李佳偉 王 婕 張中月 王恒通

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 陜西 西安 710119)

MATLAB在電動(dòng)力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

李佳偉 王 婕 張中月 王恒通

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 陜西 西安 710119)

從穩(wěn)恒場(chǎng)和時(shí)變場(chǎng)兩個(gè)方面選取了電動(dòng)力學(xué)中較為重要的典型問(wèn)題，結(jié)合Matlab軟件編程作圖，基于直觀的圖像或動(dòng)畫深入分析物理公式或物理問(wèn)題的本質(zhì)，凸顯將Matlab應(yīng)用在電動(dòng)力學(xué)的教學(xué)中化抽象為具體的優(yōu)勢(shì)，以期在一定程度上提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生更好地理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式背后的物理含義，為改善電動(dòng)力學(xué)課堂的教學(xué)效果提供借鑒.

Matlab電動(dòng)力學(xué) 模擬計(jì)算

1 引言

電動(dòng)力學(xué)是高校物理學(xué)專業(yè)學(xué)生的一門必修理論課，除物理學(xué)專業(yè)外，很多其他的理工科專業(yè)也開設(shè)有電動(dòng)力學(xué)的課程.作為四大力學(xué)之一，電動(dòng)力學(xué)是理論物理的重要組成部分，它的基本原理是電磁場(chǎng)和電磁波等重要的基礎(chǔ)理論，其理論體系在培養(yǎng)學(xué)生的物理素養(yǎng)方面發(fā)揮著不可替代的作用，同時(shí)對(duì)于指導(dǎo)社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐也具有重要的價(jià)值.電動(dòng)力學(xué)中的概念及規(guī)律比較抽象，課程內(nèi)容中含有大量的物理符號(hào)與運(yùn)算公式，推導(dǎo)復(fù)雜，計(jì)算量大且較為繁瑣，不易理解.這給電動(dòng)力學(xué)的教學(xué)增加了難度，學(xué)生要學(xué)好這門課程存在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好，抽象思維能力強(qiáng)的較高門檻要求.

關(guān)于電動(dòng)力學(xué)的教學(xué)近年來(lái)已經(jīng)進(jìn)行了一定的改革，現(xiàn)如今也正在朝著多種教學(xué)方法多種教學(xué)手段共同使用的方向發(fā)展.電動(dòng)力學(xué)課程對(duì)于學(xué)生物理思維和數(shù)學(xué)能力的要求不會(huì)改變，因此沒(méi)有直觀的知識(shí)呈現(xiàn)方式，學(xué)生要理解抽象的物理公式、概念、規(guī)律在思維上的跨越就依然困難.

Matlab是功能強(qiáng)大的科學(xué)及工程計(jì)算軟件，它有著基于矩陣運(yùn)算的強(qiáng)大數(shù)學(xué)計(jì)算與分析功能、方便的程序設(shè)計(jì)功能以及豐富的圖形表現(xiàn)功能，是非常重要的模擬計(jì)算軟件.利用Matlab作圖有諸多優(yōu)勢(shì)，例如：(1)繪圖和圖形處理功能強(qiáng)大.Matlab有一系列的繪圖函數(shù)，需要時(shí)進(jìn)行調(diào)用即可；軟件提供了強(qiáng)大的圖形處理系統(tǒng)，既可以完成二維和三維數(shù)據(jù)的表達(dá)和處理，也可以實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜圖形對(duì)象的操作，能夠生成動(dòng)畫.值得一提的是，Matlab的圖形窗口可以根據(jù)觀察的需要調(diào)整角度，便于分析物理矢量在各截面的分布情況.(2)部分問(wèn)題無(wú)需編程仍可進(jìn)行研究.Matlab提供了多種類型的工具箱，用戶無(wú)需自己編寫程序，只需在相應(yīng)的工具箱內(nèi)設(shè)置相關(guān)參數(shù)，就可以直接進(jìn)行深入的研究[1].

Matlab軟件具有友好的交互界面和強(qiáng)大的作圖功能，通過(guò)Matlab軟件編程作圖，能夠?qū)⒊橄蟮奈锢砟Ｐ?、物理公式和?jì)算結(jié)果用具體的圖像或動(dòng)畫的形式直觀模擬出來(lái)，在此基礎(chǔ)上深入分析物理公式或物理問(wèn)題的本質(zhì)，并研究物理模型的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律.這種直觀的知識(shí)呈現(xiàn)方式將在一定程度上幫助學(xué)生在對(duì)物理知識(shí)有清晰認(rèn)識(shí)的情況下，較為輕松地掌握相關(guān)概念及規(guī)律，加深印象的同時(shí)提高學(xué)生學(xué)習(xí)電動(dòng)力學(xué)的興趣，有助于改善電動(dòng)力學(xué)課堂的教學(xué)效果.

目前大部分高校都開設(shè)有Matlab課程的必修課或選修課，這說(shuō)明將這一工具應(yīng)用在電動(dòng)力學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中有很強(qiáng)的可行性和諸多的有利條件.另外，Matlab正在逐漸成為不可或缺的科研軟件，有著廣泛的應(yīng)用前景，加強(qiáng)Matlab在教學(xué)中的應(yīng)用也將為培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)打下良好的基礎(chǔ).

本文以促進(jìn)電動(dòng)力學(xué)的教學(xué)為目的，選取了電動(dòng)力學(xué)學(xué)習(xí)中的多個(gè)重要問(wèn)題，借助Matlab軟件編程作圖，并對(duì)模擬的結(jié)果進(jìn)行細(xì)致分析，旨在說(shuō)明將Matlab軟件與電動(dòng)力學(xué)的教學(xué)緊密結(jié)合是改善電動(dòng)力學(xué)教學(xué)效果的有效途徑.

2 Matlab軟件在模擬靜電場(chǎng)方面的應(yīng)用

2.1Matlab模擬接地導(dǎo)體角域的電場(chǎng)電勢(shì)分布

鏡像法是電動(dòng)力學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，但其物理內(nèi)涵學(xué)生不易深刻理解.尤其容易誤會(huì)原求解問(wèn)題與采用鏡像法等效替換后的問(wèn)題只在求解區(qū)域內(nèi)是同解，下面通過(guò)Matlab模擬用鏡像法解決導(dǎo)體角域的問(wèn)題，作出直觀的圖像并進(jìn)行說(shuō)明.

一個(gè)點(diǎn)電荷q放在60°的接地導(dǎo)體角域內(nèi)的點(diǎn)(1, 1, 0)處，求點(diǎn)(x, y, z)處的電勢(shì)[2].

通過(guò)理論計(jì)算，能夠得到鏡像電荷的位置、大小和電勢(shì)，有如下結(jié)果：

在得到電勢(shì)φ的表達(dá)式后，我們對(duì)電場(chǎng)與電勢(shì)的分布缺乏一個(gè)感性的認(rèn)識(shí).借助Matlab編程容易得到電勢(shì)表達(dá)式所對(duì)應(yīng)的如圖1所示的電場(chǎng)和電勢(shì)的分布圖.

圖1清晰地呈現(xiàn)了導(dǎo)體角域內(nèi)的點(diǎn)電荷和角域外的5個(gè)鏡像電荷共同形成的電場(chǎng)(帶箭頭的線)和電勢(shì)(不帶箭頭的線)的分布形態(tài).空間內(nèi)原本的電場(chǎng)是點(diǎn)電荷q激發(fā)的電場(chǎng)和導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷激發(fā)電場(chǎng)的疊加，空間的電勢(shì)分布也是點(diǎn)電荷和感應(yīng)電荷遵循疊加原理形成的，場(chǎng)只存在導(dǎo)體角域內(nèi).從圖1容易看出等價(jià)后點(diǎn)電荷疊加的場(chǎng)在角域外也有場(chǎng)的分布，二者的等價(jià)只是在角域內(nèi)成立.

圖1 接地導(dǎo)體角域的電場(chǎng)和電勢(shì)分布圖

將圖像和公式相結(jié)合可以更好地理解鏡像法的基本思路及物理含義.也可以借助Matlab計(jì)算指定點(diǎn)的電勢(shì)值，使學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解脫出來(lái).此類問(wèn)題中無(wú)論導(dǎo)體板、導(dǎo)體球還是導(dǎo)體角(角度數(shù)能被180°整除)，接地或是不接地，導(dǎo)體球表面帶或不帶電荷，電場(chǎng)和電勢(shì)的分布情況均可以以直觀的圖像方式呈現(xiàn)，幫助學(xué)生更好地建立物理圖像，理解物理方法的原理和物理問(wèn)題的本質(zhì).

2.2 Matlab模擬兩帶電導(dǎo)體球的相互作用

上述討論的情形是在能夠得到明確解析解的前提下，通過(guò)Matlab編程作出直觀的圖像，從而幫助學(xué)生在一定程度上跨越想象的障礙，更好地理解電動(dòng)力學(xué)抽象而深刻的物理內(nèi)涵.但這一前提有兩個(gè)不便之處：一是在編程不熟練的情況下，作出圖像的困難較大；二是在無(wú)法計(jì)算得到解析解(如邊界條件較復(fù)雜難以計(jì)算出解析解或邊界不規(guī)則沒(méi)有解析解)的情況下，編程就無(wú)法進(jìn)行.Matlab中有可以專門實(shí)現(xiàn)二維空間上偏微分方程數(shù)值求解的工具箱——PDE工具箱，能夠很好地解決這一問(wèn)題.

相隔一定距離的兩帶電導(dǎo)體球的相互作用問(wèn)題是電動(dòng)力學(xué)中的重要問(wèn)題之一，有多篇文獻(xiàn)[3～5]都對(duì)此進(jìn)行了研究，但這些文獻(xiàn)的研究主要依賴于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)計(jì)算，因此理解起來(lái)仍有困難.下面對(duì)兩個(gè)相隔一定距離的帶電導(dǎo)體球問(wèn)題進(jìn)行Matlab模擬和分析.

首先借助Matlab作出當(dāng)兩帶電導(dǎo)體球各參數(shù)分別為Q1=0.01 C，Q2=0.01 C，R1=1.0 m，R2=2.0 m時(shí)，兩導(dǎo)體球間的相互作用力F隨間距d變化的關(guān)系圖，如圖2所示.

圖2 兩帶電導(dǎo)體球間相互作用力F隨間距d變化的關(guān)系圖

由圖2可知作用力F隨間距d變化的趨勢(shì)和規(guī)律，但相互作用力僅以數(shù)值和曲線的方式呈現(xiàn)還不夠直觀，也不能看出兩帶電導(dǎo)體球間電場(chǎng)和電勢(shì)的分布關(guān)系.這種情況下若要再進(jìn)行編程處理困難較大，而借助PDE工具箱可以輕松實(shí)現(xiàn).在工具箱中建模、設(shè)置相關(guān)參數(shù)和剖分網(wǎng)格，設(shè)置界面，作出當(dāng)兩帶電導(dǎo)體球的間距d分別為d=3.2 m，d=3.699 m和d=10 m的情況下，導(dǎo)體球間電場(chǎng)和電勢(shì)的二維分布圖，如圖3(a)、(b)、(c)所示，相應(yīng)的電勢(shì)三維分布圖如圖4(a)、(b)、(c)所示.

圖3 導(dǎo)體球間電場(chǎng)和電勢(shì)的二維分布圖

圖4 導(dǎo)體球間電勢(shì)的三維分布圖

由圖2可知，當(dāng)兩帶電導(dǎo)體球間距d=3.2 m時(shí)，其相互作用力表現(xiàn)為引力，d=10 m時(shí)，其相互作用力表現(xiàn)為斥力，而d=3.699 m是引力和斥力的分界點(diǎn)距離.而在圖3中，抽象的相互作用力以電場(chǎng)和電勢(shì)的二維分布圖的形式呈現(xiàn)，一目了然，圖4電勢(shì)的三維分布圖更是能夠幫助學(xué)生從立體的角度感受數(shù)值的大小.兩帶電導(dǎo)體球的問(wèn)題有非常廣泛的現(xiàn)實(shí)意義，借助這一工具能更方便地進(jìn)行深入研究.

編程不熟練也并非障礙，僅需在PDE工具箱中進(jìn)行參數(shù)的設(shè)置等步驟就可以直觀、快速地看到數(shù)值計(jì)算輸出的形象結(jié)果，讓原本需要很高的理論基礎(chǔ)和編程技巧的問(wèn)題集成在一個(gè)簡(jiǎn)潔的圖形用戶界面上就得以解決.網(wǎng)格加密和輸出圖形前檢測(cè)網(wǎng)格質(zhì)量的處理都有效地提高了計(jì)算精度，實(shí)現(xiàn)了誤差可控[6].這些都充分體現(xiàn)了PDE工具箱使用門檻低、設(shè)置人性化的優(yōu)勢(shì).如此高的方便程度、靈活程度和計(jì)算精度使學(xué)生能夠從繁瑣的求解步驟中解脫出來(lái)而專注于物理問(wèn)題本身.

3 Matlab在模擬電磁波方面的應(yīng)用

3.1 Matlab模擬均勻平面電磁波的傳播

電磁波是時(shí)變電磁場(chǎng)相互激發(fā)的結(jié)果，它有兩個(gè)振動(dòng)矢量，這一點(diǎn)與一般的機(jī)械波有所不同.由于電磁波非常抽象，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)和理解電磁波有很大的障礙，因此用Matlab模擬電磁波十分必要.

均勻平面波是最基本最重要的一種電磁波，其瞬時(shí)值表達(dá)式為

E=eyEmcos(ωt-kx+φ0)

然而單從電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H的表達(dá)式是無(wú)法想象出電磁波到底是如何傳播的，下面利用Matlab進(jìn)行模擬，作出均勻平面電磁波在線性、均勻、各向同性的無(wú)限大理想介質(zhì)中的傳播動(dòng)態(tài)圖，選取動(dòng)畫中的幾個(gè)時(shí)刻截圖呈現(xiàn)，如圖5所示.

圖5 不同時(shí)刻均勻平面電磁波的傳播

由圖5可知，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的振動(dòng)方向都垂直于電磁波的傳播方向，即在波傳播的方向上沒(méi)有電場(chǎng)或磁場(chǎng)分量，因此電磁波是橫波.結(jié)合動(dòng)畫重新觀察均勻平面電磁波瞬時(shí)值的表達(dá)式，就能更好地理解，電磁波的傳播是動(dòng)態(tài)的，它每時(shí)每刻的狀態(tài)和位置都會(huì)發(fā)生變化，但E和H以及波矢三者相互垂直.通過(guò)對(duì)編程的設(shè)計(jì)還可以使動(dòng)畫播放過(guò)程中觀察角度每隔一段時(shí)間自動(dòng)進(jìn)行調(diào)整，從全方位多角度對(duì)均勻平面電磁波的傳播進(jìn)行觀察.對(duì)于電磁波的傳播問(wèn)題，若僅限于二維平面的顯示，將不利于學(xué)生建立空間概念，而借助Matlab制作的動(dòng)畫的呈現(xiàn)就能很好地幫助學(xué)生從立體空間的視角清晰地掌握整個(gè)傳播過(guò)程的規(guī)律.可見,Matlab編程能很直觀地幫助學(xué)生理解原本很抽象的知識(shí)和規(guī)律，并在頭腦中建立起模型，這能夠在很大程度上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)電動(dòng)力學(xué)的興趣，并極大地豐富教學(xué)內(nèi)容.

3.2Matlab模擬電偶極輻射場(chǎng)

電偶極輻射問(wèn)題是電動(dòng)力學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)之一，對(duì)輻射場(chǎng)的模擬有利于學(xué)生對(duì)該部分知識(shí)的理解和掌握.

在遠(yuǎn)離電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)，電磁場(chǎng)可近似表示為

電偶極輻射的總輻射功率可表示為

根據(jù)表達(dá)式通過(guò)Matlab對(duì)電偶極輻射場(chǎng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬，下面選取幾個(gè)時(shí)刻截圖呈現(xiàn)，如圖6所示.

圖6 不同角度的電偶極輻射場(chǎng)圖

圖6中的(a)、(b)、(c)、(d)從不同的角度展示了電偶極輻射的過(guò)程.可以看出，輻射是有方向性的，在θ=90°的平面上輻射最強(qiáng).這些模擬計(jì)算結(jié)果給學(xué)生留下了感性認(rèn)識(shí)，加深了印象，有助于對(duì)抽象的物理公式的理解.

4 結(jié)束語(yǔ)

電動(dòng)力學(xué)是物理專業(yè)一門重要的理論課，但由于研究對(duì)象為看不見摸不著的電磁場(chǎng)，因此課程較為抽象；采用的研究工具為場(chǎng)論分析，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求較高，造成課程繁難.通過(guò)引入Matlab，針對(duì)物理問(wèn)題進(jìn)行編程模擬作圖，可以借助Matlab的可視化功能在一定程度上實(shí)現(xiàn)將物理知識(shí)從單一的公式呈現(xiàn)到圖片、動(dòng)畫相結(jié)合的呈現(xiàn)方式；化抽象為具體，加深學(xué)習(xí)印象，幫助學(xué)生跨越理解和想象的障礙，深入挖掘物理問(wèn)題的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生物理思維的形成，改善授課效果.同時(shí)也可以幫助學(xué)生將理論知識(shí)、實(shí)驗(yàn)仿真和實(shí)踐應(yīng)用有機(jī)結(jié)合，提高學(xué)生的綜合素質(zhì).

1 趙曉峰．基于MATLAB的電磁輻射數(shù)據(jù)分析與仿真：[學(xué)位論文].上海：復(fù)旦大學(xué)，2008

2 郭碩鴻．電動(dòng)力學(xué)(第3版)．北京：高等教育出版社，2008

3 楊慕賢．兩個(gè)帶電導(dǎo)體球問(wèn)題的近似解．大學(xué)物理，1983(7)：27～30

4 趙先林，李金銘．關(guān)于兩個(gè)帶電導(dǎo)體球相互作用力問(wèn)題的討論．河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2000，9(4)：12～15

5 王禮祥．導(dǎo)體雙球靜電問(wèn)題的嚴(yán)格解．西南民族學(xué)院學(xué)報(bào)，1994，20(2)：133～139

6 何紅雨．電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算法與MATLAB實(shí)現(xiàn)．武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004．45～59

ResearchontheApplicationofMATLABintheTeachingofElectrodynamics

LiJiaweiWangJieZhangZhongyueWangHengtong

(SchoolofPhysicsandInformationTechnology,ShaanxiNormalUniversity,Xi′an,Shaanxi710119)

The research aims to study some important typical problems from two aspects of electrostatic field and electromagnetic wave in electrodynamics learning, analyze the nature of physical formula or physical problems based on intuitive images or animation combined with Matlab programming, which means the transition from the abstract to the concrete. At the same time, the advantage of the application of Matlab in electrodynamics teaching can be highlighted. The research will help students to study and understand related concepts and regulation of electrodynamics in a good way, as well as provide ideas and methods to improve the teaching effect of electrodynam-

ics course.

Matlab；electrodynamics；simulated calculation

李佳偉(1980- )，男，博士，副教授，研究方向?yàn)楦邷爻瑢?dǎo).

2016-11-02)