廣西壯族自治區(qū)梧州市蒼梧縣蒼梧中學(xué) 黃章盛

2017年高考復(fù)習(xí)已經(jīng)到了關(guān)鍵時(shí)段，回首前段的復(fù)習(xí)與測(cè)試，不難發(fā)現(xiàn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性極值和最值來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。其解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)。如何根據(jù)題設(shè)的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)函數(shù)呢？以下筆者主要就利用題設(shè)及求證的“特征”構(gòu)造函數(shù)解決問題舉例與讀者共勉。

一、從所證結(jié)論特征出發(fā)，換元構(gòu)造

【例1】 證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式都成立。

分析：從所證結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，只需令則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x>0時(shí)，恒有l(wèi)n(x+1 )>x2?x3成立，后是要構(gòu)造函數(shù)h(x)=x3?x2+l n(x+1),求導(dǎo)即可達(dá)到證明。

【警示啟迪】我們知道，當(dāng)F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則x>a時(shí)，有F(x)>F(a)．如果f(a)＝φ（a），要證明當(dāng)x>a時(shí)，f(x)>φ（x），那么，只要令F(x)=f(x)-φ（x），就可以利用F(x)的單調(diào)增性來推導(dǎo)．也就是說，在F(x)可導(dǎo)的前提下，只要證明F‵(x)>0即可。

二、從所證結(jié)論特征出發(fā)，對(duì)數(shù)構(gòu)造

【例2】：證明當(dāng)x> 0 時(shí) ,

分析：即兩邊取對(duì)數(shù)，化歸為一般常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

三、從所證結(jié)論特征出發(fā)，形似構(gòu)造

【例3】：證明當(dāng)b>a>e,證明ab>ba

分析：即兩邊取對(duì)數(shù)后歸類整理成形似函數(shù)來解決,構(gòu)造函數(shù)G（x)=lnx/x

變式：已知m、n都是正整數(shù)，且1( 1+n)m

四、從所證的題設(shè)特征出發(fā)，利用運(yùn)算特征構(gòu)造

1）已知關(guān)系式為“加”型：xf'(x)+f(x) ≥0構(gòu)造[xf(x) ]'=xf'(x)+f(x)

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf′(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：af(a)>bf(b).

分析：主要依據(jù)xf′(x)>－f(x)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，令G（x)=x?f(x)

【警示啟迪】由條件移項(xiàng)后xf′(x)>+f(x)，容易想到是一個(gè)積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x)，求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為xf′(x)>f(x)，則移項(xiàng)后xf′(x)>－f(x)，要想到是一個(gè)商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時(shí)解題多注意總結(jié)。

變式：已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，當(dāng)x≠0時(shí)，若則下列關(guān)于a,b,c的大小關(guān)系正確的是（ ）

A.a>b>cB.a > c > b C. c > b >aD.b>a>c

2）已知關(guān)系式為“加”型：xf'(x)+nf(x) ≥0構(gòu)造[xnf(x) ]'=xnf'(x)+nxn?1f(x)=xn?1[xf'(x)+nf(x)]

例5：設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為，且2f(x)+xf'(x) >x2，下面的不等式在R內(nèi)恒成立的是（ ）

A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)

分析：主要依據(jù)2f(x)+xf'(x) >x2特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，令G（x)=x2?f(x)

3）已知關(guān)系式為“加”型：f'(x)g(x)+f(x)g'(x) < 0構(gòu)造[f(x).g(x)]'=f(x)'g(x)+f(x)g(x)'

例6：設(shè)f(x)、g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，

f'(x) 、g'(x)分別為f(x) 、g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且

分析：主要依據(jù)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) < 0特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，令G（x)=f(x)?g(x)

變式1：設(shè)f(x)、g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，f'(x)g(x)+f(x)g'(x) < 0，g(?3 )=0，求不等式f(x)g(x) < 0的解集。

變式2：設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)g(x)+f(x)g'(x) > 0，g(?3 )=0，求不等式

f(x)g(x) < 0的解集。

4）已知關(guān)系式為“加”型：f'(x)+f(x) ≥0構(gòu)造[exf(x) ]'=ex[f'(x)+f(x)]

例7：設(shè)f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f'(x) ≥?f(x)，f(0)=1，求f(1)的值。

分析：主要依據(jù)f'(x) ≥?f(x)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，令G（x)=exf(x)

變式.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)+f′(x) > 1 ,f(0)=4,則不等式exf(x) >ex+3

（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ）

5）已知關(guān)系式為“減”型：f(x)'g(x)-f(x)g(x)'<0 構(gòu)造[f(x)/.g(x)]'=（f(x)'g(x)-f(x)g(x)'）/g2(x)

例8：已知定義在R上的函數(shù)滿足f(x) 、g(x)且f'(x)g(x)

分析：主要依據(jù)f'(x)g(x)

變式1：已知定義在R上的函數(shù)f(x) 、g(x)滿 足且f'(x)g(x) 1的解集。

變式2．定義在上的函數(shù)f(x),f'(x)是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f(x)

6）已知關(guān)系式為“減”型：f'(x)?f(x) ≥0構(gòu)造

例9：已知函數(shù)f(x)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)

分析：主要依據(jù)f(x)

變式1.已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且?x∈R，均有f(x) >f′(x)，則有（ ）

變式2．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f′(x) >f(x)恒成立，若x1

7）已知關(guān)系式為“減”型：xf'(x)?nf(x) ≥0構(gòu)造

例10：已知f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，當(dāng)x>0時(shí)，2f(x) >xf'(x)，且f(1)=1，若存在x∈R+，使f(x)=x2，求x的值

分析：主要依據(jù)2f(x) >xf'(x)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，令G（x)=f(X)/X2

8）已知關(guān)系式為“減”型 ：xf'(x)?f(x) ≥0（<0）構(gòu) 造

例11、f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′(x)?f(x)≤0，對(duì)任意正

數(shù)a、b，若a

（A）af(b)≤bf(a) （B）bf(a)≤af(b) （C）af(a)≤f(b)（D）bf(b)≤f(a)

分析：主要依據(jù)xf′(x)?f(x)≤0特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，令

9）已知為其它型，則依據(jù)條件及所求特征靈活構(gòu)造。

總之，利用“特征”合理構(gòu)造函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問題的關(guān)鍵。有時(shí)簡(jiǎn)單的構(gòu)造函數(shù)會(huì)帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，所以要合理且恰到好處的構(gòu)造，重在切入合理，觀察特征入微，恰到好處的利用題目信息，找到解題的突破口。如此筆者認(rèn)為要做好：觀察體微，恰到好處的利用題目信息；要抓住問題的實(shí)質(zhì)，化簡(jiǎn)函數(shù)；抓住常規(guī)基本函數(shù)，利用函數(shù)草圖分析問題；最主要利用“特征”，通過適當(dāng)分解和調(diào)配就一定能找到問題解決的突破口，使問題簡(jiǎn)單化明確化，要用聯(lián)系的觀點(diǎn)找突破破口，切記望而生畏，盲目亂幢。