楊侖元

過拋物線焦點(diǎn)的直線被拋物線所截的線段叫拋物線的焦點(diǎn)弦.與此相關(guān)的問題在教科書人教A版選修2-1中較多，高考中也經(jīng)?？疾?，經(jīng)歸納總結(jié)得：

性質(zhì) 過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線垂直于準(zhǔn)線L于點(diǎn)A1，過點(diǎn)B作直線垂直于準(zhǔn)線L于點(diǎn)B1，易證得如下結(jié)論：

（一）四個(gè)定值

1.x1·x2=；

2.y1·y2=-p2；

3.kOA·kOB=-4；

4.；

（二）兩個(gè)公式（弦長、面積公式）

5.焦點(diǎn)弦公式：|AB|=x1+x2+p；（教科書人教A版選修2-1P69例4）

設(shè)直線AB的傾斜角為α，則

通徑：當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，|AB|=2p；

6.焦點(diǎn)三角形面積公式：設(shè)直線AB的傾斜角為α，則

（三）三個(gè)圓

7.以焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線L相切于線段A1B1的中點(diǎn)M；（如圖1）

8.以線段A1B1為直徑的圓與直線AB相切于焦點(diǎn)F；（如圖2）

9.以焦半徑FA為直徑的圓與Y軸相切于線段OC的中點(diǎn)D；（如圖3）

（四）其它性質(zhì)

10.設(shè)直線OA交準(zhǔn)線L于點(diǎn)H，則BH∥x軸；（教科書人教版選修2-1P70例5）。

高考中的應(yīng)用舉例：

1.（2014年高考全國卷Ⅱ，⑩）設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（ ）

A. B. C. D.

略解：由性質(zhì)6易得，選D。

2.（2013年高考全國卷Ⅱ，⑾）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)（0，2），則C的方程為（ ）

（A）或 （B）或

（C）或 （D）或

解法1 由題意可知，，

設(shè)圓心為，則，所以圓的方程為

因?yàn)閳A過點(diǎn)（0，2），代入圓方程解得，又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以，解得p=2或p=8，選C.

解法2 由題意可知，，

設(shè)圓心為，則，因?yàn)閳A過點(diǎn)（0，2），所以圓心到其距離與到點(diǎn)相等

，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以，解得p=2或p=8。

解法3 根據(jù)選項(xiàng)，設(shè)曲線方程為y2=4x，由題意可知，，，把M點(diǎn)代入曲線方程有，所以，設(shè)圓心為，則，因?yàn)閳A過點(diǎn)（0，2），所以圓心到其距離與到點(diǎn)相等滿足題意，所以y2=4x成立，同理可證y2=16x成立

3.（1995年全國高考⒆題）直線L過拋物線y2=a（x+1）（a>0）的焦點(diǎn)，并且與x軸垂直，若L被拋物線截得的線段長為4，則a=——————；

略解：由性質(zhì)4知 a=4.

4.（2000年全國高考⑾題）過拋物線y=ax2（a>0）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則等于（ ）

A.2a B. C.4a D.

略解：由性質(zhì)5知，選C.

5.（2001年全國高考⒆題）設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.（同教科書人教版選修2-1P70例5）

注：本題是性質(zhì)10的逆命題.