胡長城

摘 要：利用費(fèi)馬原理推導(dǎo)出球形透鏡的齊明點(diǎn)位置，并把齊明點(diǎn)應(yīng)用于物鏡組上。在給定參數(shù)的條件下設(shè)計(jì)一個(gè)物鏡組，計(jì)算得出該物鏡組中第二個(gè)透鏡的曲面曲率半徑、凹凸組合類別、出射光的孔徑角和成像放大率。

關(guān)鍵詞：齊明點(diǎn)；物鏡組；放大率

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1003-6148（2017）6-0061-3

透鏡是由兩個(gè)折射球面組成的光具組，兩球面間是構(gòu)成透鏡的介質(zhì)，通常是玻璃。光經(jīng)過兩個(gè)表面的折射形成會(huì)聚或是發(fā)散的效果。在光具組成像的過程中，要求物是傍軸條件。傍軸條件要求成像光束的孔徑小，這樣的限制在實(shí)際應(yīng)用中往往行不通，比如高倍顯微鏡物鏡需要傍軸小物能以大孔徑成像，所以實(shí)際應(yīng)用中往往要突破傍軸條件的限制，從而不可避免地會(huì)帶來幾何像差。球差和彗差是比較常見幾何像差，在透鏡的某些特殊點(diǎn)處可以消除球差和彗差。例如，物體位于球形折射面的球心處和齊明點(diǎn)處，成像不產(chǎn)生球差和彗差。本文根據(jù)費(fèi)馬原理推導(dǎo)球形折射面的齊明點(diǎn)位置，并詳細(xì)討論了一道物理競賽題目中關(guān)于齊明點(diǎn)在顯微物鏡組中的應(yīng)用。[1-2]

1 由費(fèi)馬原理推導(dǎo)球面的齊明點(diǎn)位置

對單個(gè)折射球面齊明點(diǎn)的位置的求解：如圖1（a）所示，設(shè)真空中放置一個(gè)半徑為R、折射率為n的玻璃球。在軸線上有一點(diǎn)P，在此放置一個(gè)小物體，物體向上發(fā)出的任一條光線經(jīng)過球面折射后反向延長線嚴(yán)格交于一點(diǎn)Q，下面通過費(fèi)馬原理計(jì)算P和Q的位置。

因?yàn)樗傻南袷翘撓?，所以段的光程是虛的。物點(diǎn)P與像點(diǎn)Q之間的光程為：

（PAQ）=n-=n-（1）

由費(fèi)馬原理可知物點(diǎn)與像點(diǎn)之間的光程是定值，則光程（PAQ）與γ無關(guān)，即：

=0

=+=0，即

[n22（2+R2）-2（2+R2）]+（2n22-

22）cosγ=0（2）

（2）式對任意γ恒成立，整理得：

n22（2+R2）=2（2+R2），

2n22=22

因≥0，故得兩組解：

==0或=，=nR。第一組解對應(yīng)物體位于球心的情形，第二組解對應(yīng)球面的齊明點(diǎn)位置。

上面討論的是折射率為n的介質(zhì)球的齊明點(diǎn)。假設(shè)在折射率為n的介質(zhì)中有半徑為R的空氣球，如圖1（b）所示。那么這個(gè)空氣球的齊明點(diǎn)的位置應(yīng)與上述討論的位置相同，但物和像的位置與折射率為n的介質(zhì)球相反，即物放置在距離空氣球的球心nR處，成像在距空氣球的球心處。

（a） （b）

2 齊明點(diǎn)應(yīng)用于透鏡組的論述

下面的論述是基于一道物理競賽習(xí)題，取自競賽題目的相關(guān)參數(shù)。題目的部分內(nèi)容如下：

設(shè)某顯微鏡的物鏡是折射率為n1，半徑為R1的半球，其平底面和物同浸在折射率與物鏡材料相同的油中，物即位于一個(gè)齊明點(diǎn)上。

①試設(shè)計(jì)物鏡組第二個(gè)透鏡的兩球面的半徑R2和R3，使其物、像也是齊明點(diǎn)。已知該透鏡材料的折射率為n2，透鏡前球面與第一個(gè)透鏡后球面的間距為d1，透鏡中央厚度為d2；

②估算從第二個(gè)透鏡出射的光的孔徑角β；

③求經(jīng)兩個(gè)透鏡成像后的放大率k；

④設(shè)n1=1.5，n2=1.6，R1=3 mm，d1=2.0 mm，d2=1.5 mm，求R2，R3，β和k的數(shù)值。

分析如下：物體在球形折射面的球心處時(shí)不產(chǎn)生球差和彗差，物體在齊明點(diǎn)處也不產(chǎn)生球差和彗差。無論物體位于球心還是齊明點(diǎn)均要求光照射在凹球面，所以凸透鏡的形狀不能是雙凸形的凸透鏡，只能是凹凸形的凸透鏡。題目中的顯微物鏡的配置如圖2所示。設(shè)半徑為R2的折射曲面為∑2，半徑為R3的折射曲面為∑3。原題目的解答中說明物s放在半徑為R1的半球的齊明點(diǎn)上（作為已知條件給出），折射之后的像s'成在其另一個(gè)齊明點(diǎn)上，同時(shí)s'位于曲面∑2的中心處，光線無折射地射入透鏡中，成像在原來的位置，這個(gè)位置正好是曲面∑3的齊明點(diǎn)，折射成像于另一個(gè)齊明點(diǎn)上。但是解答中沒有明確說明這樣成像的理由，本文進(jìn)行了詳盡的論述。

如圖3所示是構(gòu)成凹凸透鏡的球面配置，為保證半徑為R2的球在左側(cè)，半徑為R3的球在右側(cè)，且兩個(gè)球相交構(gòu)成凹凸形的透鏡，則兩個(gè)球面的半徑應(yīng)滿足存在條件：

2R2+d2>2R3（3）

第一步：確定R2、R3的數(shù)值，分三種情況討論如下。

設(shè)s'是∑2面的物，s'的像s''是∑3面的物

① 圖4中s'位于∑2面的齊明點(diǎn)上，s'的像s''位于∑3面的齊明點(diǎn)上

s'到∑2面的頂點(diǎn)O2的距離為n1R1+R1+d1。同時(shí)s'位于∑2面的齊明點(diǎn)上，這時(shí)等效為在折射率為n2的介質(zhì)中，有半徑為R2的空氣球，s'到O2的距離為n2R2+R2，則n1R1+R1+d1=n2R2+R2，代入數(shù)據(jù)求得R2≈3.65385 mm。s'經(jīng)過∑2面成像于s''，s''到∑3面的頂點(diǎn)O3的距離為R2+R2+d2，同時(shí)s''位于∑3面的齊明點(diǎn)上，則R2+R2+d2=R3+R3，代入數(shù)據(jù)求得R3≈4.57692 mm。R2和R3的數(shù)值代入存在條件（3）中，滿足①這種情況的凹凸透鏡不存在。

② 圖4中s'位于∑2面的齊明點(diǎn)上，s'的像s''位于∑3面的球心點(diǎn)上

同情況①，∑2面的半徑R2≈3.65385 mm。s'的像s''位于∑3面的球心上，則R3=R2+R2+d2，代入數(shù)據(jù)得R3≈7.43750 mm。R2和R3的數(shù)值代入存在條件（3）中，滿足②這種情況的凹凸透鏡不存在。

③ 圖4中s'位于∑2面的球心點(diǎn)上，s'的像s''位于∑3面的齊明點(diǎn)上

s'到∑2面的頂點(diǎn)O2的距離為n1R1+R1+d1，同時(shí)s'位于∑2面的球心處，則R2=n1R1+R1+d1，代入數(shù)據(jù)得R2=9.50000 mm。s'發(fā)出的光線無折射地進(jìn)入∑2面內(nèi)，s'的像s''位于∑3面的齊明點(diǎn)上，則R2+d2=R3+R3，代入數(shù)據(jù)解得R3≈6.76923 mm。R2和R3的數(shù)值代入存在條件（3）中，滿足③這種情況下的凹凸透鏡存在。

第二步：確定放大率k，也同樣分三種情況討論如下

物s放在半徑為R1的半球的齊明點(diǎn)上，經(jīng)過半球折射成像后的橫向放大率

k1=n

① 圖4中s'位于∑2面的齊明點(diǎn)上，s'的s''像位于∑3面的齊明點(diǎn)上

s'位于∑2面的齊明點(diǎn)上，經(jīng)過∑2面折射后的橫向放大率

k2==

s''位于∑3面的齊明點(diǎn)上，經(jīng)過∑3面折射后的橫向放大率 k3==n

顯微透鏡組的放大率

k=k1k2k3=n··n=n

代入數(shù)據(jù)求得這種情況下顯微透鏡組的放大率為2.25。

② 圖4中s'位于∑2面的齊明點(diǎn)上，s'的像s''位于∑3面的球心點(diǎn)上

s'位于∑2面的齊明點(diǎn)上，情況同①，則

k2=

s''位于∑3面的球心上，經(jīng)過∑3面折射后的橫向放大率

k3==n2

顯微透鏡組的放大率

k=k1k2k3=n··n2=

代入數(shù)據(jù)求得這種情況下顯微透鏡組的放大率為1.41。

③ 圖4中s'位于∑2面的球心點(diǎn)上，s'的像s''位于∑3面的齊明點(diǎn)上

s'位于∑2面的球心上，經(jīng)過∑2面折射后的橫向放大率

k2==

s''位于∑3面的齊明點(diǎn)上，經(jīng)過∑3面折射后的橫向放大率

k3==n

顯微透鏡組的放大率

k=k1k2k3=n··n=n·n2

代入數(shù)據(jù)求得顯微透鏡組的放大率為3.6。經(jīng)過上述分析發(fā)現(xiàn)， 情況③下的顯微透鏡組的放大率最大。

第三步：確定出射光的孔徑角β

如圖2所示的配置情況下，出射光的孔徑角為β=tan-1（）≈tan-1（）（忽略透鏡邊緣的厚度），其中tanβ1==，s's''=n2R3-，代入數(shù)據(jù)得β=19.97°。如果不忽略邊緣厚度，根據(jù)幾何關(guān)系可求得β≈20.28°，這里就不詳細(xì)論述了。

物體在球形折射面的球心處或是齊明點(diǎn)處，不產(chǎn)生球差和彗差。無論物位于球心還是齊明點(diǎn)均要求光照射在凹球面，所以凸透鏡的形狀是凹凸形的凸透鏡。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，按原題目中提供的參數(shù)設(shè)計(jì)齊明透鏡組，只有物s的像s'位于∑2面的球心，且∑2面的球心是面的齊明點(diǎn)時(shí)，才能構(gòu)成凹凸透鏡；并且通過定量計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在這種情況下，對應(yīng)的顯微透鏡組的放大率是最大的。

參考文獻(xiàn)：

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[3]韋超，周光忠.光學(xué)成像試題賞析[J].物理教學(xué)探討，2006，24（14）：12-14.

（欄目編輯 王柏廬）