一、整體歸納，探求規(guī)律

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的重點，從近幾年的高考函數(shù)試題中我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)問題的重要元素是參數(shù)，主要工具是導(dǎo)數(shù)，所以我們可以按參數(shù)的不同和求導(dǎo)的特點把函數(shù)問題分為三大類型加以研究.

1含參求導(dǎo)型

問題1已知a∈R，函數(shù)f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3.

（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）當(dāng)x∈[0，2]時，求|f（x）|的最大值

問題2已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b

（Ⅰ）證明：當(dāng)0≤x≤1時，

（?。┖瘮?shù)f（x）的最大值為|2a-b|+a；

（ⅱ）f（x）+|2a-b|+a≥0；

（Ⅱ） 若-1≤f（x）≤1對x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范圍

感悟這類問題主要是求函數(shù)最值、求參數(shù)范圍和證明不等式恒成立，它主要針對三次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，它的主要方法是利用極值點含參數(shù)的特點分類討論，利用端點函數(shù)值和極值點函數(shù)值的不確定性分類討論.

2含參非導(dǎo)型

問題3已知a≥3，函數(shù)F（x）=min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}

（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍；

（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）；

（Ⅲ）求F（x）在區(qū)間[0，6]上的最大值M（a）

問題4已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），記M（a，b）是|f（x）|在區(qū)間[-1，1]上的最大值.

（Ⅰ） 證明：當(dāng)|a|≥2時，M（a，b）≥2；

（Ⅱ） 當(dāng)a，b滿足M（a，b）≤2時，求|a|+|b|的最大值

感悟這類問題由于涉及的函數(shù)是一次、二次和絕對值居多，所以一般不需要求導(dǎo)，它主要解決的是參數(shù)范圍和函數(shù)零點問題，主要通過函數(shù)圖像特點、函數(shù)性質(zhì)分析來解決問題.當(dāng)參數(shù)較多時，我們一般會考慮是否可以減少變量或采用線性規(guī)劃的方法解決.

3非參求導(dǎo)型

問題5設(shè)函數(shù)f（x）=x3+11+x，x∈[0，1]證明：

（Ⅰ）f（x）≥1-x+x2；

（Ⅱ）34

感悟這種類型看似簡單，其實對思維的要求比較高，首先要理解所證明不等式的特點，它可以構(gòu)造新的函數(shù)或把要求證明的不等式轉(zhuǎn)化為我們常見的函數(shù)最大（?。┲祮栴}來分析思考，而在求極值時往往它的極值點不易求出，需要我們通過不等式放縮來改變函數(shù)從而解決問題，它考查的是函數(shù)的本質(zhì)屬性.

二、問題演變、借題發(fā)揮

函數(shù)的內(nèi)容豐富多彩問題形式多樣，函數(shù)最大（?。┲祮栴}是函數(shù)的重要性質(zhì)也是高考中的常見問題，但最值問題的形式和要求在不斷的演變，它對我們的思維提出了新的要求.

1跨越思考

問題7如圖1，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是

分析設(shè)AD=x，四面體的高為h，那么h≤x

那么，四面體PBCD的體積：VP-BCD=13S△BCD·h≤13S△BCD·x.而13S△BCD·x可以用x來表示，并求出最大值，所以這一次的放縮是一次從無到有的跨越.

感悟解決最值問題的起點應(yīng)該是確定函數(shù)的表達(dá)式，而像此類問題的體積很難用某個變量表示，如何計算體積成為本題的關(guān)鍵，此時如果我們不跨越常規(guī)思路，問題很難解決.

此題的解法有違于我們常規(guī)的求最大值的方法，它在很難直接找到問題的表達(dá)式時，先進(jìn)行了放縮，這在一般情況下是有風(fēng)險的，它可能使等號無法取到，所以問題的難度就在于放縮的合理性，它需要滿足兩個要求，首先是放縮后能求出問題的表達(dá)式，然后再考慮后面的等號是否能成立，因此放縮的關(guān)鍵是找到一個合理的度滿足要求.

2概念理解

問題8已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），記M（a，b）是|f（x）|在區(qū)間[-1，1]上的最大值.

（Ⅰ） 證明：當(dāng)|a|≥2時，M（a，b）≥2；

（Ⅱ） 當(dāng)a，b滿足M（a，b）≤2時，求|a|+|b|的最大值.

分析 （Ⅱ）中由M（a，b）≤2，得|1+a+b|=|f（1）|≤2，|1-a+b|=|f（-1）|≤2，故|a+b|≤3，|a-b|≤3，而得|a|+|b|≤|a+b|+|a-b|2≤3.

當(dāng)a=2，b=-1時，|a|+|b|=3，且|x2+2x-1|在[-1，1]上的最大值為2，即M（2，-1）=2.所以|a|+|b|的最大值為3.

感悟這題是近幾年考查函數(shù)最值問題的一個典型問題，它對最大值（?。└拍畹睦斫庖蠛芨?，從已知最大值到求最大值都需要深刻理解才能合理解決.

此題解決最值問題的方法，顛覆了傳統(tǒng)的求最值的思路，它省略了求函數(shù)解析式的步驟，它強(qiáng)調(diào)了最大值（?。┑母拍畹睦斫?，它關(guān)注的是存在常數(shù)M，對定義域中的任意x都有f（x）≤M成立，然后觀察等號成立.它的難點在于沒有常見的分類討論，沒有繁瑣的計算，要求對概念的深刻理解，要求有正確的思維方式！

3隱含挖掘

問題9已知實數(shù)a，b，c

A|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2≤100.

B|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，則a2+b2+c2≤100.

C|a+b+c2|+|a+b-2c|≤1，則a2+b2+c2≤100.

D|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，則a2+b2+c2≤100.

感悟本題看似和最值毫無關(guān)系，仔細(xì)分析題意，我們從每個選擇支的結(jié)構(gòu)可以看出，它的問題都是a2+b2+c2≤100，問題的核心是哪個條件能保證a2+b2+c2是有界的，有界就是最值的一種廣義表述.而要a2+b2+c2有界必須a，b，c是有界的.這樣的感悟，就將問題轉(zhuǎn)化為哪個選項中的a，b，c是有界的.

但細(xì)細(xì)體會它的核心還是和最值有關(guān)，它把最值問題擴(kuò)大化，讓我們在不敘述最值的情況下感悟出最值的意義和魅力，這樣的感悟?qū)λ季S提出了新的要求.

三、個體研究、經(jīng)典深化

在近年的函數(shù)的高考題中，我們經(jīng)常在看到max和min這樣的符號，而簡單介紹這個符合的意義并不難，難的是深刻理解它的含義，了解它的變化掌握它們的聯(lián)系，如果我們僅僅停留在知道這個符號的意思，那么當(dāng)我們遇到和它們有關(guān)的問題時，還是會覺得難以適應(yīng).

1max和min的形式變化

問題10已知f（x），g（x）都是偶函數(shù)，且在[0，+∞]上單調(diào)遞增，設(shè)函數(shù)

F（x）=f（x）+g（1-x）-|f（x）-g（1-x）|若a>0，則

A.F（-a）≥F（a）且F（1+a）≥F（1-a）.

B.F（-a）≥F（a）且F（1+a）≤F（1-a）.

C.F（-a）≤F（a）且F（1+a）≥F（1-a）.

D.F（-a）≤F（a）且F（1+a）≤F（1-a）.

感悟理解函數(shù)F（x）=f（x）+g（1-x）-|f（x）-g（1-x）|的表達(dá)式成為問題的關(guān)鍵，其實，為了把絕對值去掉，我們可以分類討論，這樣也可以理解為一個分段函數(shù)：

F（x）=2f（x）2g（1-x）f（x）

從取絕對值的分類過程，我們又可以理解為：F（x）=2min{f（x），g（1-x）}這樣的表達(dá)，將有助于我們解決問題！

問題的本質(zhì)就轉(zhuǎn)化為比較F（a），F(xiàn)（-a）的大小和F（1-a），F(xiàn)（1+a）的大??！

很多時候max和min都直接出現(xiàn)在我們的問題中，但有時它也會以另外的面貌出現(xiàn)，隱含了它的符號特征，這就需要仔細(xì)分析思考它的含義，找出它的表示特征來解決問題.

2max和min的應(yīng)用策略

問題11已知a>0，b∈R函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b證明：當(dāng)0≤x≤1時，函數(shù)f（x）的最大值為|2a-b|+a

感悟閉區(qū)間上的最值問題，我們關(guān)鍵是比較極值點和端點的大小.此題可以通過導(dǎo)數(shù)求極值點后發(fā)現(xiàn)它的最大值是fmax（x）=max{f（0），f（1）}，而f（0），f（1）都含有兩個參數(shù)，要討論它們的大小有一定的難度.這時如果我們利用max{f（0），f（1）}的特點來變形，問題可以有新的思路可以迅速解決.

fmax（x）=max{f（0），f（1）}

=f（0）+f（1）+|f（0）-f（1）|2=|2a-b|+a.

從上述的問題我們發(fā)現(xiàn)，max{a，b}和min{a，b}有如下的等價變形.

max{a，b}=a，a≥bb，a

高考試題是我們教學(xué)中的優(yōu)質(zhì)素材，挖掘高考試題的深刻內(nèi)涵并滲透在我們的教學(xué)中，將使高考試題發(fā)揮它最大的價值.