孟 宗 李 晶 龍海峰 潘作舟

1.燕山大學河北省測試計量技術及儀器重點實驗室，秦皇島，0660042.北京精密機電控制設備研究所，北京，100076

基于壓縮信息特征提取的滾動軸承故障診斷方法

孟 宗1李 晶1龍海峰2潘作舟1

1.燕山大學河北省測試計量技術及儀器重點實驗室，秦皇島，0660042.北京精密機電控制設備研究所，北京，100076

壓縮感知作為一種新型壓縮采樣方法，利用信號稀疏特性以遠低于奈奎斯特采樣定理的采樣速率壓縮采集信號，減小數(shù)據(jù)采集、傳輸、存儲的硬件壓力?；趬嚎s感知框架下壓縮采集的信號，提出了一種滾動軸承故障診斷新方法。該方法選擇部分hadamard矩陣作為測量矩陣，將峭度因子、方差、波形因子作為敏感特征參量，不重構壓縮測量量，直接利用壓縮采集信息，提取敏感特征，然后通過PSO-SVM算法進行模式識別從而實現(xiàn)故障診斷。研究結果表明，在一定壓縮比范圍內，利用該方法能夠在降低平均采樣速率的同時用更少的數(shù)據(jù)量表現(xiàn)故障特征，實現(xiàn)滾動軸承故障診斷。

壓縮感知；hadamard矩陣；特征提取；故障診斷

0 引言

故障診斷過程中，可靠的信息獲取是故障診斷的前提，提取故障特征是故障診斷的必要條件[1]。

傳統(tǒng)采樣過程必須符合Shannon-Nyquist采樣定理，即采樣頻率不低于采樣信號最高頻率的二倍。這樣，采樣頻率僅由所采集信號頻帶決定，高頻帶信息采集受硬件限制、成本昂貴，且會產(chǎn)生海量數(shù)據(jù)造成數(shù)據(jù)冗余，數(shù)據(jù)的傳輸、存儲、處理過程均受到采樣過程限制。

壓縮感知(compressed sensing，CS)理論是由DONOHO等[2-3]于2006年提出的一種新型信號采樣方法。該理論利用信號自身或在某個變換基下的稀疏特性，應用一個與變換基不相關的觀測矩陣觀測信號，將高維信號投影到一個低維空間，再通過某種優(yōu)化算法用這些少量投影高概率地重構出原信號，將硬件代價轉化為軟件代價，從而大大降低采樣率[4]。這一過程包含三個重要問題：一是測量矩陣下信號壓縮采集的硬件實現(xiàn)；二是測量矩陣和稀疏變換基的設計選??；三是重構算法的精度、效率。

目前壓縮感知在圖像處理、光譜分析等領域已得到廣泛研究[5]，針對機械故障振動信號的研究也逐步展開。在聲學信號采集過程中，余愷等[6]提出一種基于壓縮感知的聲信號采集方法，該方法能夠實現(xiàn)在1/10以下標準采樣頻率下的聲信號采集。針對滾動軸承振動信號，張新鵬等[7]利用壓縮感知理論實現(xiàn)軸承振動數(shù)據(jù)的修復；李鑫濱等[8]針對軸承故障信號特征特點對稀疏基進行改進以實現(xiàn)故障信號的快速高效稀疏分解，從而進行特征提?。还》宓萚9]通過選用更加合適的測量矩陣，在保證重構精度的情況下利用較高的壓縮比壓縮采集信號。在工程實際中，機械系統(tǒng)故障信號往往較復雜，信號稀疏特性差，信號重構難，并且故障信號重構將會花費大量時間，增加軟件代價。

基于此，本文提出一種基于壓縮感知的滾動軸承故障診斷方法，首先對測量矩陣和故障敏感特征參量進行分析，在壓縮感知框架下利用測量矩陣以較低的平均采樣率采集信號，直接對壓縮采集信息進行敏感特征提取，無需重建信號也可進行較高效的故障診斷。

1 壓縮感知

1.1 壓縮感知數(shù)學模型

設長度為N的信號sN×1，該信號本身或在某個變換域下具有稀疏性。根據(jù)信號的稀疏程度及性質，設計觀測矩陣ΦM×N(M?N)和正交基字典矩陣Ψ，對稀疏信號進行線性變換，得到壓縮感知數(shù)學模型：

Y=ΦΨs=Θs

(1)

其中,Y是在壓縮感知理論框架下獲取的M維采樣信號；M稱為矩陣的測度數(shù)；正交基字典矩陣Ψ稱為變換基。

在滿足式(1)的所有情況中，最稀疏解即為所求，即求解最優(yōu)化問題：

(2)

式中,‖s‖0為s的l0范數(shù)。

求解極小化l0范數(shù)是一個N-hard的問題。引入限制等距約束(RIP)條件：

(3)

0<δk<1

式中，k為稀疏度;x為稀疏信號。

在觀測矩陣滿足RIP條件時，可將求解極小化l0范數(shù)問題轉化為求解極小化l1范數(shù)問題：

(4)

通過求解式(4)可恢復出稀疏信號。根據(jù)RIP定理，觀測矩陣和變換基的不相干程度越高，對信號稀疏程度的要求越低。

1.2 壓縮信息采集原理

傳統(tǒng)信號采樣過程是信號從模擬到數(shù)字的轉換過程，設采樣時間間隔為T，該過程可表示為

y(nT)=

(5)

式中,x(t)為原始模擬信號；y(nT)為采集的數(shù)字信號；h(t)為濾波器。

傳統(tǒng)信號采樣過程原理見圖1。其中，TNyq為奈奎斯特采樣定理下的采樣時間間隔。

圖1 傳統(tǒng)信號采樣過程原理圖Fig.1 Principle diagram of the traditional sampling process

傳統(tǒng)采樣過程必須遵循Shannon-Nyquist采樣定理才能保證信號的無失真恢復。

采集到離散數(shù)字信號y(nT)后，一般可基于Whittaker-Shannon采樣定理，根據(jù)下式將連續(xù)間隔數(shù)字信號重構成連續(xù)信號：

(6)

sinc(x)=sin(πx)/πx

根據(jù)壓縮感知原理，如果信號在某一變換基下是稀疏的，通過一個與變換基不相關的觀測矩陣，可以將信號從高維空間投影至低維空間，使得低維信號仍保留足夠原信號信息，實現(xiàn)壓縮采集。這種壓縮信息采樣過程是一種信號的模擬，即信息轉換過程。完成這一過程的方法稱為模擬/信息轉換器(analog to information convertor,AIC)。目前已有多種AIC實現(xiàn)方案。以基于隨機信號調制的AIC方案為例[10]，該方案原理見圖2。其中，Tcs為壓縮感知框架下的采樣時間間隔。

圖2 壓縮感知框架下AIC采樣原理圖Fig.2 Principle diagram of the AIC sampling process under the framework of compressed sensing

壓縮感知框架下AIC采樣表達式為

y(m)=(x(t)P(t))?h(t)|t=aTNyq

(7)

其中，P(t)是一個偽隨機序列，它與測量矩陣有關。在一段時間間隔T內，應用傳統(tǒng)采樣方法采集N點信號，應用AIC采樣方法采集M點信號，a=M/N(a<1)，a是AIC采集所用時間與傳統(tǒng)采集所用時間之比，以下簡稱壓縮比。AIC采樣方法的平均采樣速率因此得到降低。

在實現(xiàn)時，這種采樣方法相當于是分幀采樣，每幀m個樣本點，重構時分幀重構，每幀信號長度過短則不利于信息的完整性，每幀信號長度過長重構時間將會成倍增長，且不利于硬件的實現(xiàn)。

在壓縮感知框架下，AIC采樣設計實質上是在測量矩陣下采集信號的硬件實現(xiàn)方法。其中感知矩陣RIP特性對該方案性能起重要作用，因此測量矩陣的設計十分關鍵，一方面要考慮它與任意稀疏信號或稀疏基的不相關性，另一方面也要考慮硬件的實現(xiàn)和成本問題。

1.3 部分hadamard測量矩陣

定義1 一個N點離散時間信號x(n)，且N=2q(q為正整數(shù))，其離散hadamard變化定義為

(8)

k=0,1,…,N-1

其中，bi(x)是非負整數(shù)二進制形式的第i位，如8的二進制形式可表示為1000，則b0(8)=0,b1(8)=0,b2(8)=0,b3(8)=1。離散hadamard變換用hadamard矩陣表示更為直觀。

定義2 設一個矩陣是由+1和-1兩種元素構成的正交方陣。即若滿足：

HHT=nI

(9)

式中，I為一個單位矩陣。

則稱H是一個n階hadamard矩陣。二階規(guī)范hadamard矩陣為

四階規(guī)范hadamard矩陣為

已證明除了二階規(guī)范hadamard矩陣外，hadamard矩陣的階數(shù)均是4的倍數(shù)[11-12]。

離散hadamard變換可用hadamard矩陣表示：

XH(k)=x(n)H

(10)

根據(jù)壓縮感知原理，可應用hadamard矩陣設計和構造常用且效果良好的測量矩陣——部分hadamard測量矩陣。信號在hadamard測量矩陣下采集，相當于對信號進行離散hadamard變換[13]。

構造部分hadamard測量矩陣，首先構造一個N×N的hadamard矩陣，然后抽取其中的M行，得到的M×N的矩陣即為測量矩陣，經(jīng)該測量矩陣采集信號，長度為N的原始信息將映射到M維特征空間。該測量矩陣為確定性測量矩陣，構造方法簡單，便于硬件和光學實現(xiàn)。

2 壓縮感知框架下的滾動軸承故障診斷

在滾動軸承故障診斷過程中，振動數(shù)據(jù)采集的最終目的是能夠提取故障信息。重構信號的過程是將采集信息轉化成與原始模擬信號最相似的過程，重構信號的目的是能夠更加順利地進行特征提取，在故障診斷中信號重構實質是特征提取的一種手段[14]。數(shù)據(jù)的重構過程，伴隨著重構誤差和軟件代價，故障信號的復雜性和非稀疏性對信號重構帶來極大挑戰(zhàn)?；谶@種情況，本文提出一種在壓縮感知框架下壓縮信息采樣的故障診斷新方法，根據(jù)測量矩陣與故障敏感特征信息參量性質，不重構信號，直接從少量觀測值中提取故障特征信息，進行故障診斷。

本文選用部分hadamard測量矩陣。hadamard矩陣是正交矩陣，離散hadamard變換是正交變換，根據(jù)正交變換在歐氏空間中內積不變的性質，可以證明x(n)經(jīng)離散hadamard變換后，序列能量保持不變,因此得到以下表達式：

(11)

由式(11)可知，數(shù)據(jù)經(jīng)hadamard變換后能很好地保留原始數(shù)據(jù)的趨勢特征，結合均方根公式，在hadamard矩陣下采集所得信號的均方根值與原始信號均方根值成正比。

當hadamard矩陣階數(shù)較高時，hadamard矩陣中+1、-1個數(shù)接近。如768階的hadamard矩陣中+1個數(shù)為295 296，-1個數(shù)為294 528。構造一個大小為768×64的部分hadamard觀測矩陣，其中+1個數(shù)為249 60，-1個數(shù)為241 92，部分hadamard觀測矩陣中+1和-1數(shù)量近似相等且比例各占1/2，可以看做是一個均值為0、方差為1的隨機均勻分布的矩陣。在該測量矩陣下采樣得到的數(shù)據(jù)對某些統(tǒng)計特征信息改變不大，對特定統(tǒng)計推理任務是有效的，可直接利用壓縮采樣信號提取故障特征信息。具體實現(xiàn)可分為三個部分：

(1)數(shù)據(jù)采集。應用壓縮感知理論確定測量矩陣為部分hadamard觀測矩陣，確定壓縮比a，在測量矩陣下采集數(shù)據(jù)，得到軸承不同工作狀態(tài)下各L幀數(shù)據(jù)、每幀M個樣本點。

(2)特征提取。選擇合適統(tǒng)計特征量作為故障特征參量，分別計算采樣所得各組數(shù)據(jù)的特征參量。

(3)故障診斷。應用支持向量機算法理論進行故障診斷，先利用粒子群算法對SVM中參數(shù)進行尋優(yōu)，得到最優(yōu)參數(shù)后再對特征參量進行分類識別。

3 實驗研究

3.1 實驗對象

選擇美國凱斯西儲大學電氣工程實驗室的滾動軸承實驗數(shù)據(jù)進行分析驗證，待測滾動軸承型號為SKF6205，使用電火花加工技術分別在驅動端軸承外圈、內圈、滾動體上布置單點故障。故障尺寸為：深0.2794 mm，直徑0.1778 mm。滾珠個數(shù)為9。軸承分別在正常、內圈故障、外圈故障、滾動體故障4種狀態(tài)下工作，選擇加速度傳感器測量振動信號，以傳統(tǒng)采樣方法采集信號，采樣頻率12 kHz。得到數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖3 滾動軸承故障信號Fig.3 Rolling bearing fault signal

3.2 可行性分析及特征提取

為證明本文方法可行，需要確定部分hadamard觀測矩陣對特征參數(shù)的影響以及hadamard矩陣下特征參量的分布情況，從而挑選最合適的特征統(tǒng)計特征量作為特征參數(shù)進行特征提取。所選用的敏感特征參量如表1所示。

表1 敏感特征參量

測得軸承在正常情況、內圈故障、外圈故障、滾動體故障4種狀態(tài)下驅動端振動數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)采樣時，直接取25組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)截取4096個樣本點，計算每組數(shù)據(jù)的特征參量，軸承4種狀態(tài)下特征參量的分布如圖4所示。

圖4 在傳統(tǒng)采樣方式下采集信號統(tǒng)計特征參數(shù)Fig.4 Sample signal statistical feature parameters under the traditional sampling method

在測量矩陣下采樣時(非壓縮情況)，構造一個4096×4096的hadamard矩陣，在hadamard觀測矩陣下逐幀采集軸承4種狀態(tài)下的振動數(shù)據(jù)各25組，每組數(shù)據(jù)4096個樣本點，計算特征參量值，得到特征參量分布，如圖5所示。

對比圖4、圖5，采用hadamard觀測矩陣采集數(shù)據(jù)，對T1、T7影響較大，影響各狀態(tài)下的故障識別和分類;對T5數(shù)值上無影響;對T6、T2數(shù)值上影響很小;對T3、T4相對其他特征參量影響較大，但這些特征參量整體分布仍然遵循一定規(guī)律,對故障特征的分離和識別影響很小，與前文推理結果相一致;對T8至T12的影響較為復雜，其中對T8影響較小，不影響其特征分布，對T9的數(shù)值特征影響較小，但對其分布影響稍大。

圖5 在hadamard矩陣下采集信號統(tǒng)計特征參數(shù)Fig.5 Sample signal statistical feature parameters under the hadamard matrix

在滾動軸承的狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷中，有量綱參量相對分類效果較好但與設備狀態(tài)有關，需綜合應用有量綱和量綱一的敏感特征參量。其中方差能夠直接反映振動能量的大小，波形因子對低頻信號反映強烈，峭度因子對中高頻信號較為敏感，是故障診斷中常用的特征參量[15-16]。綜合圖4、圖5的分析說明，在hadamard矩陣下測量對信號的峭度因子、方差、波形因子影響有限，較其他特征參量性能更為理想，故選取峭度因子、方差、波形因子作為特征參量。

在本文采樣方式下取軸承4種工作狀態(tài)數(shù)據(jù)120組，每組768個采樣點，計算各特征值，得到三維故障特征向量分布圖，見圖6。

圖6 在hadamard矩陣下采集信號峭度因子、方差、波形因子分布Fig.6 Kurtosis factor, variance and waveform factor distribution of sampling signal under the hadamard matrix

由圖6可以看出軸承4種狀態(tài)下特征參量分布的不同，從而證明在hadamard矩陣下采集數(shù)據(jù)，用峭度因子、方差、波形因子作為特征參量提取特征從而進行故障診斷的方法是可行的。

3.3 基于壓縮感知的故障診斷

就數(shù)據(jù)的壓縮量對故障診斷效果影響作進一步研究。應用兩種采樣方法采集軸承在正常情況、內圈故障、外圈故障、滾動體故障4種狀態(tài)下的數(shù)據(jù)。

對兩種采樣方法得到的故障識別率作比較。應用傳統(tǒng)采樣方式采集信號，每組信號長度為100點，應用本文采樣方法在壓縮比a=0.13的情況下采集信號，每組信號長度同樣為100點，但信息長度相當于傳統(tǒng)方法采集768點信息的長度。分別求4種狀態(tài)下120組數(shù)據(jù)樣本的敏感特征參量，得到圖7、圖8。

圖7 本文方法特征參量分布情況Fig.7 Distribution of feature parameters under the method in this paper

圖8 傳統(tǒng)方法特征參量分布情況Fig.8 Distribution of feature parameters under the traditional method

對比圖7、圖8可以清晰看出，應用本文方法采集數(shù)據(jù)，特征參量分布及各類樣本更易區(qū)分。對數(shù)據(jù)進行分組，其中每種狀態(tài)數(shù)據(jù)60組作為訓練樣本，60組作為測試樣本，應用PSO-SVM算法分別計算其故障識別率，本文方法故障識別率為95.83%，傳統(tǒng)方法故障識別率為89.58%，在采樣點為100時本文方法故障識別率更高。

在數(shù)據(jù)壓縮采集過程中，N值代表了每段信息的長度，M值代表了壓縮采樣下的測量點數(shù)，壓縮比a=M/N。當N不變、M值減小時，每幀數(shù)據(jù)代表信息長度不變，測量點數(shù)減小，平均采樣頻率隨M減小而減?。划擬值不變、N值增大時，測量點數(shù)不變，每幀數(shù)據(jù)代表信息長度增大，平均采樣頻率隨N增大而減小。

對比圖6、圖7，可以看出N不變情況下，測量值M的減小，對特征參量分布有一定程度的影響。進而作橫向對比，N值設置為768，分別對兩種采樣方式得到不同長度數(shù)據(jù)進行特征提取和模式識別，數(shù)據(jù)長度范圍為32～768點，每間隔4個數(shù)據(jù)點計算其故障識別率，得到結果如圖9所示。根據(jù)圖9可知，隨著數(shù)據(jù)長度的減小，到一定程度后，統(tǒng)計特征量作為特征參數(shù)將不能完整地表現(xiàn)一個信號的特征，特征提取效果將會大大降低，故障識別率開始明顯下降。測量點數(shù)在250～768之間時，本文方法與傳統(tǒng)方法故障診斷率基本相同，在95%左右；當測量點數(shù)在60～250之間時，傳統(tǒng)采樣方式得到的信號長度不能滿足特征提取的需要，故障識別率開始下降，應用本文方法采集的數(shù)據(jù)長度攜帶更多的信息量，其故障識別率高于傳統(tǒng)采樣方法，與之前的故障識別率基本相同。當數(shù)據(jù)長度降低至32～60點時，本文方法得到的故障識別率由于信息量不足也逐漸開始下降，傳統(tǒng)方法得到的故障識別率仍然在繼續(xù)下降。說明應用本文方法可以用更少的采樣點實現(xiàn)故障診斷任務。

圖9 兩種方法故障識別率對比Fig.9 Comparison of fault recognition rate under two methods

為進一步驗證本文方法優(yōu)勢，作縱向對比，測量點數(shù)M確定的情況下，不同信息長度N對故障識別率的影響如表2所示。

表2 不同采樣信息長度下兩種采樣方式故障識別率分布對比

當采用傳統(tǒng)采樣方法采集數(shù)據(jù)，測量點數(shù)為64時，由于信號長度不夠，表達特征不夠準確，故障識別率僅82%左右；采用本文方法采集數(shù)據(jù)，當壓縮比a=1，測量點數(shù)也為64時，故障識別率與采用普通采集方法得到的數(shù)據(jù)近似，對比圖9中傳統(tǒng)方法故障診斷率曲線，說明無論在哪種采樣方式下，在信息長度不足時，故障信息無法被充足地提取出來。隨著信息長度增長，在一定壓縮比范圍內，測量點數(shù)不變，隨著N值逐漸增大，故障識別率逐漸提高，最終故障識別率提高到95%左右。M值不變的情況下，隨著N值增大相同信息長度采樣時間逐漸延長，一段時間內的平均采樣率逐漸降低，說明應用本文方法實現(xiàn)故障診斷任務可有效降低平均采樣率。

4 結論

(1)提出了一種基于壓縮感知的故障診斷方法，根據(jù)在觀測矩陣下壓縮采集到的信號包含原來信號的大部分信息，平衡觀測矩陣和故障特征參量的性能，直接將故障特征信息提取出來，而不需經(jīng)過信號重構，實現(xiàn)信號壓縮采集，且不影響故障信息提取。

(2)理論及實驗證明，信號在部分hadamard測量矩陣下采集對某些反應故障特征的統(tǒng)計特征參量的影響程度有限，可直接進行特征提取，從而證明了本文方法可行。

(3)選用部分hadamard測量矩陣進行全局非自適應性測量采集信號，利用峭度因子、方差、波形因子作為特征參量提取故障信息，應用PSO-SVM算法進行故障診斷。滾動軸承故障診斷的實驗表明，該方法較傳統(tǒng)方法可以利用較少量采樣點表達故障特征，降低了信號的平均采樣率，實現(xiàn)故障診斷任務。

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(編輯 袁興玲)

Fault Diagnosis Method for Rolling Bearings Based on Compression Information Feature Extractions

MENG Zong1LI Jing1LONG Haifeng2PAN Zuozhou1

1.Key Laboratory of Measurement Technology and Instrumentation of Hebei Province,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei，066004 2.Beijing Research Institute of Precise Mechatronics and Controls, Beijing, 100076

As a new sampling method, compressed sensing samples with the signal sparse features were presented, which was far below the Nyquist sampling theorem. It might reduce generous requirements of data acquisition, transmission and storage hardware. Aiming at the signals from the compression perception within the framework, this paper proposed a new method for rolling bearing fault diagnoses. In this method, part of hadamard matrix was chosen as a measurement matrix, and kurtosis factor, variance and waveform factor as a sensitive parameters. So there was no need to rebuild compression measurement and the gathering informations were utilized to extract sensitive characteristics directly, and then the PSO-SVM algorithm was used for pattern recognition so as to realize fault diagnoses. It is shown that within a certain range compression ratio, the method may use less amount of data of fault characteristics for rolling bearing fault diagnoses.

compressed sensing; hadamard matrix; feature extraction; fault diagnosis

2016-05-20

國家自然科學基金資助項目(51575472)；河北省自然科學基金資助項目(E2015203356)；河北省高等學?？茖W研究計劃資助重點項目(ZD2015049)；河北省留學人員科技活動擇優(yōu)資助項目(C2015005020)

TN911;TH17

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.07.009

孟 宗，男，1977年生。燕山大學電氣工程學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為振動信號分析與處理、旋轉機械狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷。發(fā)表論文30余篇。E-mail:mzysu@ysu.edu.cn。李 晶，女，1990年生。燕山大學電氣工程學院博士研究生。龍海峰，男，1979年生。北京精密機電控制設備研究所高級工程師。潘作舟，男，1994年生。燕山大學電氣工程學院碩士研究生。