孟慧寧，鄧重陽(yáng)，史非凡

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

插值端切向的內(nèi)心細(xì)分方法

孟慧寧，鄧重陽(yáng)，史非凡

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

內(nèi)心細(xì)分法的極限曲線插值給定點(diǎn)列，但一般不插值給定點(diǎn)處的切向.通過(guò)改變內(nèi)心細(xì)分方法第一步中與端點(diǎn)相鄰新點(diǎn)及其切向量的計(jì)算規(guī)則，使其極限曲線插值給定的端切向.理論分析和數(shù)值算例都表明該方法是有效的.

內(nèi)心細(xì)分方法；插值端切向；計(jì)算規(guī)則

0 引 言

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與圖形學(xué)中，細(xì)分方法具有算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)和高效性等特點(diǎn)，是近年來(lái)幾何造型領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.按照細(xì)分規(guī)則可把細(xì)分法分為線性細(xì)分法和非線性細(xì)分法.在曲線造型中，具有代表性的線性細(xì)分方法有Chaikin割角法[1]、Dyn四點(diǎn)法[2]、非均勻四點(diǎn)法[3]等.這些方法規(guī)則簡(jiǎn)單，收斂性和光滑性易于分析，但極限曲線的形狀較難控制.非線性細(xì)分法相對(duì)于前者具有較復(fù)雜的計(jì)算，但能更好地控制極限曲線的形狀.例如非線性四點(diǎn)插值細(xì)分算法的極限曲線具有保凸性[4]，自由曲線的非線性細(xì)分造型方法通過(guò)引入自由參數(shù)和曲率，更好地控制了曲線形狀，使生成的極限曲線具有保凸和保尖銳等特征[5].

內(nèi)心細(xì)分方法[6]是基于雙圓弧插值[7]給出的一種具有保形性、保圓性和光順性的非線性細(xì)分方法.該方法首先由初始點(diǎn)及初始切向量按內(nèi)心細(xì)分規(guī)則求得新點(diǎn)及其臨時(shí)切向量，再將各點(diǎn)的臨時(shí)切向量作旋轉(zhuǎn)變換計(jì)算新的切向量進(jìn)行細(xì)分，較好地控制了極限曲線的形狀.文獻(xiàn)[8]給出一個(gè)調(diào)整切向的新方法，使切向計(jì)算更簡(jiǎn)單、幾何意義更明顯.內(nèi)心細(xì)分方法使生成的極限曲線插值初始控制點(diǎn)，但其切向量在每次細(xì)分過(guò)程中都需調(diào)整，因此不能保證極限曲線插值初始切向量.

本文通過(guò)改變內(nèi)心細(xì)分法第一步中與端點(diǎn)相鄰的新點(diǎn)及其切向量的計(jì)算規(guī)則，提出一種插值端切向的內(nèi)心細(xì)分方法.該方法使極限曲線插值端點(diǎn)處的切向量，保證了內(nèi)心細(xì)分方法原有的特性.

1 內(nèi)心細(xì)分方法

(1)

(2)

2)對(duì)臨時(shí)切向量作旋轉(zhuǎn)變換計(jì)算新的切向量，依次細(xì)分.各點(diǎn)新切向的計(jì)算公式為

(3)

2 插值端切向的內(nèi)心細(xì)分方法

(4)

從而有

(5)

(6)

(7)

圖1 與端點(diǎn)相鄰新點(diǎn)的計(jì)算規(guī)則

定理 插值端切向的內(nèi)心細(xì)分法使生成的極限曲線插值端點(diǎn)處的切向量.

3 實(shí)例分析

由插值端切向的內(nèi)心細(xì)分方法，給出幾個(gè)具體實(shí)例，如圖2所示.每個(gè)圖形的極限曲線由初始點(diǎn)(圈點(diǎn))細(xì)分5次得到，畫出端切向(箭頭線)方向及各點(diǎn)的曲率圖(直線段).圖2(a)中，初始點(diǎn)及其端切向分別為(5，2)，(6，5)，(4，6)，(2，3)，(5,0)，(7，2)和(1，1)；圖2(b)中初始點(diǎn)及其端切向分別為(2，5)，(4，7)，(6，3)，(3，2)，(6，0)，(8，1)和(-1，2)；圖2(c)和(d)為初始點(diǎn)(3，6)，(6，8)，(9，8)，(8，5)，(10，2)，(8，0)，(4，2)分別取不同的端切向[0，1]和(1，2),可得到不同的極限曲線.

圖2 插值端切向的極限曲線及曲率圖

由圖2可以看出，給定開(kāi)曲線的端切向，按照文章方法對(duì)內(nèi)心細(xì)分法作局部調(diào)整，使極限曲線插值端點(diǎn)處的切向量，同時(shí)保證了極限曲線的保形、保圓和連續(xù)等特性.給定不同的端切向，其極限曲線也有差異.

4 結(jié)束語(yǔ)

文章通過(guò)改變內(nèi)心細(xì)分法第一步中與端點(diǎn)相鄰的新點(diǎn)及其切向的計(jì)算規(guī)則，提出插值端切向的內(nèi)心細(xì)分方法，使極限曲線插值端切向，保證了內(nèi)心細(xì)分方法原有的特性.下一步將研究插值中間切向或插值切向及曲率的內(nèi)心細(xì)分方法.

[1]DYNN,LEVIND,GREGORYJA.A4-pointinterpolatorysubdivisionschemeforcurvedesign[J].ComputerAidedGeometricDesign, 1987,4(4):257-268.

[2]CHAIKINGM.Analgorithmforhigh-speedcurvegeneration[J].ComputerGraphicsandImageProcessing, 1974,3(4):346-349.

[3]金建榮,汪國(guó)昭.構(gòu)造曲線的插值型細(xì)分法——非均勻四點(diǎn)法[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)(A輯),2000,15(1):97-100.

[4]丁友東.一類非線性保凸插值離散細(xì)分格式及其性質(zhì)[J].復(fù)旦學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2000,39(1):9-14.

[5]許玲玲.自由曲線的非線性細(xì)分造型方法[D].長(zhǎng)沙:中南大學(xué),2009.

[6]DENGC,WANGG.Incentersubdivisionschemeforcurveinterpolation[J].ComputerAidedGeometricDesign, 2010,27(1):48-59.

[7]MEEKDS,WALTONDJ.ApproximationofdiscretedatabyG1arcsplines[J].Computer-AidedDesign, 1992,24(6):301-306.

[8]李亞娟,鄧重陽(yáng).內(nèi)心細(xì)分法的一個(gè)變式[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2013,24(12):1542-1548.

[9]鄧重陽(yáng).CAGD中細(xì)分與擬合的造型方法研究[D].杭州:浙江大學(xué),2008.

Interpolating Given End Tangents by Incenter Subdivision Scheme

MENG Huining, DENG Chongyang, SHI Feifan

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

The limit curves of incenter subdivision scheme interpolate given points, but in general do not interpolate tangents at given point. By changing the rules of new points adjacent end points, we can interpolate end tangents using incenter subdivision scheme. Both theoretical analysis and numerical examples show the validity of the method.

incenter subdivision scheme; interpolating given end tangents; the rules of calculating

10.13954/j.cnki.hdu.2017.03.020

2016-07-04

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(61370166)

孟慧寧(1990-)，女，河南杞縣人，碩士研究生，細(xì)分曲線造型.通信作者：鄧重陽(yáng)教授，E-mail：dcy@hdu.edu.cn.

O241.3

A

1001-9146(2017)03-0096-03