宋靜, 張毅

(1.蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院， 江蘇 蘇州 215009； 2.蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院， 江蘇 蘇州 215011)

基于非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性與守恒量*

宋靜1, 張毅2

(1.蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院， 江蘇 蘇州 215009； 2.蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院， 江蘇 蘇州 215011)

研究基于兩類非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)(指數(shù)Lagrange函數(shù)和Lagrange冪函數(shù))的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性及其守恒量。首先，給出基于指數(shù)Lagrange函數(shù)和Lagrange冪函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性的定義與判據(jù)；其次，提出由系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性導(dǎo)致的Noether守恒量與Mei守恒量的存在條件及其形式，給出四個Noether-Mei對稱性定理。最后，舉例說明結(jié)果的應(yīng)用。

非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)；Noether-Mei對稱性；Noether守恒量；Mei守恒量

動力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量因其具有重要的數(shù)學(xué)意義與物理意義，現(xiàn)已成為分析力學(xué)一個活躍的研究方向，并在現(xiàn)代數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)中占有及其重要的地位。力學(xué)系統(tǒng)的對稱性主要有Noether對稱性、Lie對稱性和Mei對稱性，相應(yīng)的守恒量主要有Noether守恒量、Hojman守恒量和Mei守恒量[1-6]。隨著研究的深入，諸多學(xué)者對兩種以上對稱性進(jìn)行了研究，并已取得一些成果[7-11]。非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)，又稱非自然Lagrange函數(shù)，不同于經(jīng)典的Lagrange函數(shù)，它沒有動能與勢能的明顯區(qū)分。近年來，對于基于非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的研究已經(jīng)取得一系列成果。Musielak[12-13]研究了耗散系統(tǒng)中獲得非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)的方法及其存在條件，El-Nabulsi[14-15]研究了非線性動力學(xué)系統(tǒng)基于兩類非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)的作用量及動力學(xué)方程，并將非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)應(yīng)用于Friedmann-Robertson-Walker時空中，討論了非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)在宇宙學(xué)中的影響。張毅等[16-17]研究了基于非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether對稱性和降階法。本文研究基于非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性與守恒量，給出系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性的定義和判據(jù)，建立Noether-Mei對稱性與Noether守恒量，Mei守恒量之間的聯(lián)系，給出了四個Noether-Mei對稱性定理，并結(jié)合具體算例說明了結(jié)果的應(yīng)用。

1 基于指數(shù)Lagrange函數(shù)的Noether- Mei對稱性與守恒量

1.1 Noether-Mei對稱性

基于指數(shù)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為[16]

(1)

定義1 對于基于指數(shù)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)(1)，如果一個對稱性既是Noether對稱性又是Mei對稱性，則稱這個對稱性為該系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性。

取時間t與廣義坐標(biāo)qs的無限小變換

(2)

其展開式為

(3)

其中ε為無限小參數(shù)，ξ0,ξs為無限小變換的生成元。

假設(shè)在無限小變換(2)下，指數(shù)Lagrange函數(shù)exp(L)變換為

(4)

其中

(5)

如果無限小變換(2)的生成元ξ0和ξs滿足方程

(6)

(7)

則相應(yīng)的對稱性為基于指數(shù)Lagrange函數(shù)的Noether對稱性。于是有

(8)

則相應(yīng)的對稱性為基于指數(shù)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性。

1.2Noether-Mei對稱性導(dǎo)致的守恒量

定理1 對于基于指數(shù)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)(1)，Noether-Mei對稱性可導(dǎo)致Noether守恒量，形如

(9)

(10)

則系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性導(dǎo)致Mei守恒量，形如

(11)

證明

1.3 算例

已知某指數(shù)Lagrange函數(shù)為[16]

(12)

系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為

(13)

由式(5)可得

(14)

取無限小生成元

(15)

則有

(16)

由式(12)容易驗證生成元(15)滿足Mei對稱性的確定方程(6)，故生成元(15)相應(yīng)于系統(tǒng)的Mei對稱性。由Noether等式(7)得

(17)

將生成元(15)代入式(17)，得

GN=0

(18)

則生成元(15)相應(yīng)于系統(tǒng)的Noether對稱性。因此，生成元(15)是基于指數(shù)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性。據(jù)此給出與生成元(15)相應(yīng)的Mei對稱性結(jié)構(gòu)方程

(19)

其中

(20)

由方程(19)和(20)得

GM=0

(21)

由定理2，系統(tǒng)存在Mei守恒量

(22)

式(22)是由基于指數(shù)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性導(dǎo)致的Mei守恒量。再將生成元(15)和規(guī)范函數(shù)(18)代入式(9)，得到Noether守恒量

(23)

式(23)是由基于指數(shù)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性導(dǎo)致的Noether守恒量。

2 基于Lagrange冪函數(shù)的Noether- Mei對稱性與守恒量

2.1 Noether-Mei對稱性

基于Lagrange冪函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為[16]

(24)

定義2 對于基于Lagrange冪函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)(24)，如果一個對稱性既是Noether對稱性又是Mei對稱性，則稱這個對稱性為該系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性。

假設(shè)在無限小變換(2)下，Lagrange冪函數(shù)L1+α變換為

(25)

如果無限小變換(2)的生成元ξ0和ξs滿足方程

(26)

(27)

則相應(yīng)的對稱性為基于Lagrange冪函數(shù)的Noether對稱性。于是有

(28)

則相應(yīng)的對稱性為基于Lagrange冪函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性。

2.2Noether-Mei對稱性導(dǎo)致的守恒量

定理3 對于基于Lagrange冪函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)(24)，Noether-Mei對稱性可導(dǎo)致Noether守恒量，形如

(29)

(30)

則系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性導(dǎo)致Mei守恒量，形如

(31)

證明

2.3 算例

已知某Lagrange冪函數(shù)為

(32)

取α=1時，系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為

(33)

由式(5)可得

(34)

取無限小生成元

(35)

則有

(36)

由式(33)容易驗證生成元(35)滿足Mei對稱性的確定方程(26)，故生成元(35)相應(yīng)于系統(tǒng)的Mei對稱性。由Noether等式(27)得

(37)

將生成元(35)代入式(37)，得

GN=0

(38)

則生成元(35)相應(yīng)于系統(tǒng)的Noether對稱性。因此，生成元(35)是基于Lagrange冪函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性。據(jù)此給出與生成元(35)相應(yīng)的Mei對稱性的結(jié)構(gòu)方程

(39)

其中

(40)

由方程(39)和式(40)得

GM=0

(41)

由定理4，系統(tǒng)存在Mei守恒量

(42)

式(42)是由基于Lagrange冪函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性(35)導(dǎo)致的Mei守恒量。將生成元(35)和規(guī)范函數(shù)(38)代入式(29)，得到Noether守恒量

(43)

式(43)是由基于Lagrange冪函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性導(dǎo)致的Noether守恒量。

3 結(jié) 論

本文給出了基于非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性，它既是系統(tǒng)的Noether對稱性又是Mei對稱性。由Noether-Mei對稱性可以得到Noether守恒量和Mei守恒量。文中基于非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性推導(dǎo)出四個關(guān)于Noether守恒量和Mei守恒量的定理。本文的方法與結(jié)果具有普遍意義，可以推廣到其他約束力學(xué)系統(tǒng)。

[1] 梅鳳翔. 李群李代數(shù)對約束力學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1999.

[2] 梅鳳翔. 約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量[M]. 北京: 北京理工大學(xué)出版社, 2004.

[4] HOJMAN S A. A new conservation law constructed without using either Lagrangians or Hamiltonians[J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1992, 25: 291-295.

[5] 王樹勇，梅鳳翔. 相空間中完整約束系統(tǒng)的形式不變性[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2002, 41(6): 10-13. WANG S Y, MEI F X. Form invariance of holonomic systems in phase space[J]. Acta Scientiraum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2002, 41(6): 10-13.

[6] 張毅. 相空間中類分?jǐn)?shù)階變分問題的Noether對稱性與守恒量[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2013, 52(4): 45-50. ZHANG Y. Noether symmetry and conserved quantity for a fractional action-like variational problem in phase space[J]. Acta Scientiraum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2013, 52(4): 45-50.

[7] 方建會，丁寧，王鵬. 非完整力學(xué)系統(tǒng)的Noether-Lie對稱性[J]. 物理學(xué)報, 2006, 55(8): 3817-3820. FANG J H, DING N, WANG P. Noether-Lie symmetry of nonholonomic mechanical system[J]. Acta Physica Sinica, 2006, 55(8): 3817-3820.

[8] 劉仰魁, 方建會. 相空間中變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)Lie-Mei對稱性的兩個守恒量[J]. 物理學(xué)報, 2008, 57(11): 6699-6703. LIU Y K, FANG J H. Two types of conserved quantities of Lie-Mei symmetry for a variable mass system in phase system[J]. Acta Physica Sinica, 2008, 57(11): 6699-6703.

[9] 王雪萍, 張毅. Birkhoff系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性與守恒量[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2016, 55(4): 53-55. WANG X P, ZHANG Y. Noether-Mei symmetry and conserved quantity of Birkhoffian system[J]. Acta Scientiraum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2016, 55(4): 53-55.

[10] FANG J H, LIU Y K, ZHANG X N. New conserved quantities of Noether-Mei symmetry of mechanical system in phase space[J]. Chinese Physics B, 2008, 17(6): 1962-1966.

[11] XIE Y L, JIA L Q. Special Lie-Mei symmetry and conserved quantities of Appell equations expressed by Appell function. Chinese Physics Letters, 2010, 27(12): 120201.

[12] MUSIELAK Z E. Standard and non-standard Lagrangians for dissipative dynamical systems with variable coefficients [J]. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2008, 41(5): 295-302.

[13] MUSIELAK Z E. General conditions for the existence of non-standard Lagrangians for dissipative dynamical systems [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2009, 42(5): 2645-2652.

[14] EL-NABULSI R A. Non-linear dynamics with non-standard Lagrangians [J]. Qualitative Theory of Dynamical Systems, 2013, 12(2): 273-291.

[15] EL-NABULSI R A. Nonstandard Lagrangian cosmology[J]. Journal of Theoretical and Applied Physics, 2013, 7(1): 1-12.

[16] ZHANG Y, ZHOU X S. Noether theorem and its inverse for nonlinear dynamical systems with nonstandard Lagrangians[J]. Nonlinear Dynamics, 2016, 84(4): 1867-1876.

[17] 周小三, 張毅. 基于非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Routh降階法[J]. 力學(xué)季刊, 2016, 37(1): 15-20. ZHOU X S, ZHANG Y. Routh Method of reduction for dynamical systems with non-standard Lagrangians[J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2016, 37(1): 15-20.

Noether-Mei symmetry and conserved quantity for dynamical systems with non-standard Lagrangians

SONGJing1，ZHANGYi2

(1.College of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China; 2.College of Civil Engineering, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215011, China)

This paper focuses on studying the Noether-Mei symmetry and the conserved quantity for dynamical systems with non-standard Lagrangians (exponential Lagrangians and power law Lagrangians). Firstly, The definition and the criteria of Noether-Mei symmetry for dynamical systems with non-standard Lagrangians are given. Secondly, The conditions that Noether-Mei symmetry leads to Noether conserved quantity or Mei conserved quantity and the form of conserved quantities are put forward. And four theorems for Noether-Mei symmetry and conserved quantities are established. Two examples are given to illustrate the application of the results.

non-standrad Lagrangian; Noether-Mei symmetry; Noether conserved quantity; Mei conserved quantity

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.03.004

2016-10-08 基金項目： 國家自然科學(xué)基金(11272227，11572212)；蘇州科技大學(xué)研究生科研創(chuàng)新計劃(SKYCX16_12)

宋靜(1992年生)，女；研究方向：力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法；E-mail: sandyquiet@hotmail.com

張毅(1964年生)，男；研究方向：動力學(xué)與控制；E-mail: zhy@mail.usts.edu.cn

O316

A

0529-6579(2017)03-0026-05