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縱橫聯(lián)系,滲透數(shù)學(xué)思想方法

2017-07-05 01:17:30王丙誠
新高考·教師版 2016年2期
關(guān)鍵詞:反證法數(shù)形分類

王丙誠

新課改以來,廣大數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的目的、思想、方法形成了很多共識(shí),普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí),更重要的是發(fā)展學(xué)生的能力,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。從國家課程設(shè)置來看,語文、數(shù)學(xué)共同作為學(xué)習(xí)其他學(xué)科的兩門基礎(chǔ)學(xué)科是不無道理的。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)不僅在它本身的知識(shí)內(nèi)容上,更在于數(shù)學(xué)思想方法具有極大的普遍性,有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的遷移,從而可以極大地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和學(xué)習(xí)能力。因此,數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中是至關(guān)重要的,對(duì)于中學(xué)生,不管他們將來從事什么工作,唯有深入腦海中的數(shù)學(xué)思想方法將隨時(shí)隨地發(fā)生作用,使他們受益終生。

中學(xué)數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容是由具體的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法組成的有機(jī)整體,現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的編排一般是沿知識(shí)的縱方向展開的,大量的數(shù)學(xué)思想方法只是蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)的體系之中,并沒有明確的揭示和總結(jié)。這樣就產(chǎn)生了如何處理數(shù)學(xué)思想這個(gè)教學(xué)問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,根據(jù)教材內(nèi)容,結(jié)合學(xué)生實(shí)際,適當(dāng)進(jìn)行跨章節(jié)的縱橫聯(lián)系,揭示數(shù)學(xué)思想方法的普遍性是十分重要的。在日常教學(xué)中,我們應(yīng)該在學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)的前提下,有機(jī)地結(jié)合各方面的數(shù)學(xué)知識(shí),有意識(shí)地向?qū)W生滲透如分類、化歸、反證法等數(shù)學(xué)思想方法。本文就根據(jù)初中階段學(xué)生的思維規(guī)律,結(jié)合具體的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容,對(duì)教學(xué)中如何縱橫聯(lián)系相關(guān)知識(shí),滲透數(shù)學(xué)思想方法作一簡單小結(jié)。

一、從初一年級(jí)起,滲透反證法原理

反證法是高中階段常用的證法之一,是逆向思維的具體體現(xiàn)。初中學(xué)生的思維方式是以順向思維為主,他們習(xí)慣于用直接說理的方法去推理、論證數(shù)學(xué)命題,一般無逆向思維的意識(shí)。因此,“反證法”原理及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),我們在平時(shí)課堂教學(xué)中,特別是學(xué)習(xí)概念、定理時(shí),應(yīng)及時(shí)滲透反證法原理,為以后提高數(shù)學(xué)綜合能力打下基礎(chǔ)。反證法原理可從初一年級(jí)就開始滲透。由于初一學(xué)生這一方面能力和意識(shí)十分薄弱,教師要更多地從多問“為什么不……”、“假如不……那么……”等反面設(shè)問入手,幫助學(xué)生反向思考。例如,初一學(xué)生學(xué)完有理數(shù)這一節(jié)內(nèi)容后,數(shù)的范圍已擴(kuò)充到有理數(shù)范圍,除了少數(shù)學(xué)生有可能誤以為0還是最小數(shù),更多的學(xué)生對(duì)“有理數(shù)中是否有最小數(shù)”都能回答“沒有”。這時(shí),教師應(yīng)該抓住機(jī)會(huì)追問,“為什么不能有最小數(shù)?”“假如有理數(shù)有最小數(shù),那應(yīng)該是多少?”用此通俗易懂的實(shí)例讓學(xué)生初步體驗(yàn)到反面說理的思想。只要細(xì)心研究教材,不難發(fā)現(xiàn)這樣的例子在教材中比比皆是。例如:1.兩數(shù)相乘,如果積為0,則這兩數(shù)中必有一個(gè)為0。兩數(shù)都不為0為什么不可以?2.如果兩個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值的和為零,那么這兩個(gè)有理數(shù)一定都是零。如果有一個(gè)不等于0,是否可以?3.三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60。??梢远即笥?0。嗎?等等,不一一列舉。通過經(jīng)常性的反面設(shè)問,使學(xué)生的逆向推理能力得到鍛煉,在較為復(fù)雜的情境中也能較為熟練地運(yùn)用反證法的原理解決問題。

二、代數(shù)幾何交融,滲透數(shù)形結(jié)合思想

初中階段,數(shù)形結(jié)合中的“數(shù)”泛指通常所見的數(shù)、代數(shù)式、方程式、不等式、函數(shù)表達(dá)式、定理的公式等等,它們一般較為抽象?!靶巍笨梢钥闯蓴?shù)軸、函數(shù)的圖象、幾何圖形等,具有形象、直觀的特征。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想可以在抽象思維和形象思維間架起橋梁,使兩者之間相互滲透、相互促進(jìn),更好地完善學(xué)生的思維體系。要使學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想心領(lǐng)神會(huì),掌握數(shù)形結(jié)合的方法,教師應(yīng)立足于課堂,有計(jì)劃地使用數(shù)形結(jié)合的思想解決一些教材中的重點(diǎn)和難點(diǎn),同時(shí),在習(xí)題教學(xué)中要注意滲透數(shù)形結(jié)合的思想解決實(shí)際問題。例如,初一的有理數(shù)運(yùn)算、大小比較,就應(yīng)當(dāng)隨時(shí)借助于數(shù)軸,幫助學(xué)生直觀理解;代數(shù)式運(yùn)算,其中的分配律、乘法公式等,也可以畫出相應(yīng)的圖形;初二教材中的勾股定理的證明就是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的一個(gè)范例,用圖形來證明公式,以形思數(shù),直觀、簡潔、明了,使學(xué)生對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)更深刻和完整;反過來,結(jié)合勾股定理的運(yùn)用,可以把代數(shù)式的運(yùn)算、方程等代數(shù)知識(shí)融入其中,認(rèn)識(shí)勾股定理在周長、面積等度量中的重要應(yīng)用價(jià)值。

數(shù)與形是中學(xué)數(shù)學(xué)研究的兩類基本對(duì)象。相互獨(dú)立,又互相滲透。華羅庚先生說過,“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微”。尤其在坐標(biāo)系建立以后,數(shù)與形的結(jié)合更加緊密。但不應(yīng)把數(shù)形結(jié)合思想局限于函數(shù)、解析幾何,而應(yīng)是處處可以見數(shù)想形,見形想數(shù),讓數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)化為學(xué)生的自覺意識(shí),隨時(shí)應(yīng)用。

三、善于比較歸納,滲透分類思想

人們的思維活動(dòng)一般是從觀察事物開始,形成初步認(rèn)識(shí),再通過比較,歸納出事物的本質(zhì)屬性,從而形成基本概念,對(duì)事物進(jìn)行分類。一般來說,分類就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn),把研究對(duì)象分成幾個(gè)部分,這在數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要。相對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)而言,初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容范圍大,學(xué)習(xí)能力要求高,這在各地中考卷上已有充分體現(xiàn)。中學(xué)生如何利用分類掌握知識(shí)點(diǎn),發(fā)展技能,在具體的試題中考慮分類思想解決問題尤為重要。

首先,教師在教學(xué)過程中要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用比較的方法進(jìn)行分類,例如學(xué)了實(shí)數(shù)后,可以引導(dǎo)學(xué)生從比較有理數(shù)、無理數(shù)的特征或本質(zhì)屬性入手,將數(shù)粗分為有理數(shù)和無理數(shù);繼而細(xì)分有理數(shù),可以引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的正負(fù)性特征比較入手,也可以從判別有理數(shù)是否為分?jǐn)?shù)人手進(jìn)行分類,而不是由教師進(jìn)行包辦代替。其次,教師應(yīng)該在具體的習(xí)題中指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類思想解決實(shí)際問題,在潛移默化中養(yǎng)成分類討論的意識(shí),這是比較困難的,必須長時(shí)間地努力才能有收獲。

四、學(xué)會(huì)縱橫溝通,滲透化歸思想

通常來看,化歸思想就是解決數(shù)學(xué)問題中各知識(shí)點(diǎn)的縱橫聯(lián)系,通過各種變換化未知為已知,化復(fù)雜問題為簡單問題,化非基本問題為基本問題,化不熟悉問題為熟悉的問題或已經(jīng)解決的問題?!盎瘹w思想”也就成了常用的數(shù)學(xué)思想方法之一。

在初中階段,應(yīng)及早滲透這種化歸思想。比如在講解“合并同類項(xiàng)”的法則時(shí),“把同類項(xiàng)的系數(shù)相加,所得的和作為系數(shù),字母和字母的指數(shù)不變”,對(duì)于剛接觸代數(shù)的初一學(xué)生來說,單從課本文字的敘述來理解是比較困難的,若用有理數(shù)的分配律來解釋是很容易理解的。同時(shí)在例題的講解中,也應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生合理地運(yùn)用化歸思想溝通各部分知識(shí)間的橫向聯(lián)系,優(yōu)化解題過程。

化歸是處理數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法,有些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題經(jīng)過巧妙的化歸或轉(zhuǎn)化,往往變得豁然開朗。如利用相反數(shù)將減法化歸為加法,利用倒數(shù)把除法化歸為乘法。再如把二元一次方程組通過代入或加減消元化歸為一元一次方程,應(yīng)用題中將實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)模型,把“一般問題”化歸為“特殊問題”,將幾何問題化歸為代數(shù)問題,等等。以此引導(dǎo)學(xué)生去探求知識(shí),使他們感受到如何把握問題知識(shí)間的縱橫聯(lián)系,化繁為簡,解決問題。

數(shù)學(xué)思想的滲透必須是在數(shù)學(xué)問題的思維分析過程中去實(shí)現(xiàn)。心理學(xué)認(rèn)為:學(xué)習(xí)是認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的組織和重新組織,是把內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)的教材與學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)結(jié)合起來,新舊知識(shí)發(fā)生相互作用,使新材料在學(xué)生頭腦中產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)思想并不是一個(gè)抽象的概念,而是建立在眾多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法這一基礎(chǔ)上的。它具有實(shí)實(shí)在在的基礎(chǔ)和內(nèi)容,同時(shí)又是千千萬萬具體例子的總結(jié)和概括,數(shù)學(xué)思想的滲透必須也只可能在具體知識(shí)的運(yùn)用和聯(lián)系中,在具體數(shù)學(xué)問題的分析與綜合過程中得以體現(xiàn)。

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