趙曉明，陳學(xué)軍，魏瑞利，王青松，蘇新軍

(西安衛(wèi)星測控中心，陜西 西安 710043)

RLS、VSSLMS算法應(yīng)用于天線組陣的分析及仿真

趙曉明，陳學(xué)軍，魏瑞利，王青松，蘇新軍

(西安衛(wèi)星測控中心，陜西 西安 710043)

針對(duì)天線組陣常用相關(guān)算法Simple、Sumple、Eigen(基于本征值)和LS(最小二乘法)的不足，提出遞推式最小二乘法(RLS)和變步長最小均方法(VSSLMS)這2種新型算法，對(duì)其應(yīng)用于深空網(wǎng)天線組陣進(jìn)行了研究。對(duì)這2種算法進(jìn)行了仿真，結(jié)果表明，RLS算法存在信噪比合成性能隨組陣天線數(shù)目增加而下降的缺陷，VSSLMS算法具有強(qiáng)信號(hào)時(shí)信噪比合成性能迅速提高的優(yōu)點(diǎn)；在接收信號(hào)弱并且組陣天線數(shù)目較少情況下，RLS算法的信噪比合成性能略好于VSSLMS算法；當(dāng)接收信號(hào)較強(qiáng)尤其是組陣天線數(shù)目較多時(shí)，VSSLMS算法的信噪比合成性能反而比RLS算法更好一些。

天線組陣；信噪比合成性能；遞推式最小二乘算法；變步長最小均方算法

0 引言

深空探測是當(dāng)今航天技術(shù)發(fā)展的一個(gè)重要方向，其主要技術(shù)難題之一是微弱信號(hào)條件下的信號(hào)接收問題，基于性價(jià)比及使用靈活性等方面的考慮[1]，將一定數(shù)量的天線進(jìn)行組陣不失為提高微弱信號(hào)接收信噪比的有效途徑。

當(dāng)前天線組陣技術(shù)的研究方向主要有寬帶合成技術(shù)、相關(guān)算法、天線布局優(yōu)化、大氣環(huán)境影響、非均勻陣合成及故障天線的檢測和處理等[2]。文獻(xiàn)[3-4]對(duì)下行寬帶信號(hào)合成方案、相關(guān)算法及合成效率等進(jìn)行了相關(guān)理論分析和初步工程驗(yàn)證，文獻(xiàn)[5-6]對(duì)天線布局優(yōu)化問題進(jìn)行了理論分析和仿真，文獻(xiàn)[7]給出了天線組陣中大氣擾動(dòng)的模型，經(jīng)數(shù)值模擬后對(duì)擾動(dòng)造成的增益合成損失進(jìn)行了評(píng)估，文獻(xiàn)[8-9]中將均勻天線陣中的一些理論方法推廣到非均勻天線陣。針對(duì)基于Sumple算法的組陣天線，文獻(xiàn)[10]給出了一種權(quán)值幅度修正算法，可明顯降低故障天線的權(quán)值幅度并有助于檢測出故障天線。

相關(guān)算法的合理選擇對(duì)提高天線陣信噪比合成性能有著重要的意義，信噪比合成因子(表征信噪比合成損失的大小)或合成效率是評(píng)判算法優(yōu)劣的主要尺度。

深空網(wǎng)天線組陣常用的信號(hào)相關(guān)合成算法有Simple、Sumple、Eigen和LS[1]。

Simple算法中，指定天線陣中的某一個(gè)天線作為參考天線，其余天線的信號(hào)分別與參考天線的信號(hào)進(jìn)行相關(guān)，再用各個(gè)相關(guān)結(jié)果分別去修正對(duì)應(yīng)天線的信號(hào)，使各個(gè)天線的信號(hào)與參考天線相位對(duì)齊，最后將所有天線的信號(hào)相加，從而提高SNR。這種算法適用于天線陣中有一個(gè)大口徑主力天線的情形，選擇主力天線作為參考天線可提高相位對(duì)齊的程度。嚴(yán)格來講，此算法不是一種迭代算法，遞推次數(shù)的增加并不能提高相位對(duì)齊精度。

Sumple算法中，作為陣相位參考的不是某一個(gè)天線，而是所有其他天線信號(hào)的加權(quán)和。由于參考是流轉(zhuǎn)參考，因此存在相位漂移[3]。它是一種迭代算法，經(jīng)不到10次迭代，權(quán)系數(shù)便趨于收斂。這種算法可適用于比Simple算法更弱的情形。文獻(xiàn)[11-12]中對(duì)Sumple算法的權(quán)值計(jì)算及Sumple的相位漂移問題進(jìn)行了理論分析和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，文獻(xiàn)[13]中將Sumple算法相位補(bǔ)償及信號(hào)強(qiáng)度估計(jì)方法推廣到了非均勻天線陣。

Eigen算法是基于求矩陣本征值的一類算法，文獻(xiàn)[14-15]對(duì)它的迭代型算法Power Method(冪方法)和Matrix Free Power Method(無需構(gòu)造相關(guān)矩陣的冪方法)進(jìn)行了介紹。文獻(xiàn)[16]針對(duì)小區(qū)域天線組陣提出了一種基于歸一化權(quán)的Matrix Free Power Method。文獻(xiàn)[17]在SIMULINK仿真平臺(tái)上對(duì)該算法與Simple算法和Sumple算法的合成效率進(jìn)行了比較。這類算法對(duì)噪聲較敏感。

LS算法是利用最小均方誤差準(zhǔn)則得到的一種算法。一般情況下，需要構(gòu)造相關(guān)矩陣并且要求矩陣的逆，運(yùn)算量大。

上述4種算法中，LS算法的信噪比合成性能最好[1]。但對(duì)普通的LS算法而言，在實(shí)際應(yīng)用中可能遇到的困境是：當(dāng)相關(guān)矩陣對(duì)應(yīng)的行列式很小時(shí)，最小二乘估計(jì)的性能很差；另外，當(dāng)根據(jù)舊的數(shù)據(jù)構(gòu)造好相關(guān)矩陣后，隨著新的數(shù)據(jù)的產(chǎn)生，必須重新構(gòu)造相關(guān)矩陣，這會(huì)面臨計(jì)算上的困難。

為提高相關(guān)合成算法的信噪比合成性能，專家和學(xué)者們進(jìn)行了許多研究。文獻(xiàn)[18]中為更精確估計(jì)Sumple算法和Simple算法中相位差變化率，給出了一種最小二乘估計(jì)與濾波方法。針對(duì)信噪比及調(diào)制方式未知情況下的天線組陣文獻(xiàn)[19]提出了一種權(quán)值盲估計(jì)算法。文獻(xiàn)[20]中針對(duì)極低接收信噪比的情形提出了一種基于信噪比估計(jì)和單純形最優(yōu)化搜索的合成新算法。針對(duì)頻率選擇性衰落信道特性，文獻(xiàn)[21]中給出了一種基于頻域分量合并的算法。

這里提出2種新型遞推算法，RLS算法(遞推式最小二乘法)和VSSLMS算法(變步長最小均方法)，它們本質(zhì)上都是基于最小均方誤差準(zhǔn)則，因此可以獲得很好的信噪比合成性能，同時(shí)它們都不需要構(gòu)造相關(guān)矩陣，也不需求矩陣的逆，故相較于LS算法有計(jì)算上的優(yōu)勢。RLS算法是最小二乘法的遞推表示形式[22]。VSSLMS算法是在LMS(最小均方)算法基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。LMS算法是Widrow和Hoff等人于1960年提出的，它具有結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)算量小、穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)，因而得到廣泛的應(yīng)用。LMS算法存在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差這一對(duì)固有矛盾，VSSLMS(變步長最小均方)算法可以克服這一矛盾。

探索RLS和VSSLMS算法在天線組陣中的應(yīng)用，對(duì)它們的信號(hào)相關(guān)合成性能進(jìn)行仿真和評(píng)估頗有意義。

1 深空網(wǎng)天線組陣中的RLS算法

將上述方程組改寫為：

設(shè)

則上式可寫成矩陣形式：

C=XW+ε。

現(xiàn)定義列矢量b，其中br=(Cr/σr)，定義矩陣A，其中Ari=Xri/σr，則

χ2=(b-AW)T(b-AW)。

結(jié)果為:

理論上可證明，當(dāng)σi=σ=常數(shù)時(shí)，LS算法的實(shí)際合成輸出的信噪比SNR相對(duì)理想合成的信噪比SNR0的合成因子為[7]:

編制好年度財(cái)務(wù)預(yù)算是確保全年經(jīng)營指標(biāo)任務(wù)完成的基本保障。編制財(cái)務(wù)預(yù)算時(shí)，橫向先由各部門做好業(yè)務(wù)預(yù)算，比如銷售預(yù)算、生產(chǎn)預(yù)算等，最后由財(cái)務(wù)部門匯總編制符合企業(yè)的財(cái)務(wù)全面預(yù)算。縱向由各分、子公司做好財(cái)務(wù)預(yù)算并由上級(jí)單位審核批準(zhǔn)后實(shí)施，同時(shí)上報(bào)集團(tuán)公司并由集團(tuán)公司編制財(cái)務(wù)預(yù)算，形成全覆蓋的預(yù)算管理準(zhǔn)體系，使財(cái)務(wù)預(yù)算更有針對(duì)性和有效性。各企業(yè)在編制財(cái)務(wù)預(yù)算的同時(shí)，要突出預(yù)算的科學(xué)性，保持預(yù)算的連續(xù)性，促進(jìn)財(cái)務(wù)預(yù)算的編制程序更趨標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)要兼顧預(yù)算的個(gè)性差異，保證預(yù)算的順利實(shí)施。

即LS的信噪比合成性能隨著遞推次數(shù)的增加而提高、隨著天線數(shù)目的增加而下降。

LS的遞推算法RLS的表示形式為[23]:

其中，

β為常數(shù)；I為單位矩陣。β的取值不影響最終的求解結(jié)果，只對(duì)遞推次數(shù)有影響。

2 深空網(wǎng)天線組陣中的VSSLMS算法

LMS算法是基于最小均方誤差準(zhǔn)則和最陡下降法原理得到的一種遞推算法，具有與RLS算法類似的特點(diǎn)，不需構(gòu)造相關(guān)矩陣，也不涉及矩陣求逆。

通常的固定步長LMS算法的迭代公式可表示為：

e(n)=d(n)-XT(n)W(n)，

W(n+1)=W(n)+2μe(n)X(n)。式中，X(n)為時(shí)刻n的輸入信號(hào)矢量；W(n)和W(n+1)分別是時(shí)刻n和n+1的加權(quán)系數(shù)；d(n)為期望輸出值；e(n)為誤差；μ為恒定步長因子。步長因子μ控制收斂速度且直接影響穩(wěn)態(tài)誤差。然而收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差是一對(duì)固有矛盾，為使收斂速度加快必需提高μ，然而較大的μ卻會(huì)導(dǎo)致較大的穩(wěn)態(tài)誤差，反之較小的μ雖然會(huì)減小穩(wěn)態(tài)誤差卻會(huì)導(dǎo)致收斂速度變慢。為了克服這一矛盾，提出了各種變步長LMS算法即VSSLMS，這些變步長算法的共同點(diǎn)是初始階段使用較大的步長以加快收斂，而在算法收斂后保持很小的步長以獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

VSSLMS算法的關(guān)鍵是構(gòu)建步長函數(shù)，步長函數(shù)必須具有如下特點(diǎn)：單調(diào)增函數(shù)、有界函數(shù)和良好的魯棒性。這里給出4種步長函數(shù)[24]：

μ2=ρ·(1-exp(-υ|e(n)x(n)|m))，

μ3=ρ·(1-2/(exp(υ|e(n)x(n)|m)+1))，

μ4=ρ·(1-1/(υ|e(n)x(n)|m+1))。

當(dāng)x≥0時(shí)(即圖中的e(n)x(n)≥0)，這4種函數(shù)都是有界單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)x=0時(shí)，其值為零；x=時(shí)，其值為ρ，參數(shù)ρ、υ和m分別可調(diào)整最大步長值、x較大時(shí)步長增加速度及x=0附近步長值的變化的平坦度，因此具有良好的魯棒性。VSSLMS步長函數(shù)特性如圖1所示。

(a) μ1：ρ=1/π，υ=0.5，m=2 μ2：ρ=0.5，υ=0.5，m=2μ3：ρ=0.7，υ=0.5，m=2 μ4：ρ=0.9，υ=0.5，m=2

(b) μ1、μ2、μ3和μ4：m=3，ρ和υ同(a)

(d) μ1、μ2、μ3、μ4：υ=5，ρ和m同(a)

圖1(b)相較于圖1(a)，m由2增大到3，|e(n)·x(n)|=0附近曲線變得更加平坦；

圖1(c)相較于圖1(a)，ρ增大到2倍，μ值也放大到2倍；

圖1(d)相較于圖1(a)，υ增大到原來的10倍，μ值上升到最大值的速度大大加快。

對(duì)天線組陣應(yīng)用來說還必須考慮相位對(duì)齊，因此必須應(yīng)用復(fù)數(shù)LMS算法，它的表示式為[25]：

3 RLS和VSSLMS算法的仿真

為簡化問題，仿真假設(shè)使用的深空網(wǎng)天線陣為等口徑天線陣。RLS算法中，取參數(shù)β=1 000。VSSLMS算法選用的步長函數(shù)為：

μ2=ρ(1-exp(-υ|e(n)x(n)|m))。

取參數(shù)ρ=1、υ=10和m=1。

RLS和VSSLMS算法的仿真從信噪比合成因子與單個(gè)天線信號(hào)信噪比的關(guān)系、與陣天線個(gè)數(shù)的關(guān)系及收斂過程3個(gè)方面進(jìn)行，結(jié)果如圖2所示。

圖2 RLS和VSSLMS的信噪比合成因子

由圖2(a)可見，RLS算法的信噪比合成性能總體上略好于VSSLMS算法。2種算法的信噪比合成因子都隨單個(gè)天線信噪比的增加而增加，相比較而言，遞推式RLS算法變化得較為緩慢，而VSSLMS算法變化得更快一些；另外，在弱信噪比時(shí)，RLS算法的合成信噪比略優(yōu)于VSSLMS算法，但當(dāng)信噪比較強(qiáng)時(shí)VSSLMS算法的合成信噪比反而更好一些。

圖2(b)是2種算法的收斂過程，可以看出，RLS算法收斂得略為快一些，同時(shí)可再次看出強(qiáng)、弱信噪比下2種算法的信噪比合成性能特點(diǎn)。

圖2(c)和圖2(d)是2種算法下信噪比合成因子隨組陣天線個(gè)數(shù)的變化規(guī)律。可以看出RLS算法的信噪比合成因子隨組陣天線個(gè)數(shù)的增加而變差，而VSSLMS算法的信噪比合成因子與組陣天線個(gè)數(shù)無關(guān)，當(dāng)信號(hào)較強(qiáng)且組陣天線數(shù)目較多時(shí)，VSSLMS算法的信噪比合成性能更好。

4 結(jié)束語

在深空網(wǎng)天線組陣中應(yīng)用RLS算法和VSSLMS算法均能在獲得很好的合成信噪比的同時(shí)避免矩陣計(jì)算，大大降低運(yùn)算量。通過對(duì)RLS算法和VSSLMS算法的仿真比較可知：RLS算法存在信噪比合成性能隨陣天線數(shù)目增加而下降的缺陷，VSSLMS算法的信噪比合成性能與陣天線數(shù)目無關(guān)；RLS算法的信噪比合成性能隨著信號(hào)的增強(qiáng)緩慢增加，VSSLMS算法的信噪比合成性能隨信號(hào)的增強(qiáng)迅速提高；當(dāng)信號(hào)較弱且組陣天線數(shù)目不多時(shí)，RLS算法的信噪比合成性能略好于VSSLMS算法；當(dāng)信號(hào)較強(qiáng)尤其是陣天線數(shù)目較多時(shí)，VSSLMS算法的信噪比合成性能比RLS算法更好。

針對(duì)工程實(shí)際，對(duì)RLS和VSSLMS算法在極低接收信噪比及非均勻口徑天線陣下的應(yīng)用今后有必要進(jìn)行更深入的研究。

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Analysis and Simulation for RLS and VSSLMS used in Antenna Arraying

ZHAO Xiao-ming,CHEN Xue-jun,WEI Rui-li,WANG Qing-song,SU Xin-jun

(Xi’anSatelliteControlCenter,Xi’anShaanxi710043,China)

For the defects of the four algorithms,Simple,Sumple,Eigen(Eigen value based) and LS(least squares),which are used generally in DSN antenna arraying,two new algorithms,RLS(recursive least squares) and VSSLMS(variable step size least mean squares) are brought forward.And their applications in DSN antenna arraying are discussed and analyzed.Simulations of the two algorithms applied to DSN antenna arraying are performed,the results show:RLS has a shortcoming that the factor of SNR combination drops down when the antenna numbers of the array increases,while that of VSSLMS has nothing to do with the number of the array antennas;when the receiving signal is weak and the antenna number of the array is small,the performance of SNR combination of RLS is a little better than VSSLMS;But when the signal is strong especially when the antenna number of the array is big,the VSSLMS can obtain better performance of SNR combination.

antenna arraying;SNR combination performance;RLS algorithm;VSSLMS algorithm

10.3969/j.issn.1003-3106.2017.07.03

趙曉明,陳學(xué)軍,魏瑞利,等.RLS、VSSLMS算法應(yīng)用于天線組陣的分析及仿真[J].無線電工程,2017,47(7):10-14.[ZHAO Xiaoming,CHEN Xuejun,WEI Ruili,et al.Analysis and Simulation for RLS and VSSLMS used in Antenna Arraying,2017,47(7):10-14.]

2017-02-13

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61503414)。

TN850.9

A

1003-3106(2017)07-0010-05

趙曉明 男，(1971—)，碩士，高級(jí)工程師。主要研究方向：深空網(wǎng)天線組陣。

陳學(xué)軍 男，(1968—)，碩士，高級(jí)工程師。主要研究方向：航天測控。