朱軍權(quán)

摘 要：“映射理論”是心理學(xué)領(lǐng)域的一種類比遷移理論。在數(shù)學(xué)教學(xué)中借鑒“映射理論”，建構(gòu)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，能夠讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得有益支撐。其中，教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)是基礎(chǔ)，學(xué)生的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)能力是關(guān)鍵，核心素養(yǎng)的提升是指向。教學(xué)中教師要從數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化以及學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)化等方面展開探索，進(jìn)而構(gòu)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的理想大廈。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；映射理論；結(jié)構(gòu)化

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)是指以構(gòu)建學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知心理結(jié)構(gòu)為中心，遵循學(xué)生認(rèn)知心理規(guī)律和知識(shí)發(fā)生規(guī)律，有組織、有系統(tǒng)地安排數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料、程序的一種教學(xué)觀念和方法。作為一種觀念，結(jié)構(gòu)化教學(xué)是基于數(shù)學(xué)知識(shí)整體發(fā)生和發(fā)展的學(xué)習(xí)；作為一種方法，結(jié)構(gòu)化教學(xué)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料結(jié)構(gòu)化、學(xué)習(xí)活動(dòng)結(jié)構(gòu)化等。在研究結(jié)構(gòu)化教學(xué)過程中，“映射理論”為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)提供了新視角和有益的理論支撐。

“映射理論”是心理學(xué)領(lǐng)域問題解決過程中的一種類比遷移理論。該理論由美國教育學(xué)者Gentner提出。在她看來，學(xué)習(xí)中的“類比遷移”是一個(gè)結(jié)構(gòu)映射的過程，“源問題”因素之間的關(guān)系（即結(jié)構(gòu)）被提取，并被運(yùn)用解決“靶問題”?！坝成淅碚摗弊裱瓋蓚€(gè)基本原理：一是“系統(tǒng)性原理”，即“源問題”和“靶問題”只映射關(guān)系，不映射屬性；二是“透明性原理”，即如果對(duì)應(yīng)事物結(jié)構(gòu)清晰，則更容易遷移、類比。

一、“映射理論”對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的啟示

結(jié)構(gòu)是什么？結(jié)構(gòu)是一個(gè)整體、一個(gè)系統(tǒng)、一個(gè)集合，在數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域具有獨(dú)特的意義和價(jià)值。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)教學(xué)不僅包括數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，也包括學(xué)生的學(xué)習(xí)心理結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)等。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)教學(xué)是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的同構(gòu)共生、協(xié)同互動(dòng)?；凇坝成淅碚摗钡囊暯?，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)能夠獲得如下啟示：

1. 數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是基礎(chǔ)

“映射理論”告訴我們，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如果我們掌握了數(shù)學(xué)本體性知識(shí)的結(jié)構(gòu)，就有利于知識(shí)的映射遷移，有利于知識(shí)的保持與記憶。結(jié)構(gòu)體現(xiàn)著知識(shí)的脈絡(luò)，隱含著運(yùn)用的方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要站在數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)的高度，用結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)、結(jié)構(gòu)的視角來研讀教材、處理教材。例如：《因數(shù)和倍數(shù)》《分?jǐn)?shù)的加法和減法》以及六年級(jí)《分?jǐn)?shù)乘法》《分?jǐn)?shù)除法》等知識(shí)，對(duì)于貫穿其中的知識(shí)脈絡(luò)、知識(shí)隱線教師必須了如指掌。唯其如此，教學(xué)才能上下貫通，一氣呵成。

2. 學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維是關(guān)鍵

“映射理論”認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)必須促進(jìn)學(xué)生對(duì)基本圖式的學(xué)習(xí)，圖式學(xué)習(xí)必須至少有兩個(gè)圖式例子，以便于比較和概括。研究表明，知識(shí)結(jié)構(gòu)越清晰越容易歸納形成圖式。因此，教師要提高圖式透明度，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行比較、概括，以便形成主題凸顯的目標(biāo)導(dǎo)向。這其中，學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維能力是關(guān)鍵。例如有學(xué)生在學(xué)習(xí)了《因數(shù)和倍數(shù)》后，對(duì)相關(guān)知識(shí)的內(nèi)容、依據(jù)、作用等進(jìn)行整理，形成了“知識(shí)樹”；學(xué)習(xí)了立體圖形的體積后對(duì)公式進(jìn)行自主概括，形成統(tǒng)一公式等。學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維能力體現(xiàn)在對(duì)知識(shí)的靈活提取與運(yùn)用上。

3.核心素養(yǎng)的提升是指向

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力和必備品格。盡管數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，但它反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)、價(jià)值和取向。結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成。根據(jù)“映射理論”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)類結(jié)構(gòu)知識(shí)的核心素養(yǎng)目標(biāo)，還要關(guān)注每個(gè)單元的核心素養(yǎng)目標(biāo)、每節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)，因?yàn)橄惹暗臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)將會(huì)對(duì)后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生結(jié)構(gòu)映射效應(yīng)。例如教學(xué)《因數(shù)和倍數(shù)》單元知識(shí)，教師就必須站在后續(xù)知識(shí)如“分?jǐn)?shù)加減法”“分?jǐn)?shù)乘除法”等知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)。只有這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)才能前呼后應(yīng)、前延后續(xù)、前承后啟。

二、映射理論在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)中的運(yùn)用

基于映射理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)要從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的視角來展開，讓數(shù)學(xué)知識(shí)相互映襯、深度交融，讓學(xué)生思維相互啟迪、相互作用、協(xié)同認(rèn)知。通過整體架構(gòu)、有機(jī)滲透，將不同的數(shù)學(xué)知識(shí)及其思維運(yùn)作過程融于教學(xué)過程之中，充分發(fā)揮學(xué)科育人功能，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展和提升。

（一）整合設(shè)計(jì)：讓知識(shí)結(jié)構(gòu)化

1. 一體化設(shè)計(jì)，讓知識(shí)元件相互映襯

結(jié)構(gòu)化教學(xué)需要教師在把握教材的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行一體化設(shè)計(jì)。教學(xué)中教師要找出數(shù)學(xué)知識(shí)的主干線，不僅要找到知識(shí)元件，而且要發(fā)現(xiàn)知識(shí)元件的有機(jī)關(guān)聯(lián)。只有抓住了關(guān)聯(lián)，抓抓了清晰的映射結(jié)構(gòu)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)不緊不慢、不急不躁地自然展開。例如小學(xué)數(shù)學(xué)教材第11冊(cè)的《長方體和正方體》單元中的“表面積”內(nèi)容，教材分為兩到三課時(shí)將“完全表面積”（即6個(gè)面的總面積）和“不完全表面積”（即少于6個(gè)面的面積之和）分開教學(xué)。可以看出，這兩課時(shí)結(jié)構(gòu)緊密，無論是方法還是其背后的概念都是一脈相承的，都是建立在對(duì)長方體的特征的認(rèn)識(shí)以及對(duì)展開圖理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的?；诖耍P者在教學(xué)中將這兩個(gè)內(nèi)容統(tǒng)合起來，進(jìn)行一體化教學(xué)設(shè)計(jì)，讓知識(shí)元件相互映襯。實(shí)踐證明，這種建立在數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)本質(zhì)上的整合教學(xué)，擺脫了原有課時(shí)的桎梏。學(xué)生在應(yīng)用時(shí)思路更加清晰，思維更加靈活，方法更加多樣。

2.鏈接式設(shè)計(jì)，讓知識(shí)元素深度交融

借鑒“映射理論”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要找準(zhǔn)相關(guān)知識(shí)“映射點(diǎn)”，對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行鏈接設(shè)計(jì)，讓知識(shí)元素深度交融。在數(shù)學(xué)中，有些內(nèi)容從表面看關(guān)聯(lián)并不明顯，然而深度分析，卻能發(fā)現(xiàn)隱藏其中的綿綿紅線。教師要善于比較、分析，尋找共性，將割裂的知識(shí)鏈接起來。例如“商不變的規(guī)律”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“小數(shù)的性質(zhì)”“比的基本性質(zhì)”等內(nèi)容散落在各個(gè)年級(jí)的各個(gè)單元之中，教學(xué)中教師要瞻前顧后、左顧右盼，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行比較。例如，筆者在教學(xué)《比的基本性質(zhì)》時(shí)，和學(xué)生一起復(fù)習(xí)了“商不變的規(guī)律”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”等相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，引發(fā)了學(xué)生的積極猜想：比的前項(xiàng)和比的后項(xiàng)同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（0除外），比的大小不變。應(yīng)該說，這樣的數(shù)學(xué)猜想已經(jīng)很接近“比的基本性質(zhì)”了。由于學(xué)生掌握比、分?jǐn)?shù)、除法的聯(lián)系與區(qū)別，學(xué)生積極聯(lián)想，如根據(jù)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”可以“約分”，學(xué)生推測(cè)根據(jù)“比的基本性質(zhì)”可以“化簡比”；約分要同時(shí)除以分子、分母的最大公因數(shù)，學(xué)生推測(cè)比的前項(xiàng)、后項(xiàng)要同時(shí)除以它們的最大公因數(shù)；約分要約成最簡分?jǐn)?shù)，學(xué)生推測(cè)化簡比要化成最簡單的整數(shù)比等。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，比的基本性質(zhì)與分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)是相通的、一致的，從本質(zhì)上可以看成同一種性質(zhì)，只是由于不同的運(yùn)用、不同的數(shù)學(xué)表征才衍生出名稱不同的性質(zhì)和規(guī)律。學(xué)生由衷地體驗(yàn)到：于紛繁復(fù)雜中，數(shù)學(xué)其實(shí)就這么簡單！

（二）整體感悟，讓思維結(jié)構(gòu)化

1. 遷移式思考，讓思維具有指向性

如上所述，“映射理論”源于心理學(xué)上的遷移、類比。教師在教學(xué)中要逐步放手，引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想遷移到新知識(shí)學(xué)習(xí)、新問題探索之中。學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，不僅能夠感悟到結(jié)構(gòu)性知識(shí)遷移的形成過程，更重要的是獲得遷移性的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。例如教學(xué)《梯形的面積》，學(xué)生因?yàn)橛辛似叫兴倪呅蔚拿娣e推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)、三角形的面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，所以在梯形面積推導(dǎo)過程中，學(xué)生的轉(zhuǎn)化就有了方向，探索就有了策略。他們有的將梯形通過旋轉(zhuǎn)、平移等策略轉(zhuǎn)化成平行四邊形；有的將梯形通過分割轉(zhuǎn)化成三角形；有的通過垂直切拼將梯形轉(zhuǎn)化成長方形……只有學(xué)生掌握了遷移的方法、策略，才能激發(fā)學(xué)生更多的數(shù)學(xué)運(yùn)用和數(shù)學(xué)創(chuàng)造的激情。

2. 結(jié)構(gòu)式感悟，讓思維具有邏輯性

“映射理論”視野下的結(jié)構(gòu)化教學(xué)不僅在于讓數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化，更在于讓學(xué)生產(chǎn)生思維結(jié)構(gòu)的感悟，包括思維的有序性、層次性、邏輯性。結(jié)構(gòu)化感悟讓學(xué)生形成積極自主的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)狀態(tài)。它包括兩個(gè)層面的建構(gòu)，一是過程性建構(gòu)；二是方法性建構(gòu)。例如教學(xué)《乘法交換律和結(jié)合律》，學(xué)生能夠主動(dòng)地將學(xué)習(xí)過程結(jié)構(gòu)納入其中，展開自發(fā)的數(shù)學(xué)探索。即學(xué)生由一個(gè)問題情境中的相同問題列出兩個(gè)形式不同的算式，這是解決問題方法的多樣化。通過算式的結(jié)果相等提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)猜想，然后寫出幾組不同的算式，通過算一算、比一比，展開數(shù)學(xué)驗(yàn)證，最后概括數(shù)學(xué)運(yùn)算律的運(yùn)算模型，同時(shí)展開簡便運(yùn)算的實(shí)踐運(yùn)用。在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅掌握了探究的過程性結(jié)構(gòu)，而且對(duì)這樣一種數(shù)學(xué)探究方法——“情境猜想—舉例驗(yàn)證—?dú)w納結(jié)論”也熟練掌握。結(jié)構(gòu)式感悟，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更具條理性、邏輯性。

“映射理論”為數(shù)學(xué)教學(xué)材料結(jié)構(gòu)化和教學(xué)過程結(jié)構(gòu)化提供了一個(gè)視角、一種思路，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)研究需要運(yùn)用教育學(xué)、心理學(xué)、社會(huì)學(xué)等多門學(xué)科理論。數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)化不僅指涉數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，還指涉學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)化。通過知識(shí)結(jié)構(gòu)與思維結(jié)構(gòu)的相互映射、對(duì)話、協(xié)同跟進(jìn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的結(jié)構(gòu)化大廈。