張立民，劉 杰

(1.海軍航空工程學(xué)院 信息融合研究所，山東 煙臺(tái) 264001；2.解放軍91640部隊(duì)，廣東 湛江 524054;3.航天恒星科技有限公司，北京 100086)

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RS碼編碼參數(shù)的盲識(shí)別*

張立民1，劉 杰**

(1.海軍航空工程學(xué)院 信息融合研究所，山東 煙臺(tái) 264001；2.解放軍91640部隊(duì)，廣東 湛江 524054;3.航天恒星科技有限公司，北京 100086)

針對(duì)現(xiàn)有的RS(Reed-Solomon)碼盲識(shí)別計(jì)算復(fù)雜度較大的問題，提出了一種新的識(shí)別方法。首先統(tǒng)計(jì)不同碼長(zhǎng)分組時(shí)的碼重分布，并定義與理論碼重分布之間的相似度系數(shù)，通過(guò)計(jì)算找出最相似的一組即對(duì)應(yīng)正確的碼長(zhǎng)；然后建立二元假設(shè)，并確定判決門限對(duì)碼根進(jìn)行判定；通過(guò)遍歷域內(nèi)所有的本原多項(xiàng)式，找出完整的連續(xù)碼根分布，進(jìn)而完成生成多項(xiàng)式的識(shí)別。仿真結(jié)果表明，所提方法的計(jì)算量較其他方法明顯減少，并能有效完成碼長(zhǎng)和生成多項(xiàng)式的識(shí)別，在誤碼率小于10-3時(shí)，對(duì)常用RS碼的識(shí)別率能達(dá)到90%以上。

信道編碼；RS碼；盲識(shí)別；碼重分布；連續(xù)碼根

1 引 言

信道編碼是為了抵抗信息傳輸過(guò)程中的干擾和噪聲而人為加入的冗余。隨著現(xiàn)代數(shù)字通信系統(tǒng)的發(fā)展，信道編碼盲識(shí)別在自適應(yīng)調(diào)制編碼(Adaptive Modulation and Coding，AMC)技術(shù)和非協(xié)作條件下的通信偵察領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，并迅速成為了一個(gè)新的研究熱點(diǎn)[1-3]。

RS碼是多進(jìn)制BCH(Bose-Chaudhuri-Hocquenghem)碼的一個(gè)重要子類，它具有糾錯(cuò)能力強(qiáng)、編碼結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于各種通信系統(tǒng)中[4]。因此，對(duì)RS 碼的盲識(shí)別進(jìn)行研究具有重要意義。目前，見于文獻(xiàn)的相關(guān)方法主要有矩陣分析法、碼根統(tǒng)計(jì)法和基于伽羅華域傅里葉變換(Galois Field Fourier Transform，GFFT)的方法。文獻(xiàn)[5]利用矩陣秩差識(shí)別碼長(zhǎng)，并引入熵函數(shù)差值識(shí)別本原多項(xiàng)式。文獻(xiàn)[6]利用矩陣秩函數(shù)識(shí)別 RS 碼的二進(jìn)制衍生碼長(zhǎng)，采用碼根統(tǒng)計(jì)完成生成多項(xiàng)式的識(shí)別。文獻(xiàn)[7]將GFFT用于域的本原多項(xiàng)式求解，在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[8]提出了在GFFT后進(jìn)行頻譜累積量統(tǒng)計(jì)的檢測(cè)方法。文獻(xiàn)[9]使用非線性變換和中值濾波來(lái)充分利用頻譜的統(tǒng)計(jì)信息，文獻(xiàn)[10]引入了衡量譜分量概率分布差異性的歐幾里德距離測(cè)度。以上方法均需要對(duì)碼長(zhǎng)和本原多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)碼長(zhǎng)較大時(shí)，運(yùn)算量也隨之增大。

針對(duì)以上存在的不足，本文提出了一種新的RS碼盲識(shí)別方法：首先根據(jù)RS碼的碼字重量滿足固定分布這一特性，對(duì)碼長(zhǎng)進(jìn)行識(shí)別；然后建立二元假設(shè)對(duì)碼根和本原多項(xiàng)式進(jìn)行判定，進(jìn)而完成對(duì)生成多項(xiàng)式的識(shí)別。

2 問題描述

定義1[11]GF(q)上(q≠2)碼長(zhǎng)n=q-1的本原 BCH碼稱為RS碼。

在RS碼作為差錯(cuò)控制的所有實(shí)際應(yīng)用中，q都設(shè)置為2m，并且碼符號(hào)均取自伽羅華域GF(2m)。對(duì)符號(hào)取自GF(2m)、信息位長(zhǎng)度為k且糾t個(gè)錯(cuò)誤的RS碼，其滿足n-k=2t，碼最小距離d=2t+1。令α為GF(2m)中的本原元，則其生成多項(xiàng)式g(X)以α,α2,…,α2t為其全部根。由于αi是GF(2m)中的元素，因此其最小多項(xiàng)式即為X-αi。于是，

g(X)=(X-α)(X-α2)…(X-α2t)=g0+g1X+g2X2+…+g2t-1X2t-1+X2t。

(1)

其中:gi∈GF(2m)，0≤i<2t，且gi≠0。其奇偶校驗(yàn)矩陣具有如下形式:

(2)

在實(shí)際應(yīng)用中，通過(guò)幀同步分析，可以很容易確定RS碼的碼字起點(diǎn)。在此條件下，需要識(shí)別的參數(shù)包括碼長(zhǎng)，編碼域?qū)?yīng)的本原多項(xiàng)式及生成多項(xiàng)式。

3 RS碼盲識(shí)別實(shí)現(xiàn)

3.1 基于碼重統(tǒng)計(jì)的碼長(zhǎng)識(shí)別

RS碼在實(shí)際數(shù)字通信系統(tǒng)中以二進(jìn)制形式進(jìn)行傳輸，接收的序列為GF(2m)碼元在GF(2)上映射得到的二進(jìn)制準(zhǔn)循環(huán)碼，其碼長(zhǎng)為(2m-1)m，碼元之間的映射關(guān)系由選取的本原多項(xiàng)式?jīng)Q定。以GF(8)為例，表1給出了p1(X)=1+X+X3和p2(X)=1+X2+X3兩種情況下GF(8)到GF(2)映射情況?？梢钥闯?，GF(2)中“00…0”始終對(duì)應(yīng)GF(2m)中“0”，因此在統(tǒng)計(jì)碼重時(shí)，并不需要考慮實(shí)際采用的本原多項(xiàng)式和映射情況，只需以長(zhǎng)度(2m-1)×m劃分碼字，每個(gè)碼字內(nèi)按m位比特進(jìn)行遍歷，只要不出現(xiàn)連續(xù)全零狀態(tài)，則碼重加1。

表1 GF(8)到GF(2)映射關(guān)系Tab.1 Mapping relation from GF(8) to GF(2)

距離比奇偶校驗(yàn)符號(hào)數(shù)多1的編碼稱為極大最小距離可分(Maximum Distance Separable,MDS)碼。MDS碼的碼重量分布有如下定理:

定理1[12]GF(q)上[n,k,d=n-k+1]MDS碼中重量為i的碼字個(gè)數(shù)為

(3)

RS碼構(gòu)成最重要的一類MDS碼，顯然其碼重量分布也滿足上述關(guān)系。因此，按可能的碼長(zhǎng)逆映射得到RS碼序列并統(tǒng)計(jì)其碼重分布，然后根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果估計(jì)合適的糾錯(cuò)個(gè)數(shù)t，由式(3)得到理論碼重分布。兩者進(jìn)行對(duì)比，符合度最高的則對(duì)應(yīng)正確碼長(zhǎng)。

(4)

式中：Cov()表示協(xié)方差，D()表示方差。定義相似度系數(shù)

(5)

當(dāng)γ最小時(shí)，即對(duì)應(yīng)正確碼長(zhǎng)。

3.2 基于連續(xù)碼根判定的生成多項(xiàng)式識(shí)別

識(shí)別出碼長(zhǎng)后，需要在不同本原多項(xiàng)式下逆映射得到可能的RS編碼序列，然后以每個(gè)碼字為一行，分別建立碼字矩陣。設(shè)建立的M行n列碼字矩陣為V，根據(jù)校驗(yàn)關(guān)系，有

V·HT=0。

(6)

令vj=(vj,0,vj,1,…,vj,n-1)是矩陣V第j行，hi=(1,αi,α2i,…,α(n-1)i)是矩陣H第i行，由vj·(hi)T=0得

vj(αi)=vj,0+vj,1αi+vj,2α2i+…+vj,n-1α(n-1)i=0,

(7)

可知αi是碼多項(xiàng)式

vj(X)=vj,0+vj,1X+vj,2X2+…+vj,n-1Xn-1

(8)

的根。因此，定義二元假設(shè)

(9)

然后建立關(guān)于αi的統(tǒng)計(jì)量，并確定其在兩種假設(shè)下的概率分布，設(shè)定相應(yīng)判決門限。當(dāng)統(tǒng)計(jì)量大于該門限時(shí)，αi為矩陣V中碼字的公共根，也即生成多項(xiàng)式g(X)的根。

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，GF(2m)上首系數(shù)為1的m次本原多項(xiàng)式個(gè)數(shù)可以由公式c=φ(2m-1)/m求得，其中φ()為歐拉函數(shù)。找出所有碼字連續(xù)偶數(shù)個(gè)公共碼根最多時(shí)的情形，即對(duì)應(yīng)正確的本原多項(xiàng)式。

令Mz為矩陣V中滿足v(αi)=0的碼字個(gè)數(shù)。在本原多項(xiàng)式p(X)下，若αi不是生成多項(xiàng)式g(X)的根，則根據(jù)文獻(xiàn)[14]，v(αi)=0的概率為pi,1=1/2m，此時(shí)Mz服從伯努利分布B(M,pi,1)。令h=Mz/M，當(dāng)M足夠大時(shí)，h趨于高斯分布，其概率密度函數(shù)為

(10)

(11)

根據(jù)最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則，定義最優(yōu)判決門限

(12)則當(dāng)計(jì)算出的h滿足h>ηopt時(shí)，可以判定αi是所有碼字多項(xiàng)式的公共根。經(jīng)計(jì)算可得到ηopt的解析值為

(13)

其中:

a=(1-pi,1)(1-pe)n·[2pi,1+(1-pi,1)(1-pe)n-1]/M,

(14)

b=-2pi,1(1-pi,1)(1-pe)n·[(1-pi,1)(1-pe)n+pi,1]/M,

(15)

(16)

對(duì)于本原多項(xiàng)式p(X)，設(shè)對(duì)應(yīng)本原元為α，若α不滿足判決門限，則說(shuō)明該本原多項(xiàng)式不符合要求，需要選取新的本原多項(xiàng)式重復(fù)驗(yàn)證步驟；反之，若α是生成多項(xiàng)式g(X)的根,則對(duì)αi(i=2,3,…)依次進(jìn)行驗(yàn)證。如果某個(gè)本原多項(xiàng)式從α開始存在的連續(xù)偶數(shù)個(gè)根最多，則該多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)正確的編碼域。在確定生成多項(xiàng)式的連續(xù)碼根分布及本原多項(xiàng)式后，按式(1)即可得到g(X)。

完整識(shí)別過(guò)程的流程如圖1所示。

圖1 識(shí)別流程圖

4 仿真驗(yàn)證

仿真分為三部分，首先對(duì)所提方法的可行性進(jìn)行研究，分別對(duì)碼長(zhǎng)和生成多項(xiàng)式的識(shí)別進(jìn)行仿真驗(yàn)證，然后分析了在不同碼長(zhǎng)下的識(shí)別性能，并與其他文獻(xiàn)中的方法進(jìn)行了對(duì)比。由于RS碼的性能隨碼長(zhǎng)的增加而降低，實(shí)際一般使用中短碼，m取3～8；同時(shí)，實(shí)際通信系統(tǒng)中誤碼率一般為10-6～10-2。因此，進(jìn)行仿真時(shí)采用的編碼參數(shù)、誤碼率均在此范圍內(nèi)選取。

4.1 碼長(zhǎng)識(shí)別仿真

以(31,21)RS碼為研究對(duì)象，選取本原多項(xiàng)式為p(X)=1+X2+X5。首先隨機(jī)生成0、1隨機(jī)序列，然后以上述編碼參數(shù)進(jìn)行編碼，按pe=0.001加入誤碼，最后得到長(zhǎng)度為2.04×106的編碼序列。在m為3～8下，按(2m-1)m進(jìn)行分組，取N=1 000，并選擇任意的本原多項(xiàng)式將二元碼字映射為GF(2m)中的碼字，然后對(duì)碼字的重量分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表2所示(由于篇幅所限，僅列出重量分布中不為0的最后幾位)。

表2 不同m值下碼重分布統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.2 Statistic result of code weight under different m

利用式(5)對(duì)相似度系數(shù)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖2所示。

圖2 碼長(zhǎng)識(shí)別結(jié)果

由圖2可以看出，當(dāng)m為3、4、6、7和8時(shí)，由于編碼域錯(cuò)誤，所得到的碼組并不是真實(shí)碼字，因此其重量分布與理論值相差較大，造成相似系數(shù)偏大。當(dāng)m=5、對(duì)應(yīng)碼長(zhǎng)n=31時(shí)相似度系數(shù)最小，因此該處即為正確碼長(zhǎng)，與實(shí)際情況相符。

4.2 生成多項(xiàng)式識(shí)別仿真

下面對(duì)本原多項(xiàng)式和生成多項(xiàng)式進(jìn)行識(shí)別，仿真條件與上面相同。m=5對(duì)應(yīng)6個(gè)本原多項(xiàng)式，分別為p1(X)=1+X2+X5、p2(X)=1+X3+X5、p3(X)=1+X+X2+X3+X5、p4(X)=1+X+X2+X4+X5、p5(X)=1+X+X3+X4+X5和p6(X)=1+X2+X3+X4+X5，在Matlab軟件中用十進(jìn)制分別表示為37、41、47、55、59和61。取M=200，用本原元α對(duì)6種本原多項(xiàng)式進(jìn)行判決，結(jié)果如表3所示?？梢钥闯觯瑑H在37處，所得到的h值大于判決門限，因此編碼域?qū)?yīng)的本原多項(xiàng)式為p1(X)=1+X2+X5，與實(shí)際相符。

表3 本原根α判定結(jié)果Tab.3 Judgment result of primitive element α

然后對(duì)除了α以外的其他根進(jìn)行判定，結(jié)果如表4所示?？梢钥闯觯?～α10均符合要求，而從α11開始，計(jì)算得到的h值小于判決門限，因此2t=10，k=n-2t=21，與實(shí)際相符。對(duì)應(yīng)生成多項(xiàng)式為

至此，整個(gè)識(shí)別過(guò)程結(jié)束。

表4 其他碼根判定結(jié)果Tab.4 Judgment result of other code roots

4.3 識(shí)別性能分析

圖3給出了m等于5～8四種情況下識(shí)別概率隨誤碼率變化的曲線，選取的具體RS碼分別為(31,21)碼、(63,51)碼、(127,113)碼和(255,223)碼。可以看出，碼長(zhǎng)越大，識(shí)別概率越低。在誤碼率小于10-3時(shí)，對(duì)所有碼型的識(shí)別概率都能達(dá)到90%。

圖3 不同碼長(zhǎng)RS碼識(shí)別結(jié)果

將本文方法與文獻(xiàn)[6]中矩陣分析結(jié)合碼根統(tǒng)計(jì)的方法、文獻(xiàn)[7]中基于GFFT的方法進(jìn)行性能對(duì)比，對(duì)(31,21)RS碼進(jìn)行識(shí)別，結(jié)果如圖4所示。由圖可見本文方法略優(yōu)于文獻(xiàn)[6]中的方法，但遜于文獻(xiàn)[7]中的方法。原因在于，文獻(xiàn)[6]進(jìn)行矩陣分析時(shí)，初等變換的過(guò)程會(huì)造成錯(cuò)誤傳播，且進(jìn)行碼根統(tǒng)計(jì)時(shí)未定義判決門限，因此其抗誤碼性能比本文差。文獻(xiàn)[7]采用變換域方法，通過(guò)遍歷本原多項(xiàng)式和碼長(zhǎng)完成識(shí)別，在犧牲計(jì)算復(fù)雜度的前提下獲得較好的性能。

圖4 識(shí)別性能對(duì)比

最后，對(duì)3種方法的計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行分析。本文中，求單個(gè)碼字碼重的計(jì)算復(fù)雜度為mn，驗(yàn)證元素是否為碼字多項(xiàng)式根需要n-1次GF(2m)域乘法和加法，轉(zhuǎn)換到二元域的計(jì)算復(fù)雜度為(n-1)·[3m(m-1)+m]；設(shè)文獻(xiàn)[6]中識(shí)別碼長(zhǎng)時(shí)每個(gè)m值下驗(yàn)證1 000次，則矩陣分析需進(jìn)行500(mn-1)mn次行模2加運(yùn)算，驗(yàn)證碼根的計(jì)算復(fù)雜度與本文相同；文獻(xiàn)[7]中一次GFFT需n2次GF(2m)域乘法和n2-n次GF(2m)域加法，換算到二元域的計(jì)算復(fù)雜度為3m2n2-2mn2-mn[15]。取N=1 000，M=5n，上述3種方法的理論計(jì)算復(fù)雜度如圖5所示。可以看出，本文方法計(jì)算復(fù)雜度明顯小于其他兩種方法，結(jié)合圖4，說(shuō)明本文方法適用于低誤碼率情況下的識(shí)別。

圖5 計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比

5 結(jié) 論

根據(jù)RS碼的編碼結(jié)構(gòu)和特性，本文提出了一種新的RS碼盲識(shí)別方法，首先給出了基于碼重分析的碼長(zhǎng)識(shí)別模型，然后通過(guò)搜尋連續(xù)碼根分布對(duì)本原多項(xiàng)式和生成多項(xiàng)式進(jìn)行識(shí)別。與傳統(tǒng)方法相比，本文方法能在低誤碼率(小于10-3)下有效完成對(duì)常用RS碼的識(shí)別，且計(jì)算復(fù)雜度明顯得到降低，因此適用于對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高的系統(tǒng)。在后續(xù)研究中，需要進(jìn)一步提升方法在高誤碼率下的性能。

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Blind Parameter Recognition of RS Codes

ZHANG Limin,LIU Jie1,SUN Yongwei2，ZHAO Zhimei3

(1.Research Institute of Information Fusion,Naval Aeronautical and Astronautical University,Yantai 264001,China;2.Unit 91640 of PLA,Zhanjiang 524054，China；3.Space Star Technology Co.,Ltd.,Beijing 100086,China)

As the existing methods for Reed-Solomon(RS) codes recognition are very complicated,a new method is proposed. Firstly,code weight distribution under different block length is counted. By defining similarity coefficient to the theoretical code weight,the most similar one is found,which corresponds to the correct code length. Then binary hypothesis test is established with a decision threshold to find code roots. By traversing all the primitive polynomials in the field,the complete distribution of continuous code roots is found,with which generator polynomial is calculated. Simulation results show that the computation cost of this method is significantly less than that of other methods,and it can effectively complete the recognition of code length and generator polynomial which has a recognition probability of 90% for the commonly used RS codes when the bit error rate is less than 10-3.

channel coding;RS codes;blind recognition;code weight distribution;continuous code roots

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.06.006

張立民，劉杰，孫永威，等.RS碼編碼參數(shù)的盲識(shí)別[J].電訊技術(shù)，2017,57(6):650-655.[ZHANG Limin,LIU Jie,SUN Yongwei，et al.Blind parameter recognition of RS codes[J].Telecommunication Engineering,2017,57(6):650-655.]

2016-10-19；

2016-12-23 Received date:2016-10-19；Revised date：2016-12-23

國(guó)家自然科學(xué)基金重大研究計(jì)劃項(xiàng)目(91538201)；山東省“泰山學(xué)者”建設(shè)工程項(xiàng)目(ts201511020)

TN911.2

A

1001-893X(2017)06-0650-06

張立民(1966—)，男，遼寧開原人，2005年于天津大學(xué)獲博士學(xué)位，現(xiàn)為教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星信號(hào)處理及應(yīng)用；

Email:iamzlm@163.com

劉 杰(1990—)，男，湖北宜昌人，博士研究生，主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)及應(yīng)用;

Email:iamliu1573@163.com

孫永威(1979—)，男，山東威海人，工程師，主要研究方向?yàn)殡娐放c系統(tǒng);

趙志梅(1981—)，女，北京人，工程師，主要研究方向?yàn)楹綔y(cè)遙感。

**通信作者：iamliu1573@163.com Corresponding author：iamliu1573@163.com1，孫永威2,趙志梅3