■陜西省神木縣職業(yè)技術(shù)教育中心 高 平

數(shù)學期望考題的新動

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近年來高考考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的試題,具有內(nèi)容新、背景新、結(jié)構(gòu)新、實際應用性強等特點。下面結(jié)合實例談談近年高考考查數(shù)學期望的新動向,供同學們參考。

一、取材新

不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學期望的試題也融入新課標的教育理念,多角度、多視點地考查同學們的數(shù)學素養(yǎng)。關注學生生活,注重社會現(xiàn)實,體現(xiàn)時代精神,體現(xiàn)社會熱點,關注當前科技新發(fā)展,試題中有大量的生活背景,充分體現(xiàn)了“從生活走向數(shù)學,從數(shù)學走向生活”的理念。

例1 本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點的收費標準是每車每次租車不超過兩小時免費,超過兩小時的收費標準為每小時2元(不足1小時的部分按1小時計算)。甲、乙兩人獨立來該租車點租車騎游,各租車一次。設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為;兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為;兩人租車時間都不會超過四小時。

(1)求出甲、乙所付租車費用相同的概率;

(2)求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ,求ξ的分布列與數(shù)學期望Eξ。

則所付費用相同的概率為：

(2)設甲,乙兩人所付的費用之和為ξ,ξ可為0,2,4,6,8。

分布列為：

二、情境新

例2 馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的概率分布列如下：

請小牛同學計算ξ的數(shù)學期望。盡管“!”處完全無法看清,且兩個“?”處字跡模糊,但能斷定這兩個“?”處的數(shù)值相同。據(jù)此,小牛給出了正確答案Eξ=。

解析：初看此題,與平時給出的分布列很是不同,第二行的概率值都沒有給出,為同學們的答題設置了障礙。但嘗試從基本思路出發(fā)解決本題,卻發(fā)現(xiàn)非常簡單：變量ξ的期望Eξ=1×?+2×!+3×?=4×?+2×! =2(!+2×?),而“!+2×?”剛好就是事件概率的性質(zhì)——概率和為1,這樣就能很快得出結(jié)果2。

例3 (2 0 1 5年福建理科卷)某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤,該銀行卡將被鎖定。小王到銀行取錢時,發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一,小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試。若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定。

(1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率;

(2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望。

解析：(1)首先記事件“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,則銀行卡被鎖定相當于3次嘗試密碼都錯誤,基本事件總數(shù)為=6×5×4,事件A包含的基本事件數(shù)為=5×4×3。

依題意得,X所有可能的取值是1,2,3。

所以,X的分布列為：

三、注重知識的交匯

在知識網(wǎng)絡交匯點設計試題是高考數(shù)學命題的新特點和大方向,高考中的數(shù)學期望試題也不失時機地體現(xiàn)了這一動向。

例4 設S是不等式x2-x-6≤0的解集,整數(shù)m,n∈S。

(1)記使得“m+n=0成立的有序數(shù)組”為事件A,試列舉A包含的基本事件;

(2)設ξ=m2,求ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ。

解析：(1)由x2-x-6≤0得,-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}。由于整數(shù)m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件為(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0)。

(2)由于m的所有不同取值為-2,-1, 0,1,2,3,所以ξ=m2的所有不同取值為0, 1,4,9,且有

故ξ的分布列為：

(責任編輯 徐利杰)