■江蘇省太倉市明德高級中學 王佩其

性規(guī)劃思想“對決”非線性目標函數(shù)

■江蘇省太倉市明德高級中學 王佩其

“線性規(guī)劃”是每年高考必考內(nèi)容。從近幾年的高考命題看,命題重點已從考查線性目標函數(shù)的最值轉(zhuǎn)向考查非線性目標函數(shù)的最值,突出線性規(guī)劃思想的應(yīng)用。那么非線性目標函數(shù)主要有哪些呢?下面舉例說明。

一、斜率型

例1 (1)(2 0 1 5年·新課標Ⅰ)若x、y

解析：(1)作出可行域,如圖1中陰影部分所示。由斜率的意義知,是可行域內(nèi)一點與原點連線的斜率,由圖可知,點 A(1,3)與原點連線的斜率最大,故的最大值為3。

圖1

圖2

二、距離型

(1)設(shè)z=x2+y2,則z的取值范圍是;

(2)設(shè)z=x2+y2+6x-4y+1 3,則z的取值范圍。

圖3

(1)因為z=x2+y2的幾何意義是可行域上的點到原點O的距離的平方,故結(jié)合圖形可知,可行域上的點到原點的距離中,dmin=|O C|=2,dmax=|O B|=2 9。

所以2≤z≤2 9。

(2)因為z=x2+y2+6x-4y+1 3= (x+3)2+(y-2)2的幾何意義是可行域上的點到點(-3,2)的距離的平方,結(jié)合圖形可知,在可行域上的點到(-3,2)的距離中：

dmin=1-(-3)=4;

dmax==8。

所以1 6≤z≤6 4。

三、絕對值型

例3 (2 0 1 5年·浙江卷)若實數(shù)x、y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是。

解析：因為滿足x2+y2≤1的實數(shù)x、y表示的點(x,y)構(gòu)成的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部,因此x∈[-1,1],y∈[-1,1],故6-x -3y＞0。

所以f(x,y)=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y

直線y=-2x+2與圓x2+y2=1交于A、B兩點,如圖4所示,易得

設(shè)z1=4+x-2y,z2=8-3x-4y,分別作直并平移,則z1=4+x-2y在點取得最小值3,z2=8-3x-4y在點取得最小值3。

圖4

所以|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3。

點評：對于絕對值型的目標函數(shù),往往可以通過分類討論,將含有絕對值的目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性目標函數(shù)。

四、綜合型

圖5

由圖可知,點P在點B處時,t取得最小值;點P在點C處時,t取得最大值。

]。

點評：當目標函數(shù)比較復(fù)雜時,往往可以通過適當換元,將原函數(shù)化簡成新函數(shù),并根據(jù)約束條件確定可行域,求出新變量的取值范圍,進而求出新函數(shù)的最值。(責任編輯 徐利杰)