張四保

摘 要 本文研究形如5m+j與13m+j的正偶數(shù)是否是偶完全數(shù)的問題，以及形如5m-1的正奇數(shù)是否是奇完全數(shù)的問題，并給出相應(yīng)的結(jié)論.

關(guān)鍵詞 完全數(shù)；偶完全數(shù)；奇完全數(shù)

中圖分類號 O156 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A 文章編號 1000-2537（2017）03-0079-04

Problems of Whether or Not Several Kinds of Positive Numbers are Perfect Numbers

ZHANG Si-bao*， DENG Yong

（School of Mathematics and Statistics， Kashgar University， Kashgar 844008， China）

Abstract In this article， the problems whether or not the positive even numbers of the form 5m+j and 13m+j are perfect numbers were investigated. Also studied was the problem whether or not the positive odd numbers of the form 5m-1 are perfect numbers.

Key words perfect number； even perfect number； odd perfect number

設(shè)σ（n）是正整數(shù)n的所有正因數(shù)（包括1和n）的和函數(shù). 若n滿足σ（n）=2n，則n被稱為完全數(shù). 根據(jù)Euclid定理[1]與Euler定理[2]可知，當(dāng)2p-1為Mersenne素數(shù)時，2p-1（2p-1）是完全數(shù)，且是僅有的偶完全數(shù)[3]. 到目前為止，人們只發(fā)現(xiàn)了49個偶完全數(shù)，其中第49個偶完全數(shù)274 207 280（274 207 281-1）由美國中央密蘇里大學(xué)數(shù)學(xué)家柯蒂斯·庫珀領(lǐng)導(dǎo)的研究小組通過參加一個名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索”（GIMPS）的國際項目于2016年1月7日發(fā)現(xiàn)[4]，而至今尚未發(fā)現(xiàn)奇完全數(shù)，是否存在奇完全數(shù)，這已成為數(shù)論中著名的問題之一 [5].

Euler[6]指出，若n為奇完全數(shù)，則n必為n = παq2β11q2β22…q2βss的形式，其中π，qi（i=1，2，…，s）是相異的奇素數(shù)，（qi，π）=1，βi是正整數(shù)，且π≡α≡1（mod 4）. 人們討論過各種形式的奇數(shù)是否是奇完全數(shù)的問題. 1975年，Macdaniel[7]指出，若β1≡…≡βs≡1（mod 3），則形如παq2β11q2β22…q2βss的奇數(shù)不是完全數(shù).2003年，Iannucci和Sorli[8]指出，若β1≡…≡βs≡2（mod 5），則形如παq2β11q2β22…q2βss的奇數(shù)不是完全數(shù).2000年，Luca[9]證明任意一個Fermat 數(shù)都不是完全數(shù).2006年，沈忠華[10]證明對于任意正整數(shù)n，形如Sn=12（52n+1）的奇正整數(shù)不是完全數(shù).形如n=πα32βQ2β的奇正整數(shù)，在β∈[2，15）∪（15，20]都已被證明不是完全數(shù)[11].2008年，沈忠華[12] 等證明了形如Sn=（2n）2n+1的數(shù)不是完全數(shù).2006年，Starni[13]證明當(dāng)π≡1（mod 12）且α≡1，9（mod 12），n=πα32βQ2β不是奇完全數(shù).2011年，朱玉揚[14]考慮了形如3m-1是否是完全數(shù)的問題，并給出了相應(yīng)的結(jié)論. 本文主要考慮5m+j（j=-1，2），13m+j（j=0，4，5，7，9，11，12）的正偶數(shù)，以及形如5m-1的正奇數(shù)是否為完全數(shù)的問題.

1 主要結(jié)論及證明

定理1 形如5m+j的正偶數(shù)不是完全數(shù)，其中j=-1，2.

證 設(shè)n是5m+j型的正偶數(shù)，其中j=-1，2，即n≡-1，2（mod 5）. 由Euler定理與Euclid定理可知，偶完全數(shù)n的形式必為2p-1（2p-1），其中2p-1為Mersenne素數(shù). 當(dāng)p=2時，n≡1（mod 5）；當(dāng)p=3時，n≡3（mod 5）；當(dāng)p≥5時，令p=4k+1，或p=4k+3.

當(dāng)p=4k+1時，

n=2p-1（2p-1）=24k（24k+1-1）≡1（mod 5）.

當(dāng)p=4k+3時，

n=2p-1（2p-1）=24k+2（24k+3-1）≡3（mod 5）.

而n≡-1，2（mod 5）. 所以，形如5m+j的正偶數(shù)不是完全數(shù)，其中j=-1，2. 證畢.

定理2 設(shè)n = παq2β11q2β22…q2βss是形如5m-1的正奇數(shù)，若qi及βi（i=1，2，…，s）滿足以下條件之一：

（1）當(dāng)qi≡1（mod 5）或qi≡4（mod 5）或滿足qi≡1（mod 5）與qi≡4（mod 5）；

（2）當(dāng)βi全為偶數(shù)；

（3）當(dāng)βi全為奇數(shù)，qi都滿足qi≡2（mod 5），且qi的個數(shù)s為偶數(shù)；

（4）當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，qi都滿足qi≡2（mod 5），且βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個；

（5）當(dāng)βi全為奇數(shù)，qi都滿足qi≡3（mod 5），且qi的個數(shù)s為偶數(shù)；

（6）當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，qi都滿足qi≡3（mod 5），且βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個；

（7）當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為偶數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的qi為偶數(shù)個；

（8）當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為奇數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的qi為奇數(shù)個；

（9）當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個；

（10）當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個；

則n不是奇完全數(shù).

證 由于奇完全數(shù)為n = παq2β11q2β22…q2βss，其中π，qi（i=1，2，…，s）是相異的奇素數(shù)，（qi，π）=1，βi是正整數(shù)，且π≡α≡1（mod 4）.下面對qi及βi進(jìn)行討論.

Case 1 當(dāng)qi≡1（mod 5）時有，q2βii≡1（mod 5），進(jìn)而有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）.

Case 2 當(dāng)qi≡2（mod 5）時有，q2βii≡（-1）βi（mod 5），下對βi進(jìn)行討論.

當(dāng)βi全為偶數(shù)時，則q2βii≡（-1）βi≡1（mod 5），進(jìn)而有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）.

當(dāng)βi全為奇數(shù)時，則q2βii≡（-1）βi≡-1（mod 5）. 此時，若s為偶數(shù)，則∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；若s為奇數(shù)，則∏si = 1 q2βii≡-1（mod 5）.

當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)時，此時當(dāng)βi為奇數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個時，有∏si = 1 q2βii≡-1（mod 5）；當(dāng)βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個時，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）.

Case 3 當(dāng)qi≡3（mod 5）時有，q2βii≡（-1）βi（mod 5），其情況與Case 2的情況相同.

Case 4 當(dāng)qi≡4（mod 5）時有，q2βii≡1（mod 5），進(jìn)而有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）.

Case 5 結(jié)合以上Case 1至Case 4所討論的情況，即qi中都有滿足qi≡1（mod 5），qi≡2（mod 5），qi≡3（mod 5），qi≡4（mod 5）的奇素數(shù).

此時，當(dāng)βi全為偶數(shù)時，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為偶數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的qi為偶數(shù)個時，則有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為偶數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的qi為奇數(shù)個時，則有∏si = 1 q2βii≡-1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為奇數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的qi為偶數(shù)個時，則有∏si = 1 q2βii≡-1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為奇數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的qi為奇數(shù)個時，則有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個時，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個時，有∏si = 1 q2βii≡-1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個時，有∏si = 1 q2βii≡-1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個時，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）.

所以，由以上5種情況的討論可知，對于∏si = 1 q2βii取模5的情況，只有∏si = 1 q2βii≡±1（mod 5）這兩種情況. 通過以上對qi及βi的討論可知，當(dāng)qi≡1（mod 5）或qi≡4（mod 5）或滿足qi≡1（mod 5）與qi≡4（mod 5）的qi都有時，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為偶數(shù)，且qi都滿足qi≡2（mod 5）時，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，qi都滿足qi≡2（mod 5），且qi的個數(shù)s為偶數(shù)時，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，qi都滿足qi≡2（mod 5），且βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個時，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為偶數(shù)，且qi都滿足qi≡3（mod 5）時，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，qi都滿足qi≡3（mod 5），且qi的個數(shù)s為偶數(shù)時，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，qi都滿足qi≡3（mod 5），且βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個時，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為偶數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的qi為偶數(shù)個時，則有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為奇數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的qi為奇數(shù)個時，則有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個時，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個時，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）.

若∏si = 1 q2βii≡1（mod 5），由于n≡-1（mod 5），所以πα≡-1（mod 5）.

結(jié)合α≡1（mod 4）有，當(dāng)π≡1（mod 5），則有πα≡1（mod 5），這與πα≡-1（mod 5）相矛盾；當(dāng)π≡2（mod 5），則有πα≡2（mod 5），這與πα≡-1（mod 5）相矛盾；當(dāng)π≡3（mod 5），則有πα≡3（mod 5），這與πα≡-1（mod 5）相矛盾；當(dāng)π≡4（mod 5），則有πα≡-1（mod 5）. 故，π≡4≡-1（mod 5）.由此可得，σ（πα）=∑αk=0πk≡0（mod 5），即5σ（πα）.由于σ（n） = σ（παp12β1p22β2…ps2βs） = σ（πα）σ（p12β1p22β2…ps2βs） = 2n，得52n，即有5n，這與n≡-1（mod 5）相矛盾. 故此時，形如5m-1的正奇數(shù)不是完全數(shù).證畢.

定理3 形如13m+j的正偶數(shù)不是完全數(shù)，其中j=0，4，5，7，9，11，12.

證 設(shè)n是13m+j型的正偶數(shù)，其中j=0，4，5，7，9，11，12，即n≡0，4，5，7，9，11，12（mod 13）.當(dāng)p=2時，n≡6（mod 13）；當(dāng)p=3時，n≡2（mod 13）；當(dāng)p≥5時，令p=4k+1，或p=4k+3，這里k≥1為整數(shù).

當(dāng)p=4k+1時，

n=2p-1（2p-1）=24k（24k+1-1）≡3k（3k·2-1）（mod 13）.

下面對3k取模13的情況進(jìn)行討論. 由于

當(dāng)k=3k1時，有3k=33k1=27k1≡1（mod 13）. 此時，n=2p-1（2p-1）≡3k（3k·2-1）≡1（mod 13）；

當(dāng)k=3k1+1時，有3k=33k1+1=27k1·3≡3（mod 13）. 此時，n=2p-1（2p-1）≡2（mod 13）；

當(dāng)k=3k1+2時，有3k=33k1+2=27k1·9≡9（mod 13）. 此時，n=2p-1（2p-1）≡10（mod 13）.

當(dāng)p=4k+3時，

n=2p-1（2p-1）=24k+2（24k+3-1）≡3k·22（3k·23-1）（mod 13）.

結(jié)合上面對3k取模13情況的討論，有

n=2p-1（2p-1）=24k+2（24k+3-1）≡3k·22（3k·23-1）≡2，3，8（mod 13）.

綜上所述，偶完全數(shù)n=2p-1（2p-1）取模13只滿足n=2p-1（2p-1）≡1，2，3，6，8，10（mod 13）.所以，若正偶數(shù)n滿足n≡0，4，5，7，9，11，12（mod 13），則n不是完全數(shù). 證畢.

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