程明松+李正學(xué)

摘要：數(shù)學(xué)分析習(xí)題課是教學(xué)過(guò)程中必不可少的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，本文從邏輯性教學(xué)、指導(dǎo)性教學(xué)、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)三個(gè)方面討論了數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教學(xué)中應(yīng)注意的一些問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)方法進(jìn)行了有益的探索。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；習(xí)題課；問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）23-0177-02

《數(shù)學(xué)分析》是高等院校數(shù)學(xué)系學(xué)生必修的一門數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課，一般也是大一學(xué)生上大學(xué)后開(kāi)始接觸的最基礎(chǔ)的高等數(shù)學(xué)。通過(guò)本門課程的教學(xué)，要使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)的邏輯性、嚴(yán)密性方面的嚴(yán)格訓(xùn)練；掌握近代數(shù)學(xué)的方法、技巧，特別是通過(guò)大量的訓(xùn)練，具體掌握微分、積分的思想和方法，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力的強(qiáng)化訓(xùn)練，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)乃至今后畢生的工作奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但由于一上來(lái)學(xué)生就開(kāi)始學(xué)習(xí)語(yǔ)言，學(xué)生普遍反映比較難。而數(shù)學(xué)分析習(xí)題課既是課堂教學(xué)的延伸和應(yīng)用，又為學(xué)習(xí)新知識(shí)打下基礎(chǔ)，起著承上啟下、融會(huì)貫通的橋梁作用。因而數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)就是這門課不可或缺的重要環(huán)節(jié)，它是理論與實(shí)踐、知識(shí)與能力、教與學(xué)的結(jié)合部，可以幫助學(xué)生掌握證明問(wèn)題的技巧，培養(yǎng)從分析問(wèn)題到解決問(wèn)題的邏輯思維能力和推理論證能力，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

盡管數(shù)學(xué)分析習(xí)題課有著十分重要的地位和作用，但在教學(xué)過(guò)程中還是存在著某些偏頗，如習(xí)題課上某些老師只是講解例題，呈現(xiàn)出“老師講，學(xué)生記”的情境；也有的老師教學(xué)方法、教學(xué)手段單一，沒(méi)有從學(xué)生的角度思考，只是一味地演算習(xí)題，對(duì)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力培養(yǎng)不夠。筆者在此不做過(guò)多的討論，僅僅從以下面三個(gè)方面來(lái)淺談一下數(shù)學(xué)分析習(xí)題課中應(yīng)該注意的地方。

一是關(guān)于數(shù)學(xué)分析的邏輯性教學(xué)。數(shù)學(xué)分析這門課有著嚴(yán)密的邏輯體系，邏輯也是這門課最大的一個(gè)特點(diǎn)。因此上習(xí)題課時(shí)，不管是理論證明題還是計(jì)算題，都要提供嚴(yán)格的邏輯推理過(guò)程。這一特點(diǎn)尤其體現(xiàn)在剛?cè)雽W(xué)時(shí)學(xué)習(xí)的證明極限的ε-N語(yǔ)言。由于極限的定義本身是有四句話組成，不像學(xué)生以前學(xué)過(guò)的其他定義那么淺顯，因而學(xué)生初學(xué)時(shí)往往不容易理解透徹，用定義證明極限時(shí)也容易丟三落四。習(xí)題課上就要詳細(xì)解說(shuō)這種邏輯語(yǔ)言的妙處，它與通常說(shuō)的當(dāng)n充分大時(shí)，a■會(huì)充分靠近極限a有什么區(qū)別。有了極限ε-N的語(yǔ)言，我們才能描述清楚a■與a靠近到什么程度，才能在以后的證明過(guò)程中有效地進(jìn)行邏輯推理。如講解例題：設(shè)■a■=0，證明■■=0。如果不用ε-N語(yǔ)言，那怎么來(lái)描述■很靠近0呢？正是因?yàn)橛辛甩?N語(yǔ)言，我們才可以分段進(jìn)行估計(jì)，先是找到正整數(shù)K使得n>K時(shí)，有|a■|<ε。在這樣的條件下我們才能繼續(xù)進(jìn)行估計(jì)，從而可以找到滿足極限定義的N。如果沒(méi)有了ε-N語(yǔ)言，是很難從邏輯上讓人信服的說(shuō)明結(jié)論成立。

二是關(guān)于數(shù)學(xué)分析的指導(dǎo)性教學(xué)。在習(xí)題課上如果老師只是簡(jiǎn)單地講解一些習(xí)題，羅列一些結(jié)果，對(duì)學(xué)生而言，學(xué)到的技巧就很少，收獲不大?！笆谌艘贼~不如授人以漁”，只有把學(xué)生的積極性調(diào)動(dòng)起來(lái)，把學(xué)生的興趣培養(yǎng)起來(lái)，把對(duì)這門課的宏觀認(rèn)識(shí)建立起來(lái)，才有可能實(shí)現(xiàn)我們想要的教學(xué)目標(biāo)。這需要我們平時(shí)多指導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)這方面的一些技巧、方法以及思想。數(shù)學(xué)分析的習(xí)題往往不是一種解法，我們可以從不同的角度展示這些證明或計(jì)算的技巧，指導(dǎo)他們從這樣的證明過(guò)程中真正掌握屬于自己的證明手段。在講解習(xí)題：證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)■■在（0，π）上不一致收斂。我們首先要引導(dǎo)學(xué)生思考有那些證明不一致收斂的手段，哪些或哪一個(gè)可能在這兒會(huì)起到關(guān)鍵的作用。經(jīng)過(guò)引導(dǎo)，學(xué)生可能會(huì)想到用Cauchy收斂原理來(lái)證明不一致收斂，但怎么證明呢？我們首先將不一致收斂的Cauchy收斂原理寫在黑板上：存在ε■=？，對(duì)任意的正整數(shù)N，存在正整數(shù)n=？（n>N），存在正整數(shù)p=？，以及區(qū)間（0，π）中的點(diǎn)x■=？能使得■■≥ε■。這里帶問(wèn)號(hào)的都是需要我們?nèi)フ业?，因此我們要進(jìn)行不等式的放縮以期達(dá)到我們的目的。然后指導(dǎo)學(xué)生取x■要很小使得相加的每一項(xiàng)都是正數(shù)，這樣放縮時(shí)不需要帶著絕對(duì)值符號(hào)；當(dāng)然這需要取適當(dāng)?shù)膎，p以及x■，使得相加之后的和不會(huì)很小。這樣的不等式放縮技巧有很多，答案也不是唯一的，因而通過(guò)這樣的推理指導(dǎo)過(guò)程，可以使得學(xué)生迅速掌握Cauchy收斂原理以及用Cauchy收斂原理證明的思路。

三是數(shù)學(xué)分析中關(guān)于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方式。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析教學(xué)過(guò)于注重形式表達(dá)，學(xué)生經(jīng)常“知其然而不知所以然”，如果用重大的、有廣泛應(yīng)用的、引人入勝的數(shù)學(xué)問(wèn)題，把冷漠的、機(jī)械的、枯燥的數(shù)學(xué)分析理論，能轉(zhuǎn)變?yōu)樯鷦?dòng)的、易懂的、豐富多彩的科學(xué)思想和應(yīng)用實(shí)踐，這樣使學(xué)生既能了解這門科學(xué)從哪里來(lái)，也能知曉它往哪里去，從內(nèi)心深處產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣、學(xué)好的愿望和勤學(xué)的動(dòng)力。實(shí)際上，數(shù)學(xué)分析這門課中很多定理或者結(jié)論都具有很強(qiáng)的物理背景或者幾何含義，很多情況下也有著很現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用。比如物理中的速度位移問(wèn)題，就與導(dǎo)數(shù)以及積分有著密切的聯(lián)系；光在不同的介質(zhì)中傳播會(huì)出現(xiàn)折射現(xiàn)象就與函數(shù)的最值問(wèn)題有關(guān)；還有物理中的力的做功問(wèn)題，流體力學(xué)中的各種問(wèn)題等，都與微積分有著割舍不斷的關(guān)系。比如在講解習(xí)題：f（x）在[a，b]上連續(xù)遞增，證明：■xf（x）dx≥■■xf（x）dx。一種證明思路是考慮變上限積分：F（x）=■tf（t）dt-■■f（t）dt，通過(guò)對(duì)F（x）的單調(diào)性進(jìn)行研究得到結(jié)果。我們可以引導(dǎo)學(xué)生考慮速度與位移之間的關(guān)系，進(jìn)而思考積分與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，從而可以完成證明。

數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教學(xué)中其實(shí)有很多值得注意的地方，如怎樣能提高學(xué)生的興趣，引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂討論或研究環(huán)節(jié)；怎樣培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的思維訓(xùn)練能力等。如何充分的發(fā)揮習(xí)題課環(huán)節(jié)的積極作用，并與課堂教學(xué)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，不斷提高數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)質(zhì)量，是值得老師在今后的教學(xué)實(shí)踐中不斷探索和思考的一個(gè)課題。

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A Brief Probe on "Mathematical Analysis" with Its Exercise Class

CHENG Ming-song，LI Zheng-xue

（School of Mathematical Sciences，Dalian University of Technology，Dalian， Liaoning 116023，China）

Abstract：The exercise class of mathematical analysis plays an important role in teaching process.In this paper，we discuss three facts about mathematical analysis exercise class，which are logical teaching，instructional teaching and teaching with stimulated problems，hence we give a good search for the exercise class of mathematical analysis.

Key words：mathematical analysis；exercise class；teaching with stimulated problems