趙大興，明廷伯，余金舫，高 博

(湖北工業(yè)大學 機械工程學院，武漢 430068)

?

擺線針輪傳動中擺線輪齒廓修形技術(shù)研究*

趙大興，明廷伯，余金舫，高 博

(湖北工業(yè)大學 機械工程學院，武漢 430068)

為確定不同傳動要求的擺線針輪傳動機構(gòu)中擺線輪齒廓修形方式及最佳的優(yōu)化算法，首先對擺線針輪傳動中擺線輪齒廓應用最多的“正等距+負移距”和“負等距+正移距”兩種組合修形方式進行了分析計算，得到了兩種組合修形方式引起的回差大小及修形后擺線輪嚙合受力的優(yōu)劣，確定了不同傳動要求的擺線針輪傳動機構(gòu)優(yōu)先適用的修形方式；對擺線輪齒廓優(yōu)化算法進行了對比研究，針對“正等距+負移距”組合修形方式確定了優(yōu)先選用的優(yōu)化算法；對采用“負等距+正移距”組合修形方式，提出了一種改進的優(yōu)化算法，將該算法與現(xiàn)有的優(yōu)化算法進行對比分析，根據(jù)實際的裝配精度確定了應優(yōu)先選擇的優(yōu)化算法。

擺線針輪；修形；優(yōu)化；對比

0 引言

擺線針輪行星傳動因具有傳動比大，承載能力高，結(jié)構(gòu)緊湊，傳動效率高等優(yōu)點，被廣泛應用于各類傳動機構(gòu)中，如擺線液壓馬達，單級減速雙軸型臥式BW型擺線針輪減速器，F(xiàn)A型擺線針輪減速器及機器人用高精度RV(Rotate Vector)減速器都運用到擺線針輪傳動。標準的擺線針輪傳動，擺線輪與針輪之間屬于無側(cè)隙嚙合傳動，而實際上由于制造誤差和裝配誤差的存在，同時為了裝拆方便和保證一定側(cè)隙便于潤滑，必須對擺線輪齒廓進行合理的修形[1]。因為不同類型的擺線針輪減速機工作要求不盡相同，如BW型減速器對輪齒受力要求比回差高，而RV減速器對回差要求相對于擺線輪齒受力要高。因此確定不同類型的擺線針輪減速器中擺線輪齒廓的修形方式以及最優(yōu)的修形量也就顯得尤為重要。

目前，對于擺線輪齒廓修形工藝和修形量的優(yōu)化研究的比較深入。在修形工藝方面，李力行[2]介紹了擺線輪三種最基本的修形方式：移距修形，等距修形和轉(zhuǎn)角修形。對修形后的擺線輪與針輪嚙合作用力進行分析與計算。何衛(wèi)東[3]等人針對擺線輪修形對回差的影響進行了研究，確定了組合修形方式產(chǎn)生的回差。關天民[4]對不同組合修形方式產(chǎn)生的回轉(zhuǎn)角進行了計算分析，對不同組合修形方式適用不同傳動要求進行了說明。以上學者雖研究了組合修形后的擺線輪產(chǎn)生的回差及受力特性，但是對不同組合修形方式的優(yōu)劣沒有進行相關的計算來進行對比說明。在修形量的優(yōu)化方面，關天民[5]對采用“正等距+負移距”組合修形方式獲得最佳修形齒廓進行了探討，推導出了擺線輪最佳修形量的計算公式；焦文瑞[6]通過逼近轉(zhuǎn)角修形齒廓法向變動量曲線，利用MATLAB優(yōu)化工具箱搜尋出了“正等距+負移距”的最佳修形量；針對采用“負等距+正移距”組合修形方式的修形量確定，關天民[7]給出了滿足回轉(zhuǎn)角為0的最佳等距和移距修形量的計算公式。以上學者提出的優(yōu)化算法由于采用的優(yōu)化目標不同，優(yōu)化得到的結(jié)果也不盡相同，優(yōu)化算法之間缺少對比研究。

本文針對上述存在的問題，對分別采用“正等距+負移距”和“負等距+正移距”兩種組合修形方式產(chǎn)生的回差和擺線輪受力進行了計算，分析了上述兩種組合修形方式的優(yōu)劣及優(yōu)先適用的傳動要求；對當前不同的優(yōu)化算法進行了對比研究，確定了不同組合修形方式下相對最優(yōu)算法。

1 理論基礎

1.1 擺線輪修形方式

擺線輪修形方式有以下三種[8]：

(1)等距修形：修磨擺線輪時，將磨輪半徑由rrp增加或減少Δrrp，磨出的擺線輪齒廓是標準齒廓的法向等距曲線，規(guī)定磨輪半徑增加為正，減小為負。

(2)移距修形：修磨擺線輪時，磨輪相對于工作臺中心移動一個距離Δrp，使標準的針齒中心圓半徑rp發(fā)生改變，規(guī)定針齒中心圓半徑增加為負，減少為正。

(3)轉(zhuǎn)角修形：修磨擺線輪時，磨輪相對于標準位置，沿擺線輪齒厚方向有一個轉(zhuǎn)角Δθ。

由于轉(zhuǎn)角修形不能在齒根和齒頂處產(chǎn)生間隙，所以轉(zhuǎn)角修形一般不單獨采用，但是經(jīng)過轉(zhuǎn)角修形后的擺線輪齒廓與標準的擺線輪齒廓是共軛的，所以經(jīng)過轉(zhuǎn)角修形后的擺線輪齒廓與標準針輪傳動可以保持傳動比的穩(wěn)定及良好的齒面受力。等距與移距的組合修形方式修磨出的擺線輪在主要工作區(qū)可以近似與標準齒廓共軛，而在齒根和齒頂處有一定的嚙合間隙，所以等距+移距組合修形在擺線輪修形中應用最廣，且實際運用最多的是“正等距+負移距”和“負等距+正等距”組合修形方式。

1.2 修形擺線輪齒廓參數(shù)方程

由擺線輪齒廓成形及修形方式原理，可以得到包括三種齒廓修形的擺線輪齒廓參數(shù)方程如式(1)所示[9]：

(1)

式中：

θ：轉(zhuǎn)臂相對于針輪的轉(zhuǎn)角

rp：針輪分布圓半徑

rrp：針輪半徑

zp：針輪齒數(shù)

zc：擺線輪齒數(shù)

A：偏心距

K1=zpA/(rp-Δrp)

1.3 組合修形引起的回差

經(jīng)過組合修形后的擺線輪在齒廓的公法線方向與針輪存在著間隙，此時的擺線輪在與標準的針輪傳動時會產(chǎn)生回差，回差的大小可按式(2)計算[3]：

Δφ=2(φy+φd)

(2)

其中：

φd=Δrrp/(A·zc)

1.4 修形擺線輪傳動受力計算

修形后的擺線輪與針輪傳動時，不再屬于無側(cè)隙傳動，此時只有一對齒最先接觸，其余的針輪與擺線輪之間存在一定的間隙Δφi，傳遞轉(zhuǎn)矩時，擺線輪余針輪齒接觸會產(chǎn)生相應的變形δi，只有變形量δi大于該位置初始間隙Δφi的各齒參與嚙合。記參與嚙合的針齒號為m～n；設最先接觸的針齒(受力也最大)所受力為Fb，所受的變形為δmax，傳遞的轉(zhuǎn)矩為Tc，其余各個位置的擺線針輪副傳動力臂為Li，受力為Fbi，其中Fbi與Fb的關系如式(3)所示[11]：

(3)

由力矩平衡可得Fb與δmax兩者的關系如式(4)所示：

(4)

忽略影響較小的針齒銷彎曲變形，則總的變形量即為接觸變形，也即δmax=wmax，而總的變形量與Fb的關系如式(5)所示：

(5)

式中：μ為泊松比，為最先接觸點處的擺線輪齒廓曲率半徑，c為計算ρ系數(shù)；

由上述求解過程，在MATLAB中編寫了求解最大接觸力Fb的的流程圖如圖1所示。將求得的最大接觸力帶入到公式(3)中可以得到各個擺線針輪嚙合副之間的受力。

圖1 修形擺線輪最大接觸力求解圖

2 擺線輪修形方式選擇

對于一般的擺線針輪傳動機構(gòu)，如擺線液壓馬達，BW擺線針輪減速器要求齒面受力要好，而對于回差的要求不高；對于高精度減速器如RV減速器，對回差的要求很高[8]，對RV減速器間隙回差根據(jù)減速器大小不同不能超過1′～1.5′，加載后包括彈性變形在內(nèi)的總回差不能超過6′。因此，擺線輪修形方式應根據(jù)擺線針輪減速器的傳動要求來選擇。

以RV320減速器為樣機，討論分別采用“正等距+負移距”和“負等距+正移距”修形方式，擺線輪與針輪的回差及傳動受力大小，其中RV320減速器的基本參數(shù)見表1。

取齒頂和齒根處徑向間隙為Δ=0.03mm，即Δrrp+Δrp=0.03mm，初選文獻[7]所提供的確定最佳修形量的方法，可以分別求出當選擇“正等距+負移距”和“負等距+正移距”組合修形時的最佳修形量及回差。計算結(jié)果見表2。

表2 最佳修形量及回差

由表2可知，采用“正等距+負移距”的組合修形方式引起的回差要比“負等距+正移距”大，后者可以滿足最小回差為0的條件。將修形量等參數(shù)帶入到MATLAB編好的包含三種修形方式的擺線輪齒廓參數(shù)方程和擺線輪受力的迭代程序中，可以得到修形后擺線輪的齒廓曲線圖以及擺線輪與針輪在受載時共同嚙合的齒數(shù)及各齒所受的力，結(jié)果分別如圖2和圖3所示。

圖2 不同組合修形齒廓對比圖

圖3 修形擺線輪傳動受力圖

由圖2可知采用“負等距+正移距”組合修形方式的擺線輪齒廓更接近標準齒廓，也印證了其產(chǎn)生的回差較“正等距+負移距”組合修形方式?。欢捎谩罢染?負移距”組合修形方式的擺線輪齒廓與經(jīng)轉(zhuǎn)角修形后擺線輪齒廓之間法向距離相對于“負等距+正移距”組合修形方式更均勻，因此，修形后的擺線輪在與針輪嚙合時傳動應更平穩(wěn)，受力更好。

由圖3可知，當采用“正等距+負移距”組合修形時，在受載時，擺線針輪之間有14個輪齒共同參與嚙合，擺線輪齒所受最大的力約為2500N，且輪齒受力變化平滑，各齒受力均衡；而采用“負等距+正移距”組合修形時，在受載時，擺線針輪之間只有10個輪齒參與嚙合，擺線輪齒所受的最大力約為3500N，且其余各齒所受力變化較大，各齒受力不均衡。

綜上可知，在徑向間隙都相同的前提下，經(jīng)過“正等距+負移距”組合修形方式后的擺線輪在與標準的針輪嚙合時，同時嚙合的齒數(shù)較多，且輪齒受力相對均衡，但引起的回差也較大；而經(jīng)過“負等距+正移距”組合修形的擺線輪在與標準的針輪嚙合時，擺線針輪傳動的回差可以控制到很小，但是在與針輪傳動時共同嚙合的齒數(shù)較少，且輪齒受力相對來說較差。因此，對擺線液壓馬達和一般的BW型擺線針輪減速器應優(yōu)先選擇“正等距+負移距”組合修形方式；對高精度的RV減速器，而應優(yōu)先選擇“負等距+正移距”的組合修形方式。

3 擺線輪齒廓優(yōu)化

針對采用“正等距+負移距”組合修形方式的擺線輪齒廓的優(yōu)化，文獻[5]和文獻[6]選擇不同的優(yōu)化目標得到了對應的最佳修形量，為了敘述方便，將文獻[5]中的算法稱為算法1，將文獻[6]中的優(yōu)化算法稱為算法2；而針對采用“負等距+正移距”組合修形方式的擺線輪，文獻[7]給出了滿足回差角為0的最佳等距和移距修形量，在本文，提出了另一種基于齒廓法向變動量最小的改進優(yōu)化算法，同樣為了敘述方便，將本文所提出的改進算法稱為算法3，文獻[7]中的算法稱為算法4。

3.1 正等距+負移距修形齒廓優(yōu)化算法對比

算法1選擇的優(yōu)化目標為：在保證合理的徑向間隙的前提下，等距和移距組合修形加工后所產(chǎn)生的擺線輪齒廓和針齒嚙合時所產(chǎn)生的的初始間隙最小。依據(jù)此優(yōu)化目標求得的“正等距+負移距”最佳齒廓修形量分別為：

(6)

(7)

(8)

約束條件為：x1≥0,x2≤0,x1+x2≥0。

考慮到“正等距+負移距”組合修形適用回差要求不高的傳動中，且為了計算方便，選定轉(zhuǎn)角修形量Δθ=0.0005rad，n+1=500，在MATLAB中編寫算法2的優(yōu)化算法程序，得到最優(yōu)的等距和移距修形量，由等距和移距修形量可以得到此時的徑向間隙，將此徑向間隙帶入到算法1的公式中，得到算法1對應的等距和移距修形量。計算結(jié)果如表3所示。

表3 算法1和2優(yōu)化修形量

將得到的最優(yōu)修形量和給定的轉(zhuǎn)角修形量帶入齒廓參數(shù)方程中，同樣可以在MATLAB中繪制出此時的擺線輪齒廓的曲線圖如圖4所示，同理可以得到此時各個齒所受的接觸力如圖5所示。

圖4 算法1和2優(yōu)化后的擺線輪齒廓對比圖

圖5 算法1和2優(yōu)化后的擺線輪傳動受力圖

從圖4可知，在保證相同的徑向間隙的前提下，算法2優(yōu)化后的齒廓相比于算法1更逼近轉(zhuǎn)角修形后的共軛齒廓；由圖5可知，算法2優(yōu)化后的擺線輪與針輪嚙合時，共同嚙合的齒數(shù)為17對，而經(jīng)過算法1優(yōu)化后的擺線輪與針輪嚙合傳動時共同嚙合的齒數(shù)為15對；算法1優(yōu)化后的擺線輪所受的最大力約為2400N，算法2優(yōu)化后的擺線輪所受最大力約為2000N，且各齒的受力變化較算法1平滑。綜上，算法2優(yōu)化后的擺線輪在傳動時受力較算法1好，所以當采用“正等距+負移距”組合修形方式時，應優(yōu)先選擇算法2。

3.2 負等距+正移距修形齒廓優(yōu)化算法對比

(9)

約束條件為：x1≤0，x2≥0，x1+x2≥0，x1+x2-Δ=0。

算法4給出了滿足回差角為0的最佳等距及移距修形量如式(10)和式(11)所示：

(10)

(11)

同樣以RV320減速機為例，為了滿足小回差要求，選取n+1=500，徑向間隙Δ1=0.005mm，Δθ=-0.0001rad，利用MATLAB優(yōu)化工具箱可以求得算法3和算法4優(yōu)化的等距及移距修形量如表4所示。

表4 算法3和4優(yōu)化修形量

由此時的優(yōu)化修形量可以分別得到二種優(yōu)化算法的齒廓曲線圖如圖6所示。

圖6 算法3和4優(yōu)化后的擺線輪齒廓對比圖

由圖6可知，在保證齒根齒頂處徑向間隙相同的情況下，經(jīng)過算法3優(yōu)化后的擺線輪齒廓超出標準齒廓且在主要工作段與之存在一定的法線間隙；經(jīng)過算法4優(yōu)化后的擺線輪齒廓沒有超出標準齒廓，在主要工作段同樣與之存在一定的法線間隙。所以在實際裝配過程中，當其他零件配合產(chǎn)生的側(cè)隙超過需要的間隙時，算法3優(yōu)化后的齒廓可以減少這一間隙，減少傳動回差；同理，當其他零件配合產(chǎn)生的側(cè)隙較小時，此時擺線輪齒廓優(yōu)化算法應優(yōu)先選用算法4。當采用“負等距+正移距”的組合修形時，根據(jù)實際裝配情況，合理的選擇上述兩種算法。

4 結(jié)論

本文針對擺線針輪傳動中擺線輪應用最多的“正等距+負移距”和“負等距+正移距”組合修形方式進行了分析計算，且對兩種組合修形方式下的擺線輪齒廓優(yōu)化算法進行了對比分析，得到了如下的結(jié)論：

(1)在相同徑向間隙的前提下，“正等距+負移距”組合修形方式較“負等距+正移距”修形方式可以獲得更好的輪齒受力，而后者可以獲得比前者更小的回差。所以對回差要求不高的一般擺線針輪傳動機構(gòu)應優(yōu)先選擇“正等距+負移距”組合修形方式，對回差要求較高的高精度RV減速器應優(yōu)先選擇“負等距+正移距”組合修形方式。

(2)對于“正等距+負移距”組合修形方式的最佳修形量的確定，用基于逼近轉(zhuǎn)角修形齒廓的優(yōu)化算法獲取的修形量，比用在確定合理間隙的條件下，嚙合側(cè)隙最小得到的優(yōu)化修形量，所得到的輪齒受力更好。當采用“正等距+負等距”組合修形方式時，應優(yōu)先選擇算法2。

(3)對于“負等距+正移距”組合修形，用算法4和本文提供的算法3求解的等距和移距修形量所引起的回差都能夠滿足回差要求；在實際裝配過程中，若由其他零件裝配產(chǎn)生的側(cè)隙過大，此時應優(yōu)先選擇算法3。當零件裝配產(chǎn)生的側(cè)隙滿足要求時，此時應優(yōu)先選用算法4。

[1] 關天民, 張東生. 擺線針輪行星傳動中反弓齒廓研究及其優(yōu)化設計[J]. 機械工程學報, 2005, 41(1):151-156.

[2] 李力行. 擺線針輪行星傳動的齒形修正及受力分析[J]. 大連交通大學學報, 1984, 22(4):32-43.

[3] 何衛(wèi)東, 李欣. 機器人用高精度RV傳動中擺線輪修形對回差影響的研究[J]. 機械傳動, 1999(1):24-25.

[4] 關天民. FA型擺線針輪行星傳動齒形優(yōu)化方法與相關理論的研究[D]. 大連:大連交通大學, 2005.

[5] 關天民. 擺線針輪行星傳動中擺線輪最佳修形量的確定方法[J]. 中國機械工程, 2002, 13(10):811-814.

[6] 焦文瑞, 孔慶華, 宋德朝,等. 擺線輪齒廓修形的優(yōu)化設計[J]. 機械傳動, 2009, 33(1):41-43.

[7] 關天民. 擺線針輪行星傳動中修形所產(chǎn)生的回轉(zhuǎn)誤差計算與分析[J]. 組合機床與自動化加工技術(shù), 2001(10):15-18.

[8] 徐灝. 機械設計手冊[M]. 北京:機械工業(yè)出版社, 2000.

[9] 焦文瑞, 孔慶華, 宋德朝,等. 擺線針輪修形齒廓數(shù)學模型的建立與仿真[J]. 機械設計, 2008, 25(11):12-14.

[10] 趙錚. 工業(yè)機器人減速器RV320的修形參數(shù)優(yōu)化與工藝性研究[D]. 天津:天津大學, 2013.

[11] 關天民, 張東生, 雷蕾. FA新型擺線針輪行星傳動受力分析方法與齒面接觸狀態(tài)有限元分析[J]. 機械設計, 2005, 22(3):31-34.

[12] 趙博. RV減速器擺線輪修形技術(shù)與數(shù)控成形磨齒機設計[D]. 洛陽:河南科技大學, 2015.

[13] Wang J, Gu J, Yan Y. Study on the Relationship Between the Stiffness of RV Reducer and the Profile Modification Method of Cycloid-pin Wheel[A]. Intelligent Robotics and Applications[C]. Springer International Publishing, 2016.

[14] 張躍明, 耿紀玲, 紀姝婷,等. RV減速器中擺線輪齒形優(yōu)化修形與參數(shù)化設計[J]. 組合機床與自動化加工技術(shù), 2016(3):25-28.

[15] 陳振宇. RV減速器的誤差建模與擺線齒廓修形[D]. 天津：天津大學, 2014.

(編輯 李秀敏)

Study on Profile Modification of Cycloidal Gear in Cycloid-pin Gear Transmission

ZHAO Da-xing,MING Ting-bo,YU Jin-fang,GAO Bo

(School of Mechanical Engineering ，Hubei University of Technology，Wuhan 430068，China)

In order to determine the cycloid gear profile modification method and the optimal algorithm of the cycloid-pin gear transmission mechanism of different transmission requirements,the properties of two main combined profile modification methods,“positive isometric + negative shift ”and “negative isometric+ positive shift”,are analyzed and calculated firstly.After the analysis and calculation the backlash and the meshing force of cycloidal gear are obtained.Based on the obtained result,the most suitable modification method of cycloid-pin gear reducer with different transmission requirements is recommended. Then,comparative study on the optimization algorithms of cycloidal profile is operated, and the suitable optimization algorithms of “positive isometric + negative shift ”combined profile modification are determined.Besides,the paper proposes a improved optimization algorithms which applies to “negative isometric + positive shift”combined profile modification and the algorithm are compared with the other algorithm,and the optimal algorithm is determined according to the actual assembly accuracy.

cycloid-pin gear；profile modification；optimization；comparison

1001-2265(2017)06-0045-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.06.012

2017-01-06；

2017-02-10

湖北省技術(shù)創(chuàng)新專項(2016AAA068)

趙大興(1962—)，男，武漢人，湖北工業(yè)大學教授，博士，研究方向為機械設計、機器視覺檢測與質(zhì)量評價，(E-mail)1982764233@qq.com。

TH132;TG65

A