伍建軍，汪 輝，歐陽丹，李 南，廖泰健

(江西理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

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精密定位平臺(tái)柔性支撐桿屈曲分析*

伍建軍，汪 輝，歐陽丹，李 南，廖泰健

(江西理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

針對工程機(jī)械關(guān)鍵結(jié)構(gòu)精密定位平臺(tái)柔性支撐桿在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上普遍存在屈曲失穩(wěn)問題。首先基于瑞利-里茲能量變分法，建立計(jì)算精密定位平臺(tái)柔性支撐桿屈曲臨界載荷的數(shù)學(xué)模型并與有限元的Block Lanczos方法所求其前1階屈曲載荷和屈曲模態(tài)進(jìn)行對比，結(jié)果表明理論值與實(shí)驗(yàn)值偏差不大于0.26%，驗(yàn)證了基于瑞利-里茲能量變分法建模的準(zhǔn)確性。最后對柔性支撐桿進(jìn)行參數(shù)研究，發(fā)現(xiàn)長度比L/l與屈曲臨界載荷呈反比例，直徑比D/d小于1.5對屈曲臨界載荷影響較大，倒角半徑R與屈曲臨界載荷正相關(guān)，為密定位平臺(tái)柔性支撐桿的設(shè)計(jì)提供新的思路。

柔性支撐桿；屈曲臨界載荷；有限元分析；穩(wěn)定性

0 引言

柔性支撐桿是機(jī)械工程中一種重要的支撐和傳動(dòng)設(shè)備，常用于機(jī)器人、精密儀器等領(lǐng)域。這種柔性支撐桿,具有較強(qiáng)的支撐精度和導(dǎo)向精度。其中間環(huán)節(jié)最易失穩(wěn)，常因外載荷作用下，應(yīng)力集中造成局部屈曲失穩(wěn)，準(zhǔn)確預(yù)測和優(yōu)化結(jié)構(gòu)臨界載荷和失穩(wěn)形式，具有重要的工程意義。對于桿的屈曲問題，以往文獻(xiàn)已有很多研究[1-5]。文獻(xiàn)[6]應(yīng)用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)，建立新型圓柱桿柔性纖維數(shù)學(xué)模型，但是建模的模型是簡化的屈曲形態(tài)不夠準(zhǔn)確。文獻(xiàn)[7]Paidoussia推導(dǎo)了受兩端約束的圓柱體在橫向運(yùn)動(dòng)下的線性微分方程，研究了穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)形式，但是沒有對復(fù)雜載荷研究。Paidoussis等[8-9]給出了懸臂圓柱體的非線性數(shù)學(xué)模型，同時(shí)用數(shù)值模擬了其動(dòng)態(tài)行為。文獻(xiàn)[10]基于歐拉屈曲載荷，提出了柔性管屈曲解析解公式，但是得出的屈曲載荷值誤差過大。關(guān)于對精密定位平臺(tái)柔性支撐桿的屈曲問題深入研究很少，以往的建模方法存在不合理性，得出的精度不高，而且對結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的優(yōu)化沒有具體的研究。針對以往研究的不足，本文采用瑞利-里茲能量法建立精確屈曲數(shù)學(xué)模型，在ANSYS中運(yùn)用APDL語言建立柔性支撐桿的有限元模型，研究精密定位平臺(tái)柔性支撐桿在不同工藝要求下的屈曲現(xiàn)象；同時(shí)分析了長度比、直徑比、倒角半徑與柔性桿臨界屈曲載荷的關(guān)系。對精密定位平臺(tái)柔性支撐桿的深入復(fù)雜研究和同類桿件的研究具有一定的參考價(jià)值。

1 構(gòu)建屈曲臨界應(yīng)力理論計(jì)算模型

圖1所示為精密定位平臺(tái)柔性支撐桿的結(jié)構(gòu)示意圖(以下簡稱：柔性支撐桿)。從勢能駐值原理出發(fā)，推導(dǎo)瑞利-里茲能量法[11-13]求解臨界載荷。

設(shè)柔性支撐桿下端固定，上端自由，在力P作用下處于臨界屈曲狀態(tài)。根據(jù)彎曲變形理論建立其數(shù)學(xué)理論模型(圖2)，在圖2中L代表柔性支撐桿剛體長度，l代表支撐桿柔性長度。

圖1 柔性支撐桿

圖2 柔性支撐桿屈曲數(shù)學(xué)模型

以柔性支撐桿的直線平衡位置為參考狀態(tài)，對任一幾何位移，其總勢能為：

EP=U+UP=U-PΔ

(1)

體系在臨界狀態(tài)時(shí)總勢能恒為0，則:

(2)

U和Δ與體系幾何位移有關(guān)。柔性支撐桿可能存在無限個(gè)幾何位移，故式(2)的值就不止一個(gè)。

彈性曲線方程式對于求解復(fù)雜的情況，很難全部滿足實(shí)際邊界條件。故給出下面的曲線方程，擬用含若干參數(shù)的變形曲線去逼近真實(shí)曲，即：

(3)

(4)

式中，ai為待定的系數(shù)i=1,2；式(4)是假設(shè)符合固定端幾何邊界條件的函數(shù)，即：

(5)

按式(4)形狀函數(shù)的選取應(yīng)確保各柔性支撐桿頂點(diǎn)處的撓度為a1+a2，按式(4)給出的形狀函數(shù)，柔性支撐桿上任意截面處所受的彎矩M為：

(6)

式中，P為施加在柔性支撐桿頂點(diǎn)處的載荷，L、l分別為柔性支撐桿的剛體長度和柔性長度，θ為支撐桿剛體與x軸之間的夾角。由此可求得桿件的變形能U為：

(7)

計(jì)算載荷P作用點(diǎn)沿x軸方向的位移Δ為：

(8)

求得系統(tǒng)總勢能Ep為：

EP=U-PΔ

(9)

則可得柔性支撐桿的臨界應(yīng)力Pcr計(jì)算公式：

(10)

(11)

(12)

(13)

將具體數(shù)據(jù)帶入式(13),可以求出臨界應(yīng)力Pcr=minP(上述方程有多個(gè)解，取其中最小的一個(gè)正解，即1階失穩(wěn)，其余解去除)。利用MATLAB編程求解出其最小的P值。

2 有限元屈曲分析

按照上述計(jì)算模型，采用有限元軟ANSYS14.0對柔性支撐桿進(jìn)行相應(yīng)的建模。為了方便分析，結(jié)果取最小屈曲臨界載荷，即第1階屈曲臨界載荷。

以柔性支撐桿為例，設(shè)下端固定、上端為自由端的柔性支撐桿，受上端豎直向下的壓力P=888N作用,材料采用鋁合金 (7075-O),彈性模量E=72GPa,泊松系μ=0.33,質(zhì)量密度ρ=2.81g/cm3。D代表支撐桿剛體部分直徑，d代表柔性支撐桿的直徑。模型參數(shù)如表1。

表1 柔性支撐桿尺寸參數(shù)

將上述參數(shù)帶入式(13)，MATLAB編程運(yùn)用SYMS函數(shù)，可以解出臨界應(yīng)力Pcr=24405.44N(有3個(gè)解，取其中最小的一個(gè)正解，其余解去除)。

選用solld185對模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，生成柔性支撐桿有限元模型(如圖3)：共1757個(gè)單元，473個(gè)節(jié)點(diǎn)。上端面用mass21單元建立耦合剛性面，在中心節(jié)點(diǎn)施加集中載荷，使用LANB(分塊蘭索斯法)進(jìn)行特屈曲分析如圖4所示。

圖3 柔性支撐桿有限元模型

圖4 柔性支撐桿屈曲分析

有限元分析結(jié)果可得第1階模態(tài)的屈曲載荷系數(shù)為27.412，可計(jì)算得到有限元分析環(huán)境下的屈曲載荷為24341.856N,與精確計(jì)算屈曲載荷值相比，差值不超過0.26%，兩者結(jié)果具有一致性。

3 支撐桿參數(shù)與臨界載荷的關(guān)系

3.1 支撐桿L/l值與臨界載荷的關(guān)系

分析柔性支撐桿L/l值對屈曲臨界載荷的影響，并得出其影響變化規(guī)律。分別利用ANSYSY14.0和理論模型對L/l分別為0、0.2、0.5、1、5、10、50的支撐桿進(jìn)行1階屈曲分析，數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 不同L/l值下臨界載荷及相對誤差

表2中Pcr為臨界載荷理論計(jì)算值，Pcr1為有限元特征值，e為Pcr1與Pcr的相對誤差。通過分析表2的數(shù)據(jù)，可以看出屈曲臨界載荷理論計(jì)算值與限元分析特征值非常接近，誤差不超過3%。對ANSYS求得的1階屈曲載荷和L/l進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得出其影響變化規(guī)律，結(jié)果如圖5所示。

圖5 支撐桿L/l值與1階屈曲載荷的關(guān)系

從圖5可以看出：柔性支撐桿L/l與其1階屈曲載荷呈反比例。當(dāng)L/l從0到1時(shí)，下降幅度快，1階屈曲載荷從34.891kN～10.464kN，下降幅度為70%；當(dāng)L/l從1～10時(shí)，下降幅度慢，1階屈曲載荷從10.464kN～1.368kN，下降幅度為9.7%；當(dāng)L/l從10～50時(shí)，下降幅度平穩(wěn)，1階屈曲載荷從1.368kN～0.261kN，下降幅度為1.6%?？梢钥闯?，L/l的變化對1階屈曲載荷影響極大，因此在柔性支撐桿結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)充分注意L/l的選擇對柔性支撐桿承載力的影響。

3.2 支撐桿D/d值與臨界載荷的關(guān)系

從柔性支撐桿的截面直徑比D/d值影響因素出發(fā)，探討其變化對屈曲臨界載荷的影響變化規(guī)律。保持柔性支撐桿，其他尺寸參數(shù)不變，D/d分別選擇0.1、0.2、0.5、1、1.5、2、10、50。利用ANSYSY軟件求解1階屈曲載荷，分析同上，結(jié)果如圖6所示。

圖6 支撐桿D/d值與1階屈曲載荷的關(guān)系

從圖6可以明顯看出，隨著柔性支撐桿D/d的逐漸增加，其1階屈曲載荷先急劇增加，然后趨于平穩(wěn)，且有小幅度下降。

3.3 支撐桿R值與臨界載荷的關(guān)系

柔性支撐桿是運(yùn)用普遍和加工工藝比較簡單的結(jié)構(gòu)模型，根據(jù)以上的分析，這里引入倒角半徑R(如圖7)，對柔性支撐桿進(jìn)行研究。保持柔性支撐桿，其他尺寸參數(shù)不變，R分別為5mm、4mm、3mm、2mm、1mm、0.5mm，為了徹底分析R對臨界屈曲載荷的影響，摘取了兩極端的倒角半徑5mm、0mm。分析方法同上，結(jié)果如圖8所示。

圖7 柔性支撐桿倒角半徑R

圖8 支撐桿R值與1階屈曲載荷的關(guān)系

從圖8可以看出: 在保持其他尺寸不變的情況下,僅僅改變R值,柔性支撐桿R值與其1階屈曲臨界載荷呈正相關(guān)。當(dāng)0≤R≤2時(shí)，1階屈曲臨界載荷上升幅度較快；當(dāng)2≤R時(shí)，其上升增加但幅度減小。隨著R值的增加，其1階屈曲載荷呈增大趨勢，但是R值增加到一定值時(shí)，其對1階臨界屈曲載荷的影響在減弱。因此，在對柔性支撐桿結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，在加工工藝鍛造水平內(nèi)，引入倒角半徑R，可以大幅度提高穩(wěn)定性?？紤]到結(jié)構(gòu)的加工材料和受力影響，不能無限地增大。

4 結(jié)論

本文基于瑞利-里茲能量法，推導(dǎo)計(jì)算了精密定位平臺(tái)柔性支撐桿臨界載荷的公式。給其它類型機(jī)械關(guān)鍵結(jié)構(gòu)柱桿的穩(wěn)定性分析提供了一定理論指導(dǎo)意義。同時(shí)探討了柔性支撐桿結(jié)構(gòu)參數(shù)對臨界載荷的影響，得到結(jié)果如下：

(1)隨柔性支撐桿L/l增加，支撐桿1階屈曲載荷下降，呈反比例相關(guān)性。當(dāng)L/l從0～1時(shí)，下降幅度為70%，下降最快。隨柔性支撐桿D/d逐漸增加，其1階屈曲載荷先急劇增加，然后趨于平穩(wěn)，且有小幅度下降；當(dāng)D/d從2～0.2時(shí),其1階屈曲載荷銳減99.6%，表明柔性支撐桿D/d值不宜過小。

(2)引入倒角半徑R，對柔性支撐桿進(jìn)行研究，其1階屈曲載荷隨R值的增加而增加，利于實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)。

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(編輯 李秀敏)

Precision Positioning Platform Flexible Support Bar Buckling Analysis

WU Jian-Jun, WANG Hui, OUYANG Dan, LI Nan, LIAO Tai-jian

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou Jiangxi 341000, China)

Precision positioning platform for engineering mechanical key structure is common in the structural design of flexible support bar buckling instability problems. First based on Rayleigh Ritz energy variation method, the calculation precision support through building the mathematical model of precision positioning platform flexible support bar buckling critical load and finite element Block Lanczos method for the 1 order before buckling load and buckling mode is compared, the results show that the theoretical value and experimental value deviation is not more than 0.26%, and verified the Rayleigh Ritz energy variation method based on the accuracy of the model. Finally the parameters study on flexible support bar, seeing an inverse proportion in length thanL/landthebucklingcriticalload,thandiameterD/dlessthan1.5influenceonbucklingcriticalloadisbigger,chamferingradiusRandthebucklingcriticalloadisrelated,forthedesignofthepositioningplatformflexiblesupportbarprovidesnewtrainofthought.

flexible support bar; buckling critical load; finite element analysis; reliability

1001-2265(2017)06-0026-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.06.007

2017-01-12；

2017-01-20

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51365015，51665017)；江西省科技廳科技項(xiàng)目(20142BBE50058，20161BBE80041)

伍建軍(1974—)，男，四川南充人，江西理工大學(xué)副教授，博士，研究方向?yàn)楣I(yè)工程、質(zhì)量與可靠性研究，(E-mail)391485400@qq.com；通訊作者:汪輝(1993—)，男，江西景德鎮(zhèn)人，江西理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)橘|(zhì)量與可靠性，(E-mail)2469046602@qq.om。

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