郝王麗+韓猛+胡欣宇

摘 要：核磁成像是一種非侵入式觀測病人組織改變的技術，但其速度很慢，因此提高核磁圖像的重建速度有著非常重要的意義。壓縮感知常用來快速重建核磁圖像，且被建模成一個包含數(shù)據(jù)保真項、稀疏先驗項和全變分項的線性組合最小化問題。壓縮感知理論表明，圖像本身或其在某個變換域內越稀疏，其重建質量就越好。根據(jù)結構稀疏理論，一個長度為n的標準K-稀疏數(shù)據(jù)，若其是樹稀疏的，用于重構的采樣樣本可由O（K+Klogn）減少到O（K+logn）。若經小波樹變換后的圖像是樹稀疏的，便可獲得更好的重建圖像。全變分項雖然在復原圖像結構方面很有效，但其會造成圖像的過平滑并為重構圖像帶來塊效應，非局部全變分可以克服其缺陷，并在保持圖像邊緣和細節(jié)信息以及提高信噪比方面很有優(yōu)勢。鑒于此，文中提出了基于小波樹稀疏和非局部全變分的壓縮感知核磁圖像重建模型。實驗結果表明，利用該模型核磁圖像可以很快地被重建且其圖像細節(jié)信息得到了很好的保持。基于小波樹稀疏和非局部全變分的壓縮感知核磁圖像重建模型在核磁圖像重建質量和重構時間方面具有良好性能。

關鍵詞：小波樹；非局部全變分；壓縮感知；核磁共振圖像；圖像重建

中圖分類號：TP301.6 文獻標識碼：A 文章編號：2095-1302（2017）06-00-03

0 引 言

壓縮感知理論領域的研究表明[1]，從高度欠采樣的k-空間數(shù)據(jù)中準確重構出核磁圖像是可行的，且可以大大縮短核磁圖像的掃描時間[2]。Lusting 等人首先將壓縮感知理論應用到核磁圖像的重建上[2]，他們將核磁圖像重建建模成如下優(yōu)化問題：

其中，x為原始圖像，b為欠采樣k-空間觀測到的數(shù)據(jù)，R為局部傅里葉變換，Φ為小波變換，α和β為兩個正參數(shù)，用來協(xié)調兩個約束項的關系。事實表明，小波變換和全變分可以稀疏地表示分段光滑的圖像或組織。全變分項通常表示為，和分別表示圖像在兩個坐標方向上的前向有限差分操作，這種全變分也被稱作局部全變分。

文獻[2]中采用公式（1）組合小波稀疏和全變分（TV）兩個先驗約束項，求解壓縮感知核磁圖像重建問題，且實驗表明，在欠采樣率約為20%的情況下能獲得較好的重建圖像[2]。但圖像在小波變換域內并不足夠稀疏，且全變分很容易造成圖像過平滑并引起塊效應。為進一步提高圖像表示的稀疏性，文獻[3]中引入了稀疏性更好的小波樹來替換（1）中的小波項，但并未解決全變分帶來的圖像過平滑以及塊效應問題。為克服TV的內在缺陷，非局部全變分（NLTV）作為可以保護圖像邊緣及細節(jié)信息的約束項被引入核磁圖像的重建[4]和圖像去模糊的求解中[5]，獲得了很好的實驗性能。但在文獻[4]中，其稀疏約束項仍然采用小波變換。為了更好地保持圖像邊緣和細節(jié)信息，并進一步提高圖像重建質量，本文提出基于小波樹和非局部全變分的壓縮感知核磁圖像重建。

1 相關工作

1.1 基于樹的壓縮感知

如果一個信號是稀疏的或者能夠被稀疏地表示，用于重建該信號所需采樣的個數(shù)比奈奎斯特定理所需采樣的個數(shù)少很多。而且若知道原始信號結構的一些先驗知識，比如群或圖結構，采樣數(shù)目可以進一步降低[6，7]。一些算法就是利用小波系數(shù)的樹機構來提高壓縮感知重建效果[8-11]。OGL便用一個凸方法來建模樹結構[8]：

其中，θ為小波系數(shù)集，A代表局部傅里葉變換，b為采樣數(shù)據(jù)。ΦT代表逆小波變換，G代表所有的父親-孩子組，g為G的一個組，為θ的擴展向量，最后一項是保證數(shù)據(jù)一致性的懲罰項。當小波系數(shù)恢復后，通過逆小波變換可重構圖像。

1.2 非局部全變分

在文獻[12-17]中，非局部全變分通過在正則化項中采用非局部像素計算梯度來解決全變分所帶來的塊效應問題，非局部全變分正則化項定義如下：

px（u） 和px（v）分別表示以點u和v為中心的圖像塊，權重函數(shù)用來度量圖像塊px（u） 和px（v）之間的相似度，Zx為標準化因子， σ為尺度參數(shù)，用來控制兩圖像塊px（u） 和px（v）間的相似度。

2 問題模型及其求解

2.1 問題模型

壓縮感知重建問題在本文中的建模如下：

為有效求解這個問題，引入變量y來約束有重疊結構的變量x， 使式（6）變?yōu)榉侵丿B的凸優(yōu)化問題。令GΦx=y，則式（6）可被重寫為：

公式（7）中，對于y-子問題，我們可通過分組軟閾值方法求得閉合形式的解；對于x-子問題，我們可將第一項和最后一項二次懲罰項結合起來；其余項的形式類似FCSA[18]， 因此可通過迭代方式有效求解。

2.2 問題求解

如上所述，式（7）中的y-子問題可被寫為：

綜上，基于小波樹稀疏和NLTV的壓縮感知核磁圖像重建模型的求解分為兩大步，即首先利用軟閾值方法求解y-子問題，然后再利用FCSA求解x-子問題。

在實際應用中，與傳統(tǒng)的TV相比，雖然NLTV正則化項因其權重的計算遍布整個圖像域，時間開銷大，但它可通過很少的迭代次數(shù)獲得很好的重建圖像[5]。因此在保證重建圖像質量的前提下我們采用文獻[5]中周期性的更新NLTV正則化項的方法來縮短算法的執(zhí)行時間。

現(xiàn)給出模型（6）的求解算法，為表示方便，我們將其簡記為NLTV-WaTMRI。

公式（12）是將圖像的像素值規(guī)范化到[l，u]范圍內，且u>l≥0，若不執(zhí)行該操作，則重建圖像由于存在負數(shù)像素數(shù)值而出現(xiàn)偽影。T表示非局部全變分項的更新周期。

3 實驗

為驗證所提出模型的良好性能，我們將求解算法NLTV-WaTMRI與約束項為TV和小波樹的WaTMRI[3]以及約束項為NLTV和小波的NLTV-FCSA[5]進行比較。因WaTMRI和NLTV-FCSA性能都比約束項為TV和小波的FCSA好[18]，故此處FCSA不參與比較。公平起見，所有的算法都在Lenovo PC E2323機器上的Matlab2009b環(huán)境中運行。

試驗數(shù)據(jù)采用三幅常用的核磁圖像Chest、Brain、Shoulder，如圖1中的a1，b1，c1所示，均被規(guī)范化為256×256。設置欠采樣率約為20%，稀疏約束都采用兩級分解的Daubechies小波，正則化參數(shù)α，β設為0.001和0.035，λ=0.2β，最大迭代次數(shù)設為50。為進行試驗模擬，k-空間的觀測數(shù)據(jù)b上添加標準差為0.01的高斯白噪聲。

圖1顯示了原始圖像和利用不同方法重構的圖像，由圖可見，與基于NLTV的兩種方法NLTVFCSA和NLTVWaTMRI相比，利用基于TV的WaTMRI方法重構圖像的噪聲比較大，且圖像的邊緣和細節(jié)信息不夠清楚。這說明NLTV在抑制噪聲和保持圖像邊緣細節(jié)方面比TV好。與基于小波稀疏的NLTVFCSA相比，基于小波樹稀疏的NLTVWaTMRI重構圖像要更清晰一些，說明圖像在小波樹變換域內比在小波變換域內更稀疏。

圖2展示了三幅核磁圖像利用不同重建算法的性能比較，第一排顯示了不同重建算法在不同核磁圖像上的信噪比（SNR）與迭代次數(shù)（Iterations）的關系，第二排顯示了信噪比（SNR）與重建時間（CPU Time）的關系。由圖2第一排可見，利用NLTVWaTMRI重建的圖像有比其他方法更高的SNR，尤其比WaTMRI的高。根據(jù)圖2中的第二排可知，NLTVWaTMRI的時間性能比NLTVFCSA好，比WaTMRI略差，但卻有比WaTMRI高的多的SNR。

綜上所述，在重建時間相當?shù)那闆r下，本文所提模型的求解算法NLTVWaTMRI與其他算法相比，具有更好的圖像邊緣細節(jié)保持能力，可以獲得更高的信噪比。

4 結 語

本文提出了基于小波樹稀疏和非局部全變分的壓縮感知核磁圖像重建模型。小波樹變換有比小波變換更好的稀疏性，故其重建圖像質量更好。NLTV不僅可以避免由TV引起的圖像過平滑及塊效應問題，還能更好地保持圖像邊緣和細節(jié)信息，抑制噪聲，故其重建圖像邊緣細節(jié)更清楚且噪聲更小。雖然NLTV權值的計算很耗時，但我們只執(zhí)行很少次數(shù)的權值更新，故重建時間不長。

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