吐爾洪江·阿布都克力木,阿麗亞·玉山,黃允滸

(新疆師范大學數(shù)學科學學院,新疆 烏魯木齊 830017)

一種新的雙正交小波的構造方法研究

吐爾洪江·阿布都克力木,阿麗亞·玉山,黃允滸

(新疆師范大學數(shù)學科學學院,新疆 烏魯木齊 830017)

在二進提升方案相關理論的基礎上,結合雙正交性、消失矩性和對稱性條件,提出一種構造提升雙正交小波的新方法.此方法從二進小波出發(fā),考慮小波所具有的特性,通過選取適當?shù)奶嵘齾?shù),具體構造了具有緊支撐、對稱性、高階消失矩和速降性的提升雙正交小波.

二進提升方案;雙正交小波;有限長度;消失矩;對稱性

1 引言

小波變換是繼Fourier變換之后又一有效地信號和圖像處理工具,小波的構造也隨之成為一個重要的研究領域[1].為了達到較好的信號處理效果,選取的濾波器往往要考慮以下幾個特征:正交性、對稱性、緊支撐、高階消失矩.文獻[2]已經(jīng)提出了一個緊支撐正交小波的構造性方法.遺憾的是這樣的小波是不對稱的.進一步分析可以得到Haar小波是唯一同時具有正交性、緊支撐和對稱性的小波.對應于對稱小波的最重要的線性相位約束也許可以通過放松正交性限制并且使用雙正交小波保持.M.Unser和A.Aldroubi[3]已給出了是雙正交小波并且已利用B-樣條函數(shù)構造出來的多項式樣條小波.盡管這些小波是光滑對稱的,但是它們的小波不具有有限長度.

雙正交提升方案(Lifting scheme)是由一個較簡單的初始雙正交小波出發(fā),逐步的利用提升,得到所需性質的多分辨分析的一種新的雙正交小波構造方法.基于提升方案的雙正交小波簡稱為提升雙正交小波.尋找提升雙正交小波的基本思路是彌補傳統(tǒng)雙正交小波的不足,且具備其優(yōu)點.為了彌補傳統(tǒng)雙正交小波的不足,推廣傳統(tǒng)雙正交小波的優(yōu)點,W.Sweldens詳細地分析了提升和對偶提升對尺度函數(shù)、小波及其對偶的影響.在1996年W.Sweldens放棄Fourier變換這個構建雙正交小波的工具,利用提升方案研究了在時間域內(nèi)構造雙正交小波的問題[4],并得到基于提升雙正交小波的信號分解與重構的計算方案和稱之為第二代小波變換的理論[5].以此方案為基礎,人們對雙正交小波的構造進行了研究并構造了性質較好的雙正交小波,但是,Sweldens提升方案僅局限于由雙正交小波出發(fā)構造雙正交小波,進一步放寬雙正交的條件,在2000年T.Abdukirim克服了Sweldens提升方案的缺陷,并將其推廣提出了二進提升方案[6].此方案由二進小波出發(fā)不僅可以構造新的二進小波,還可以構造雙正交小波.同時,通過調整二進提升方案中提升參數(shù)的形式,可以使構造的小波具備各種好的特性[7-12].

本文從信號處理與分析的實際需要出發(fā),在二進小波及二進提升方案的基礎上,通過對參數(shù)的限定,提出一種構造提升雙正交小波的新方法,應用此方法構造的小波具有更高階消失矩、緊支撐、對稱性和速降性.而這些濾波器卻不能由Sweldens的提升方案所得到;它能僅從一個雙正交小波濾波器去構造一個新的雙正交小波濾波器.這些結果豐富了小波的理論.

2 二進提升方案的基本概念

本節(jié)簡要給出二進提升方案的概念,這些概念是由文獻[6]第一次引入的.還將分析信號處理對小波的要求及現(xiàn)有Sweldens提升方案的缺點.

定義2.1若濾波器組的無限級聯(lián)計算產(chǎn)生兩個二進尺度函數(shù)和二進小波,它們的Fourier變換滿足:

其中

則方程(2.1)和(2.2)稱為二尺度關系（二尺度差分方程）.

定義2.2若濾波器組的Fourier變換滿足二進重構條件:

定義2.3若濾波器組的Fourier變換滿足雙正交重構條件:

定義2.4設初始濾波器組是二進小波濾波器組,若它們的Fourier變換滿足

則方程組(2.5)稱為一種二進提升方案(Dyadic Lifting Scheme).其中濾波器為提升濾波器,s為提升參數(shù).

其中

“l(fā)”是“l(fā)ifting”的縮寫.

命題2.1[8]設濾波器組是二進小波濾波器組,則由二進提升方案(2.5)定義的提升濾波器也二進小波濾波器.

推論2.1設初始濾波器組是雙正交小波濾波器組,則二進提升方案(2.5)中 s2n+1=0得到Sweldens提升方案[4]：

定義2.5設初始濾波器組是二進小波濾波器組,若它們的Fourier變換滿足

則方程組(2.7)稱為一種二進對偶提升方案(Dyadic Dual Lifting Scheme).其中r為提升參數(shù).

命題2.2[8]設初始濾波器組是二進小波濾波器組,則由二進對偶提升方案(2.7)定義的提升濾波器也二進小波濾波器.

二進對偶提升方案是一個利用已知的二進小波濾波器作為模塊構造一個新的二進小波濾波器的系統(tǒng)的方法.

推論2.2設初始濾波器組是雙正交小波濾波器組,則二進對偶提升方案(2.7)中r2n+1=0得到Sweldens對偶提升方案[4]:

值得注意是Sweldens提升方案僅局限于從雙正交小波出發(fā)構造雙正交小波,二進提升方案不僅可以構造二進小波,還可以構造雙正交小波,同時,通過調整二進提升方案中提升參數(shù)的形式,可以使構造的小波具備各種好的特性.推論2.1和推論2.2說明Sweldens提升方案是二進提升方案的特例,雙正交小波空間是二進小波空間的子空間.這種變換不僅能克服“Mallat小波變換”的不足,而且還隱含著潛在的優(yōu)越性,這是對小波變換本身的探討,如同研究的操作系統(tǒng)一樣,牽一而動全局,無疑具有重要的理論意義和廣泛的應用前景.

3 雙正交小波的構造理論

現(xiàn)在我們描述如何用二進對偶提升方案 (2.7)設計雙正交小波濾波器.由命題2.2可知(2.7)已經(jīng)滿足條件(2.3).我們尋找一個使得(2.7)滿足剩下的雙正交重構條件(2.4)的條件.

定理3.1設初始濾波器組是二進小波濾波器組，如果二進對偶提升方案中提升參數(shù)rn滿足下面的條件:

則(2.7)式得到的提升濾波器是雙正交小波濾波器,其中z=e?iω,偶提升參數(shù)r2n不受限制.

定義3.1若

成立,則稱ψ(t)為p階消失矩小波.

命題 3.1下述論斷互相等價：

顯然,提升過程并不會改變對偶小波的消失矩,但是通過選擇合適的提升參數(shù)使得新構造的提升濾波器的消失矩增加,從而提高對應小波的消失矩.

定理 3.21)若命題 3.1中的初始雙正交小波分解高通濾波器 g的 Fourier變換滿足(0)≠0,那么(ω)=0的充分條件是

2)若初始雙正交小波分解高通濾波器g具有p階消失矩,那么運用命題3.1提升后的雙正交小波分解高通濾波器(ω)具有至少p+1階消失矩的充分條件是提升參數(shù)(2ω)滿足:

根據(jù)定理3.1和定理3.2,通過選擇合適的提升和對偶提升參數(shù){s,r},就可以提升小波及其對偶的消失矩,從而改善小波的性能.值得注意是由于對偶提升和提升過程是相互對稱的,因此提升參數(shù)的構造方法完全可以對稱的應用到對偶提升參數(shù)的構造中.

4 基于 B-樣條的雙正交小波構造

本文中,描述了如何通過使用在文獻[7]中提出的提升二進小波理論來構造雙正交小波.定理3.1、定理3.2提供了一種構造高階消失矩的提升雙正交小波的新方法.下面應用此方法構造具有更高階消失矩的提升雙正交小波濾波器.此方法用于構造基于B-樣條的具有有限長度和消失矩的對稱雙正交小波.構造的小波不同于在文獻[3]中給出的小波.選取一個m次B-樣條函數(shù)作為尺度函數(shù)φ(t),因為這種函數(shù)滿足雙尺度關系(2.1)和(2.2).我們將Mallat構造的B-樣條二進小波濾波器推廣得到新的B-樣條二進小波濾波器.其中,γ=1時對應的濾波器正是Mallat在文獻[1]中構造的B-樣條二進小波濾波器.

m次B-樣條是I[0,1]與其自身的m+1次卷積的平移,其Fourier變換為:

由二進完全重構條件(2.3),有

因此,由二尺度關系(2.1),有

表1 具有二階消失矩的初始一次樣條二進小波濾波器系數(shù)

圖1 尺度函數(shù)和小波(φ,,,)的圖形

應用定理3.1設計雙正交小波濾波器.因為初始一次樣條二進小波濾波器h,g,和滿足:

所以提升參數(shù)rn必須滿足的條件是,

表2 提升雙正交小波濾波器系數(shù)

所以由命題3.1的結果可以看出濾波器g具有二階消失矩.因此,得到表2中所示的具有二階消失矩的提升雙正交小波濾波器組由二尺度關系式(2.1)和(2.2)得到對應的兩個尺度函數(shù)和兩個小波的圖形如圖2所示,依次為:

圖2 兩個尺度函數(shù)和小波(,ψ,,)的圖形

例 4.2應用推論2.1和定理3.2(2)的結果設計一個具有三階或更高階消失矩的分解高通雙正交小波濾波器.(ω)必須滿足條件:

圖3 尺度函數(shù)和小波(,,,)的圖形

表3 具有四階消失矩的交替提升雙正交小波濾波器系數(shù)

此提升過程也適用于γ=2,m=1,2,···與γ=1,m=1,2,···的 B-樣條二進小波濾波器.所以從二進小波濾波器出發(fā)應用定理3.1、定理3.2,選取適當?shù)奶嵘齾?shù)可以構造滿足實際需要的各種特性的雙正交小波濾波器.在二進提升方案相關理論的基礎上,結合雙正交性、消失矩性和對稱性條件,提出了一種構造提升雙正交小波的新方法.此方法由二進小波濾波器出發(fā),構造了具有更高階消失矩的提升雙正交小波濾波器.而這些濾波器卻不能由Sweldens的提升方案所得到,它能僅從一個雙正交小波濾波器去構造一個新的雙正交小波濾波器.

5 結論

本文研究了提升雙正交小波濾波器的構造.通過分析和研究二進提升方案,結合雙正交性、消失矩性和對稱性條件,提出了兩個定理,應用這兩個定理,選取適合的提升參數(shù),構造了同時具有緊支撐、高階消失矩、對稱性和速降性的提升雙正交小波和交替提升雙正交小波,這些好的特性正是雙正交小波所期望具備的.鑒于雙正交小波本身所具有的緊支撐、高階消失矩、對稱性和速降性這些較好的特性,對于信號和圖像去噪、增強、特征提取等可能取得更好的處理效果[12-13].

[1]Mallat S.A Wavelet Tour of Signal Processing[M].New York:Academic Press,1998.

[2]Daubechies I.Ten Lectures on Wavelets[M].New York:SIAM Press,1992.

[3]Unser M,Aldroubi A.Polynomial Splines and Wavelets-A Signal Processing Perspective[M].New York:Academic Press,1992:91-122.

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[5]Sweldens W.The lifting scheme:A construction of second generation wavelets[J].SIAM J.of Math.Anal.,1997,29(2):511-546.

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[7]Abdukirim Turki T,Takano S,Niijima K.Construction of spline dyadic wavelet fi lters[J].Information Science and Electrical Engineering Journal of Kyushu University,2002,7(1):1-6.

[8]Abdukirim Turki T,Niijima K,Takano S.Design of biorthogonal wavelet fi lters using dyadic lifting scheme[J].Bulletin of Informatics and Cybernetics,2005,37(1):123-136.

[9]Abdukirim Turki T,Hussain M,Niijima K,et al.The dyadic lifting schemes and the de-noising of digital image[J].International Journal of Wavelets,Multi-resolution and Information Processing,2008,6(3):331-351.

[10]吐爾洪江·阿布都克力木,阿布都許庫熱·阿布都克力木,張海英.二進小波的構造方法研究[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學,2012,28(2):149-154.

[11]吐爾洪江·阿布都克力木.小波信號處理基礎[M].北京:北京郵電大學出版社,2014.

[12]Abdukirim Turki T.Lifting dyadic wavelet theory and design of fi lters for image processing[D].Japan:Kyushu University,2005.

[13]吐爾洪江·阿布都克力木.Dyadic Wavelet Theory and its Application[M].北京:北京郵電大學出版社,2015.

Study on new construction methods of the biorthogonal wavelets

Turghunjan Abdukirim Turki,Aliya Yushan,Huang Yunhu
(School of Mathematical Sciences,Xinjiang Normal University,Urumqi830017,China)

A new method for designing biorthogonal wavelet fi lters by dyadic lifting scheme is proposed.On the basis of the theory of the dyadic lifting scheme,a new method is proposed to construct the biorthogonal wavelet,which is based on the condition of biorthogonality,vanishing moment and symmetry.This method from the dyadic wavelet,considering the characteristics of wavelet has,by choosing appropriate parameters of lifting,concrete structure with compact support,symmetry,and high vanishing moments and downhill for the improvement of the biorthogonal wavelet.

dyadic lifting scheme,biorthogonal wavelets, fi nite length,vanishing moment,symmetry

O235

A

1008-5513(2017)03-0221-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.001

2016-09-21.

國家自然科學基金(61362039;11261061;10661010);新疆維吾爾自治區(qū)自然科學基金(200721104);新疆師范大學應用數(shù)學重點學科基金.

吐爾洪江·阿布都克力木(1962-),博士,教授,研究方向:小波理論在圖像處理與計算機視覺中的研究及應用.

2010 MSC:94A15