何四華，吳春光，叢 濱

(中國人民解放軍92941部隊 91分隊， 遼寧 葫蘆島 125000)

【基礎(chǔ)理論與應(yīng)用研究】

基于改進二維分形模型的海面模擬方法

何四華，吳春光，叢 濱

(中國人民解放軍92941部隊 91分隊， 遼寧 葫蘆島 125000)

針對粗糙海面的非線性和自相似性特點，在帶限Weierstrass分形函數(shù)的基礎(chǔ)上，建立了改進二維分形模型，描述了表面譜與空間波數(shù)之間的正冪率和負冪率關(guān)系，針對P-M海譜給出了分形參數(shù)的定量描述，實現(xiàn)了對粗糙海面的模擬。仿真結(jié)果表明，模型能夠生成不同風(fēng)速下的海面模型，反映了小尺度波浪的細微結(jié)構(gòu)和大尺度波浪的浪涌特性，不同尺度的組成波之間具有較好的自相似性，可以較好地模擬粗糙海面背景。

Weierstrass分形函數(shù)；P-M海譜；改進二維分形模型；粗糙海面

海面背景下艦船目標(biāo)的電磁散射特性是反艦武器系統(tǒng)試驗鑒定結(jié)果評定的重要依據(jù)，也是水面靶標(biāo)設(shè)計的基礎(chǔ)。幾何建模是電磁散射特性仿真分析的基礎(chǔ)和前提，幾何模型的可靠性和建模精度直接決定了電磁散射計算的精度。除了艦船目標(biāo)外，如何精確地建立粗糙海面背景的幾何模型是電磁散射特性仿真分析的重要前提[1]。由于影響海面形態(tài)的動力因素復(fù)雜多變，建立一個完全準確的數(shù)學(xué)模型十分困難，因此海面模擬的方法通常都是基于一定的假設(shè)前提，而且諸多技術(shù)仍處于發(fā)展中。由于實際海面具有非線性和自相似性等分形結(jié)構(gòu)的特點，基于分形理論實現(xiàn)對粗糙海面的建模具有獨特的優(yōu)勢。

1 海面狀態(tài)的描述

為了研究粗糙海面的幾何特征，需要了解海浪的形成過程、影響海面形狀變化的動力因素和海面狀態(tài)的描述方式。有3種數(shù)值方式描述海面狀態(tài)[2]，分別是Doglsas級數(shù)、國際氣象組織(WMO)代碼75和蒲福風(fēng)級。其中Doglsas級數(shù)應(yīng)用廣泛，但后來被WMO代碼75代替了，而蒲福風(fēng)級是用風(fēng)速來劃分海面狀態(tài)。表1所示為Doglsas級數(shù)和WMO的劃分尺度，表2為蒲福風(fēng)級的劃分尺度。

表1 WMO和Doglsas劃分尺度

表2 蒲福風(fēng)級的劃分尺度

2 海面模擬

海面可視作由無限多個振幅不同、頻率不同、方向不同、相位雜亂的海浪波組成的隨機過程。海譜是功率譜，代表海浪能量相對于組成波各空間頻率或各空間波數(shù)的分布，已經(jīng)成為模擬海面的基礎(chǔ)和檢驗標(biāo)準[3]。

2.1 海譜

將海浪視為隨機過程，通過海譜來描述海浪已成為主要的研究途徑，因此確定譜的形式是研究隨機海浪的重要內(nèi)容。海譜可表示為頻譜S(ω)或者波數(shù)譜S(k)，它們之間滿足如下關(guān)系

(1)

其中，σ2是海面相對于參考面的均方根。

對于二維海面，功率譜不僅與頻率(波數(shù))有關(guān)，還與方向有關(guān)。引入角度分布函數(shù)后，功率譜是二維的，稱為方向譜。方向譜的表示形式有S(ω,θ)，S(k,θ)和S(kx=kcosθ,ky=ksinθ)，其中θ為觀測方向與逆風(fēng)方向之間的夾角。這3種方向譜滿足如下關(guān)系

(2)

忽略波浪間的非線性相互作用，海水中k和ω的關(guān)系式為

(3)

完成年度公益性水利工程維修養(yǎng)護資金合規(guī)性審核。對24個中西部地區(qū)、貧困地區(qū)省份的縣級國有管理單位及其所屬單位申報的2013年度中央財政補助資金項目，從項目范圍、項目類別、維修養(yǎng)護內(nèi)容、維修養(yǎng)護經(jīng)費等方面進行合規(guī)性審核，涉及承擔(dān)防洪、排澇、抗旱、灌溉等公益性任務(wù)的水庫、水閘、堤防、控導(dǎo)工程、泵站、淤地壩等6類工程6 000多個項目。

(4)

海譜可分為重力波譜和張力波譜。到目前為止，眾多學(xué)者已提出了多種形式的海譜模型。其中，P-M譜是一種比較經(jīng)典且應(yīng)用廣泛的重力波譜；Fung的半經(jīng)驗海譜是最早的完全海譜(包含重力波和張力波)，根據(jù)該譜模型計算出的散射結(jié)果與測量值吻合較好；D-B-J譜是一種最新的完全海譜，并且有效地區(qū)分了順風(fēng)和逆風(fēng)的情形；JONSWAP譜是一種非穩(wěn)態(tài)海譜，被認為是國際標(biāo)準海洋譜。

2.2 帶限Weierstrass分形函數(shù)的海面模擬

自1982年Mandelbrot首次提出“分形”的概念后，分形理論在眾多領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛應(yīng)用。由于實際海面具有非線性和自相似性等分形結(jié)構(gòu)的特點[4]，因此，不少學(xué)者近年來開始研究模擬海面的分形模型。通常用經(jīng)典的帶限Weierstrass分形函數(shù)來模擬二維動態(tài)海面，該模型表示為

(5)

式中：σ為海面的高度起伏均方根；C為歸一化因子；Nf為諧波數(shù)量；s是分形模型的分維數(shù)(21)；K0為海表面的空間基波數(shù)；θn為主方向角；βn(t)為相對于主方向角(風(fēng)向)的偏角；Ωn為第n個譜分量的圓頻率；φn是[-π,π]上均勻分布的隨機相位；Vx和Vy分別是雷達平臺沿x和y方向的運動速度。

可見，該分形模型需要設(shè)置的參數(shù)較多，約束關(guān)系復(fù)雜，參數(shù)的變化可直接在該譜的變化中反映出來，可較好地反映海面的實際情況。但該模型表面譜與空間波數(shù)之間僅包含負冪率部分[5]，而實際海面既包括正冪率部分又包括負冪率部分，因此只能部分與海譜模型吻合。

針對帶限Weierstrass分形函數(shù)模型存在的問題[6]，提出了一種改進的二維分形模型，增加了表面譜與空間波數(shù)之間正冪率部分的描述，并通過推導(dǎo)對各項參數(shù)進行了定量說明。改進后的模型表示為

(6)

可見，改進后的模型在原有模型等式右邊新增了一項，保留項中所有參數(shù)定義與原有模型一致[7]。受新增項的影響，歸一化因子C表示為

(7)

3 仿真分析

3.1 仿真方法

1) 設(shè)定海面大小，劃分波面網(wǎng)格；

2) 選定海譜，對頻率空間和方向空間進行分割離散，求出不同頻率和不同方向下的波幅；

3) 根據(jù)式(6)確定波浪的造型；

4) 設(shè)定時間步長Δt，依次改變時間t，得到時變動態(tài)海面。

3.2 仿真結(jié)果

采用P-M海譜和改進二維分形模型等兩種方法進行動態(tài)海面生成,分別設(shè)置風(fēng)速U=2 m/s,U=4 m/s和U=6 m/s, 結(jié)果如圖1～圖3所示，其中圖1(c)、圖2(c)、圖3(c) 均為動態(tài)海面中的一組抽樣數(shù)值。

統(tǒng)計3種條件下的實驗數(shù)據(jù)，對P-M海譜和改進二維分形模型生成的動態(tài)海面進行均值和方差統(tǒng)計，比較分析模型的一致性，對動態(tài)海面的抽樣數(shù)據(jù)的拐點數(shù)進行統(tǒng)計，比較分析模型對動態(tài)海面細節(jié)的描述程度，結(jié)果如表3所示。

圖1 風(fēng)速U=2 m/s條件下生成的動態(tài)海面

圖2 風(fēng)速U=4 m/s條件下生成的動態(tài)海面

圖3 風(fēng)速U=6 m/s條件下生成的動態(tài)海面

方法風(fēng)速U=2m/s均值方差拐點數(shù)風(fēng)速U=4m/s均值方差拐點數(shù)風(fēng)速U=6m/s均值方差拐點數(shù)P?M海譜00．60151201．1670902．33259改進二維分形模型00．58393501．15892101．982614

3.3 數(shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)結(jié)果分析對比表明：

1) 改進二維分形模型和P-M海譜生成動態(tài)海面高度的均值和方差比較接近，表明兩種動態(tài)海面生成模型具有較好的一致性。

2) 相同風(fēng)速條件下，改進二維分形模型能夠更好地表現(xiàn)小尺度波浪細微結(jié)構(gòu)的動態(tài)變化，生成動態(tài)海面的細節(jié)信息較P-M海譜豐富，可以取得較好的模擬效果。

3) 隨著風(fēng)速增大，海面大尺度波開始起主導(dǎo)作用，小尺度波漸漸被忽略，能夠更好地表現(xiàn)大尺度波浪的浪涌特性，動態(tài)海面也表現(xiàn)出了很明顯的分形特點，即不同尺度的組成波之間的自相似性。

4 結(jié)論

提出了一種基于改進二維分形模型的海面模擬方法，更好地描述了表面譜與空間波數(shù)之間的負冪率部分和正冪率部分，給出了分形模型的具體參數(shù)，與P-M海譜進行了比對，仿真結(jié)果表明分形方法更加具體的表達了粗糙海面的非線性幾何特性。模型與實際測量結(jié)果的吻合程度需要大量的數(shù)據(jù)進行驗證，這項工作有待后續(xù)開展。

[1] 方重華.復(fù)雜的二維海面電磁散射模型[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報,2008,29(8):779-782.

[2] 齊國雷,周東方,饒育萍,等.FDTD方法分析高功率微波粗糙地面散射特性[J].強激光與粒子束,2010,22(9):2092-2096.

[3] 郭立新，官秀國，徐英霞.分形粗糙面單站散射的遮蔽效應(yīng)研究[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報,2003,30(5):617-622.

[4] 陳勇,侯德亭,齊國雷,等.分形海面電磁散射特性的基爾霍夫近似[J].信息與電子工程,2009,7(5):409-412.

[5] 王運華,郭立新,吳振森.改進的一維分形模型在海面電磁散射中的應(yīng)用[J].電子學(xué)報,2007,35(3):478-483.

[6] 侯德亭,宋航,陳勇,等.分形海面的微波電磁散射計算模型[J].強激光與粒子束,2010,22(9):2119-2123.

[7] 楊俊嶺,郭立新,萬建偉.基于未充分發(fā)展海譜的分形海面模型及其電磁散射研究[J].物理學(xué)報,2007,56(4):2106-2114.

(責(zé)任編輯 唐定國)

Simulation Method of Sea Surface Based on Improved Two-Dimensional Fractal Model

HE Si-hua, WU Chun-guang, CONG Bin

(91 Element of No.92941stTroop of PLA, Huludao 125000, China)

According to the nonlinear and self-similarity characteristics of rough surface, based on the band-limited Weierstrass fractal function, the improved two-dimensional fractal model was set up, and the relationship between the positive power and negative power of surface spectrum and space wave number was described. According to that P-M sea spectrum the quantitative description of fractal parameters was given, the simulation of rough sea surface was realized. Simulation results indicated that the model can generate the surface of the model under different wind speed, and the fine structure of small scale waves and the surge characteristics of large scale waves were showed, and the composition of the different scale had a good self-similarity between wave, which could better simulate the rough sea surface background.

Weierstrass fractal function; P-M sea spectrum; the improved two-dimensional fractal model; rough sea surface

2016-12-26；

2017-01-25 基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(61673129)

何四華(1979—)，男，博士，主要從事目標(biāo)特性、非線性信號處理研究。

10.11809/scbgxb2017.05.036

format:HE Si-hua, WU Chun-guang, CONG Bin.Simulation Method of Sea Surface Based on Improved Two-Dimensional Fractal Model[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(5):155-158.

TP15

A

2096-2304(2017)05-0155-04

本文引用格式：何四華,吳春光,叢濱.基于改進二維分形模型的海面模擬方法[J].兵器裝備工程學(xué)報，2017(5):155-158.