余金寶，范元勛

(南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引言

諧波傳動的雙圓弧齒形是由Ishikawa提出[1]，這種齒形既可實現(xiàn)剛?cè)彷唶Ш蠀^(qū)的持續(xù)接觸，又增加了嚙合齒對數(shù)[2]，降低了齒根處的應(yīng)力同時提高了承載能力[3]，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用。在設(shè)計雙圓弧柔輪和剛輪齒廓的過程中，應(yīng)在保證柔輪具有高強度的條件下，先設(shè)計柔輪的凸齒廓和凹齒廓；再求出二者的理論共軛齒廓；最后調(diào)整柔輪的齒廓參數(shù)，使得柔輪齒廓與理論共軛齒廓的圓弧段共軛區(qū)域達到最大[4]。

本文從柔輪基本齒廓坐標系出發(fā)，用分段函數(shù)來表示柔輪齒廓，再代入共軛方程表達式求解柔輪的理論共軛齒廓，最后對柔輪的齒廓參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計，使共軛區(qū)域最大化，提高雙圓弧諧波傳動的承載能力，為以后諧波齒輪傳動的優(yōu)化設(shè)計提供參考。

1 齒形建模

雖然剛?cè)彷喸谶\動周期內(nèi)某一時刻的嚙合狀態(tài)不同，但是嚙合齒對在整個齒圈上的運動性質(zhì)相同。因此可以將整個齒圈嚙合齒的研究簡化為某一個嚙合齒對的研究[5]。

1.1 柔輪齒廓坐標系和參數(shù)模型

柔輪齒廓坐標系如圖1所示。

圖1 柔輪齒廓坐標系

由圖得，齒廓坐標系xoy的x軸與齒根高線重合，y軸與齒廓的對稱線重合，三條線段的坐標方程分別為[6]：

AB段凸圓弧齒廓坐標方程:

由柔輪齒厚與齒槽寬的比值(齒厚比K，通常取K=1)確定節(jié)線點M的位置，過M點作相對y軸逆時針旋轉(zhuǎn)α角度的直線L1，過坐標原點作與x軸夾角為α的直線L2，兩條直線相交于點B，則柔輪齒頂圓與凸圓弧段的交點及B點的坐標分別為：

(1)

(2)

凸圓弧圓心O1坐標為：

(xo1,yo1)=(xj-Racosα,yj-Rasinα)

(3)

凸圓弧的坐標方程：

(4)

BC段切線齒廓坐標方程：

B、C點是關(guān)于M的對稱點，坐標如下：

(5)

M點坐標已知，切線斜率已知，則直線段坐標方程為：

(6)

CD段凹圓弧齒廓坐標方程：

D點坐標為凹圓弧段與柔輪齒根圓的交點，坐標如下：

(7)

凹圓弧圓心O2坐標為：

(xo2,yo2)=(xC+Rfcosα,yC+Rfsinα)

(8)

凹圓弧齒廓坐標方程為：

(9)

1.2 共軛齒廓坐標系及表達式

描述剛?cè)彷喯鄬ξ恢玫淖鴺讼迪到y(tǒng)如圖2所示。

圖2 剛?cè)彷喯鄬ξ恢米鴺讼?/p>

(xR,yR)為柔輪齒廓坐標系上的任意點，相對應(yīng)的共軛齒廓上的點為(xG,yG)可按下式求得[7]：

(10)

變換矩陣相應(yīng)的參數(shù)可由下式求出：

(11)

φ—波發(fā)生器轉(zhuǎn)角；ω—柔輪中性線徑向變形函數(shù)；ν—柔輪中性線切向變形函數(shù)；U—波發(fā)生器波數(shù)；Zr—柔輪齒數(shù)，U/Zr為廣義傳動比；rm—柔輪未變形前中性線半徑；γ—柔輪轉(zhuǎn)角；Φ—波發(fā)生器轉(zhuǎn)動時，柔輪坐標系相對于剛輪坐標系的轉(zhuǎn)動角度；ρ—柔輪變性后中性線的極半徑；μ—波發(fā)生器轉(zhuǎn)動時，柔輪輪齒偏轉(zhuǎn)角度。

進行理論共軛齒廓求解時一般要作如下簡化和假設(shè)[8]：

(1)柔輪的變形嚴格遵循理論變形曲線；

(2)柔輪中性線不隨著柔輪的變形伸長；

(3)柔輪的齒形不會隨著柔輪變形改變；

(4)柔輪變形后的理論截面依然是平面。

將柔輪的三段齒廓坐標方程式(4)、式(6)、式(9)和式(11)代入到式(10)中，共軛齒廓坐標方程由柔輪坐標系的x值和波發(fā)生器轉(zhuǎn)角φ兩個參數(shù)表示，包絡(luò)條件方程表達式如下：

(12)

將柔輪的齒廓方程離散為n段，對于每一段i都相對應(yīng)一個齒廓坐標參數(shù)x。根據(jù)式(12)，在波發(fā)生器轉(zhuǎn)動的一個周期內(nèi)，都有與x值對應(yīng)的轉(zhuǎn)角φ，φ值所構(gòu)成的解集范圍就是柔輪齒廓的共軛區(qū)間，對應(yīng)的剛輪齒廓就是理論共軛齒廓。

2 齒形求解

本例波發(fā)生器采用雙波傳動，變形規(guī)律為余弦函數(shù)，模數(shù)m=0.45，全齒高h=1.8m，柔輪齒數(shù)Zr=160，剛輪齒數(shù)Zg=162，具體齒廓參數(shù)如表2所示。

表2 齒廓參數(shù)

利用上一章的共軛齒廓求解方法，得到的共軛區(qū)間及各段共軛齒廓如圖3、圖4所示。

圖3 共軛區(qū)域

圖4 理論共軛齒廓

由圖3、圖4可得，柔輪的三段齒廓分別對應(yīng)兩段理論共軛齒廓，凸圓弧齒廓對應(yīng)1、2段理論共軛齒廓；直線段齒廓對應(yīng)3、4段理論共軛齒廓；凹圓弧齒廓對應(yīng)5、6段理論共軛齒廓。

剛輪的理論齒廓由分段理論共軛齒廓組成。根據(jù)圖4，如果含有齒廓4、5、6，則會導(dǎo)致柔輪凸圓弧齒廓在與理論共軛齒廓2嚙合時，發(fā)生嚙合干涉，因此剛輪齒廓只能由齒廓1、3、2構(gòu)成。所以，共軛關(guān)系只發(fā)生在圖3中共軛區(qū)域I中的1、2段和共軛區(qū)域II中的3段，柔輪凸圓弧段齒廓發(fā)生兩次共軛運動，直線段發(fā)生一次共軛運動，凹齒廓不發(fā)生共軛運動。

又由圖4可以看出，齒廓2與齒廓5之間的差異很小，若使二者一致，剛輪齒廓包含理論共軛齒廓5，在整個嚙合區(qū)域I內(nèi)，柔輪的3段齒廓都會發(fā)生共軛運動并且會出現(xiàn)凹齒廓與直線段、凹齒廓與凸齒廓同時發(fā)生共軛運動的“雙共軛”現(xiàn)象，這對提高諧波傳動的承載能力有著重要作用[9]。本文提出一種優(yōu)化方法來縮小2齒廓與5齒廓間的差異，使二者盡量一致，實現(xiàn)嚙合區(qū)域內(nèi) “雙共軛”區(qū)間的最大化。

3 齒廓參數(shù)優(yōu)化設(shè)計

3.1 建立數(shù)學(xué)模型

齒廓2和齒廓5分別為兩條線段，可以將其離散為n個點，通過對比各點的差異來衡量曲線的差異[10]。令兩條曲線分別由函數(shù)s1(x)和s2(x)表示，基于離散點的齒廓函數(shù)向量表達式為：

(13)

根據(jù)第一章的柔輪齒廓函數(shù)坐標方程，若保持柔輪齒廓直線段的齒廓方程不變，則函數(shù)值s1(xi)和s2(xi)只與凸圓弧半徑Ra和凹圓弧半徑Rf有關(guān)。令函數(shù)D(Ra,Rf)=‖S1-S2‖,即向量S1和S2的距離來表示2齒廓的一致性。齒廓2和齒廓5的向量長度不同，離散點x1，x2，···xn的取值范圍應(yīng)為二者的公共區(qū)域。

本次優(yōu)化設(shè)計變量為柔輪齒廓凸圓弧半徑Ra和凹圓弧半徑Rf，取離散點的個數(shù)n=50，以函數(shù)D(Ra,Rf) 最小為目標，使齒廓2和齒廓5的一致性達到最佳。

3.2 單變量分析

先保證柔輪齒廓凸圓弧段半徑Ra=0.72mm不變，改變凹圓弧段半徑值Rf，研究Rf對齒廓2和5之間差異的影響。選取Rf∈[0.576,0.864]進行計算，計算結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同Rf下的齒廓5

由圖5可知，當(dāng)凹圓弧齒廓半徑Rf=0.648mm時，齒廓2和5差異最小，Rf大于0.648mm或者小于0.648mm時，二者差異增大，所以將Rf的計算區(qū)間縮小為[0.576,0.72]。2齒廓差異基于向量函數(shù)D(Rf)的變化規(guī)律如圖6所示。

圖6 函數(shù)D(Rf)變化規(guī)律

根據(jù)圖6顯示的函數(shù)D變化規(guī)律，在Rf=0.648mm時函數(shù)值為最小，大于或小于0.648mm時函數(shù)值增加，這與圖5中的2和5齒廓差異變化規(guī)律相吻合。

研究凸齒廓圓弧半徑對2齒廓差異的影響規(guī)律時，先取凹齒廓優(yōu)化區(qū)間的臨界值和中間值，即{0.576，0.648，0.72}，計算結(jié)果如圖7所示。

(a) Rf=0.564對應(yīng)區(qū)間的齒廓2

(b) Rf=0.648對應(yīng)區(qū)間的齒廓2

(c) Rf=0.72對應(yīng)區(qū)間的齒廓2 圖7 單參數(shù)變化的齒廓2曲線族

根據(jù)計算結(jié)果可以確定Rf=0.564mm時，凸齒廓半徑的優(yōu)化區(qū)間為[0.72,0.855]，同理，Rf=0.648mm和Rf=0.72mm對應(yīng)的凸齒廓半徑的優(yōu)化區(qū)間為[0.675,0.81]和[0.54,0.675]，所以經(jīng)計算后確定凸齒廓半徑的優(yōu)化區(qū)間為[0.54,0.855]。對函數(shù)D(Ra)在優(yōu)化區(qū)間內(nèi)進行更細化求解，以得到最優(yōu)值，圖8為在給定的3個凹齒廓半徑下，函數(shù)D(Ra)在優(yōu)化區(qū)間內(nèi)隨著Ra的變化曲線。

圖8 函數(shù)D(Ra)的變化曲線

由圖8可得，凹圓弧半徑Rf=0.564mm、Rf=0.648mm和Rf=0.72mm時，在凸圓弧優(yōu)化區(qū)間內(nèi)，當(dāng)Ra=0.765mm、Ra=0.81mm及Ra=0.63mm時，函數(shù)D(Ra)達到最小。因此，對于不同的凸齒廓和凹齒廓的半徑組合，都能在所確定的優(yōu)化區(qū)間內(nèi)使函數(shù)D(Ra,Rf)達到最小。

根據(jù)以上的單變量分析可得，向量函數(shù)D(Ra,Rf)可以表征齒廓2和齒廓5之間的差異，衡量二者的一致性。在固定一個變量的情況下，可以通過改變另一變量使函數(shù)D達到最小，但是函數(shù)D的值往往是兩個變量共同作用的結(jié)果。因此，需要進行多變量優(yōu)化設(shè)計，使函數(shù)D(Ra,Rf)達到最優(yōu)。

3.3 多變量優(yōu)化設(shè)計

根據(jù)上一節(jié)確定的凸齒廓和凹齒廓的半徑優(yōu)化區(qū)間，將兩個變量在各自的區(qū)間取11和15個離散值，計算D(Ra,Rf)在165對變量組合下的函數(shù)值，得到最優(yōu)值如下：

Dmin(Ra,Rf)=D(0.6975,0.6768)=0.0238mm

在此最優(yōu)值下，齒廓2和齒廓5的差異可由離散點s(xi)的平均差和最大差來衡量，具體如下：

max|s1(Δxi)-s2(Δxi)|=5.1×10-3mm

average|s1(Δxi)-s2(Δxi)|=2.99×10-3mm

在實際的工程應(yīng)用中，此種精度下的齒廓可以認為一致。因此，本次多參數(shù)優(yōu)化設(shè)計可以縮小齒廓2和齒廓5之間的差異，增大剛?cè)彷唶Ш蠒r的“雙共軛”區(qū)域，提高諧波齒輪傳動的承載能力和傳動精度。

4 結(jié)論

根據(jù)剛?cè)彷唶Ш蠒r的運動規(guī)律及包絡(luò)條件方程，進行柔輪齒廓的理論共軛齒廓求解，建立向量距離函數(shù)D(Ra,Rf)，研究結(jié)果表明該函數(shù)可以衡量兩個齒廓的一致性。

進行目標函數(shù)D(Ra,Rf)的雙參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，使函數(shù)D(Ra,Rf)最小，增大剛?cè)彷唶Ш蠒r的“雙共軛”區(qū)域，提高諧波傳動的承載能力和剛度。

雖然改變凸齒廓和凹齒廓的半徑參數(shù)可以使共軛區(qū)域增加，但是此種方法的工藝性有待進一步研究。