一、問(wèn)題

“有趣的乘法計(jì)算———兩位數(shù)×11”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算中的一道練習(xí)題。我們之所以對(duì)一道習(xí)題大做文章，是因?yàn)檫\(yùn)用數(shù)的運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，是數(shù)的運(yùn)算教學(xué)重要的組成部分，既有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，也是培養(yǎng)數(shù)感和滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要手段。

在人教版教材的編排中，“兩位數(shù)×11”是以習(xí)題的形式出現(xiàn)（圖1），而蘇教版教材中則安排為教學(xué)專題（圖2）。不同教材都是將此內(nèi)容編排在兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算之后，以鞏固筆算方法，讓學(xué)生經(jīng)歷“計(jì)算—猜想—分析—驗(yàn)證”的探究過(guò)程，積累探索數(shù)學(xué)規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)過(guò)這個(gè)知識(shí)后不能學(xué)以致用，少數(shù)學(xué)生也只是根據(jù)記住的口訣機(jī)械地運(yùn)算，說(shuō)不清規(guī)律和算理。尤其在探索類(lèi)似數(shù)學(xué)規(guī)律的活動(dòng)中缺乏自主探究的方法和能力，僅僅滿足于表面的規(guī)律，不善于探究深層次的原因。

是什么原因?qū)е聦W(xué)生出現(xiàn)這些問(wèn)題？經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析，我們認(rèn)為主要原因如下：一是教師對(duì)此類(lèi)習(xí)題的價(jià)值挖掘不夠，只是把它當(dāng)做一道鞏固練習(xí)題，而學(xué)生僅僅是記住了口訣，依葫蘆畫(huà)瓢解幾道題，停留在表面；二是教師在教學(xué)中重口訣“兩頭一拉，中間相加”、輕算理，沒(méi)有讓學(xué)生結(jié)合豎式發(fā)現(xiàn)規(guī)律背后的道理；三是教師把關(guān)注點(diǎn)放在得出結(jié)論和解題訓(xùn)練上，沒(méi)有放手讓學(xué)生自主探索，學(xué)生缺乏充分的觀察、計(jì)算、交流討論、比較歸納的時(shí)間，沒(méi)有經(jīng)歷探究過(guò)程，無(wú)法積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

基于此，我們對(duì)“兩位數(shù)×11”這道習(xí)題進(jìn)行了深度開(kāi)發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)計(jì)算、觀察、比較、歸納等活動(dòng)，探索并發(fā)現(xiàn)“兩位數(shù)×11”的計(jì)算規(guī)律，以豐富對(duì)乘法計(jì)算過(guò)程和特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，并讓學(xué)生經(jīng)歷探索規(guī)律和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程，在過(guò)程中感受探索性學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)初步的分析能力和合情推理能力。

二、實(shí)踐

（一）競(jìng)賽置疑，激發(fā)興趣

師：同學(xué)們，今天我們將進(jìn)行一場(chǎng)人機(jī)大戰(zhàn)，挑戰(zhàn)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算，請(qǐng)一個(gè)同學(xué)用計(jì)算器算，我直接口算，其他同學(xué)當(dāng)評(píng)委。比賽規(guī)則是：屏幕隨機(jī)出示題目，你們一起喊停，看到題目后我和他同時(shí)算，誰(shuí)最先算出正確答案并大聲報(bào)出得數(shù)就獲勝。明白了嗎？看屏幕，PK賽正式開(kāi)始！

屏幕隨機(jī)出題：第一局：36×11；第二局：65×65；第三局：89×11。

生1：哇，都是老師勝了！

師：我算得比用計(jì)算器還快，想知道其中的奧秘嗎？今天，我們就一起研究有趣的乘法計(jì)算。（板書(shū)課題：有趣的乘法計(jì)算）

評(píng)析：通過(guò)人機(jī)大戰(zhàn)導(dǎo)入新課，學(xué)生產(chǎn)生了探索規(guī)律的欲望，從而主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)的活動(dòng)中。

（二）探索規(guī)律，經(jīng)歷過(guò)程

師：其實(shí)在剛才PK賽的題庫(kù)中有這樣一類(lèi)題目（課件出示：23×11，54×11，62×11），仔細(xì)觀察它們有什么共同點(diǎn)？

生2：這3個(gè)算式中都有一個(gè)因數(shù)是11，另一個(gè)因數(shù)是兩位數(shù)。

師：觀察得真仔細(xì)，一下就找到了這類(lèi)算式的共同特點(diǎn)，都是兩位數(shù)×11。（板書(shū)：兩位數(shù)×11）這類(lèi)算式的積有什么秘密呢？請(qǐng)大家用豎式計(jì)算，再觀察比較每一個(gè)算式的積與第一個(gè)因數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)?jiān)趯W(xué)習(xí)小組內(nèi)交流你的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生獨(dú)立計(jì)算、思考，然后進(jìn)行小組交流。

師：誰(shuí)來(lái)匯報(bào)你計(jì)算的結(jié)果和你們組的發(fā)現(xiàn)？

生3：我們計(jì)算的結(jié)果依次是253、594、682。（課件同步出示豎式及正確答案，如圖3所示）

師：觀察比較每一個(gè)算式的積與第一個(gè)因數(shù)，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：我們組發(fā)現(xiàn)每個(gè)算式的積的個(gè)位上的數(shù)等于第一個(gè)因數(shù)個(gè)位上的數(shù)，積的百位上的數(shù)等于第一個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)。（對(duì)照?qǐng)D3中的豎式一一驗(yàn)證）

師：太厲害了，找到了積的個(gè)位、百位上的數(shù)的規(guī)律。還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？

生5：我們組發(fā)現(xiàn)積的十位上的數(shù)也有規(guī)律，它們等于第一個(gè)因數(shù)個(gè)位和十位上的數(shù)的和。

師：真的嗎？我們一起算算。（對(duì)照3個(gè)豎式一一驗(yàn)證，如圖4所示）在計(jì)算23×11時(shí)，為什么個(gè)位上的3會(huì)和十位上的2相加呢？

生6：因?yàn)閭€(gè)位上的3是去乘第二個(gè)因數(shù)十位上的1，乘積為3個(gè)十，所以與十位上的2相加。

師：聽(tīng)了你的精彩分析，我明白了為什么積的十位會(huì)有這樣的規(guī)律了。還有哪個(gè)組想分享嗎？

生7：我們組發(fā)現(xiàn)每個(gè)算式的積其實(shí)就是把第一個(gè)因數(shù)分開(kāi)，中間加了一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是第一個(gè)因數(shù)個(gè)位與十位上的數(shù)之和。（師將他的發(fā)現(xiàn)板書(shū)：23×11=253，54×11=594，62×11=682）

師：同學(xué)們剛才都發(fā)現(xiàn)這3個(gè)算式的積有共同的規(guī)律，積的個(gè)位上的數(shù)，與第一個(gè)因數(shù)個(gè)位上的數(shù)一樣。（課件同步閃爍）積的百位上的數(shù)，與第一個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)一樣。（課件同步閃爍）積十位上的數(shù)等于第一個(gè)因數(shù)十位與個(gè)位上的數(shù)之和。（如圖5所示）同學(xué)們還用更簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言概括了：把不是11的這個(gè)因數(shù)兩邊一拉，中間相加。（板書(shū)：兩邊一拉，中間相加）這是通過(guò)觀察這3個(gè)豎式發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，是不是其他的兩位數(shù)×11都有這樣的規(guī)律呢？

生8：我認(rèn)為還需要通過(guò)舉例驗(yàn)證。

師：那好，現(xiàn)在請(qǐng)同桌兩人共編一道兩位數(shù)×11的算式，一人用規(guī)律直接寫(xiě)出答案，另一人用豎式計(jì)算，看答案是否一致。（課件出示驗(yàn)證活動(dòng)要求）

學(xué)生動(dòng)手計(jì)算并驗(yàn)證。

師：都驗(yàn)證完了，哪組愿意展示一下你們出的題和驗(yàn)證的結(jié)果？

生9：我們組出的題是35×11，我用規(guī)律“兩邊一拉，中間相加”寫(xiě)出的得數(shù)是385，同桌用豎式計(jì)算的得數(shù)也是385。符合這個(gè)規(guī)律。

生10：我們組出的題是68×11，我用規(guī)律“兩邊一拉，中間相加”寫(xiě)出的得數(shù)是748，同桌用豎式計(jì)算的得數(shù)也是748。符合這個(gè)規(guī)律。

師：68×11=748，積的百位上的數(shù)與第一個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)不一樣了，這是怎么回事？

生11：因?yàn)閭€(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)相加滿十了。當(dāng)個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)相加滿十時(shí)，就要像豎式計(jì)算那樣，向百位進(jìn)一。（板書(shū)：滿十進(jìn)一）

師：大家都明白他的意思嗎？其他同學(xué)驗(yàn)證的結(jié)果符合這個(gè)規(guī)律嗎？

學(xué)生紛紛點(diǎn)頭。

師：祝賀大家經(jīng)歷了觀察比較、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、計(jì)算驗(yàn)證，探索出了兩位數(shù)×11的計(jì)算規(guī)律，數(shù)學(xué)家們也證明了這個(gè)規(guī)律是正確的?，F(xiàn)在知道我在PK賽中算這類(lèi)題目獲勝的秘訣是什么了嗎？

生：知道了，秘訣就是：兩邊一拉，中間相加，滿十進(jìn)一。

評(píng)析：在探究?jī)晌粩?shù)×11的積的規(guī)律過(guò)程中，學(xué)生不僅經(jīng)歷了觀察比較、大膽猜想、計(jì)算驗(yàn)證等活動(dòng)，掌握探究計(jì)算規(guī)律的一般方法，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與簡(jiǎn)潔，還弄清楚了規(guī)律背后的道理，獲得對(duì)規(guī)律的深層次理解。

（三）PK大戰(zhàn)，應(yīng)用規(guī)律

師：運(yùn)用規(guī)律計(jì)算可以算得又對(duì)又快?，F(xiàn)在你們也來(lái)進(jìn)行一場(chǎng)兩位數(shù)×11的PK賽?？雌聊?，準(zhǔn)備出題了?。ㄕn件出示：17×11；42×11；53×11；46×11；39×11；11×58）

學(xué)生匯報(bào)得數(shù)，集體訂正反饋。

師：在寫(xiě)得數(shù)時(shí)要注意些什么？

生12：寫(xiě)得數(shù)時(shí)要注意看是否個(gè)位和十位上的數(shù)相加滿十了，如果滿十了就要記得向百位進(jìn)一。

生13：我建議大家可以先從個(gè)位寫(xiě)起，因?yàn)椴还苁欠裣嗉訚M十，積的個(gè)位上的數(shù)總是等于不是11的這個(gè)因數(shù)的個(gè)位上的數(shù)。

師：謝謝大家的提醒。那請(qǐng)繼續(xù)計(jì)算97×11。

學(xué)生匯報(bào)得數(shù)，集體訂正反饋。

師：1067，怎么答案不是三位數(shù)呢？

生14：因?yàn)槭粷M十，要向百位進(jìn)一，百位又滿十，向千位進(jìn)一了。

師：哦，我明白了，這道題是出現(xiàn)了連續(xù)進(jìn)位。接下來(lái)請(qǐng)解決這道題：□□×11=528。請(qǐng)做得最快的學(xué)生回答。

學(xué)生動(dòng)筆計(jì)算，不一會(huì)就有學(xué)生舉手。

師：答案是多少？你做得這么快，是怎么想的？

生15：答案是48。我是先看積的個(gè)位是8，因?yàn)楦鶕?jù)規(guī)律，積的個(gè)位上的數(shù)與第一個(gè)因數(shù)個(gè)位上的數(shù)一樣，所以第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位肯定是8；然后看積的百位上的數(shù)是5，我以為是58，后來(lái)發(fā)現(xiàn)58的個(gè)位和十位上的數(shù)之和的尾數(shù)不是2，所以我判斷肯定是進(jìn)位變成5的，原數(shù)應(yīng)該是48。

師：你真是個(gè)思維縝密的孩子。他做對(duì)了嗎？怎么檢驗(yàn)？

生16：把48×11用規(guī)律算一下看是否等于528，我算了是對(duì)的。

評(píng)析：在獲得規(guī)律的基礎(chǔ)上，學(xué)生自主運(yùn)用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，感受到了數(shù)學(xué)的神奇和美妙。

（四）回顧反思，拓展延伸

師：同學(xué)們，今天的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？

生17：我們今天是通過(guò)觀察一組兩位數(shù)×11的算式的積與第一個(gè)因數(shù)，發(fā)現(xiàn)了它們具有共同的規(guī)律，再通過(guò)舉例驗(yàn)證其他的兩位數(shù)×11也符合這個(gè)規(guī)律，最后總結(jié)出兩位數(shù)×11的計(jì)算規(guī)律。

生18：我知道了兩位數(shù)×11的計(jì)算規(guī)律———兩邊一拉，中間相加，滿十進(jìn)一。掌握了計(jì)算規(guī)律，再計(jì)算兩位數(shù)×11，可以算得又對(duì)又快。

師：其實(shí)數(shù)的運(yùn)算中還藏著很多有趣的計(jì)算規(guī)律，之前題庫(kù)中還有兩類(lèi)題目也是有計(jì)算規(guī)律的。（課件出示圖6）大家可以課后嘗試找出規(guī)律。只要用心觀察比較、大膽猜想、計(jì)算驗(yàn)證，你就能得到規(guī)律。應(yīng)用規(guī)律計(jì)算，你也能成為速算高手。

評(píng)析：掌握了探索計(jì)算規(guī)律的一般方法，學(xué)生運(yùn)用該方法可以探索更多的計(jì)算規(guī)律，將研究延伸到課外。

三、討論

數(shù)的運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)。但是長(zhǎng)期以來(lái)，部分教師過(guò)分強(qiáng)化了計(jì)算技能的訓(xùn)練，以確保計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確無(wú)誤和計(jì)算速度的提高為價(jià)值取向，忽視了學(xué)生合理、靈活的計(jì)算能力的培養(yǎng)，使學(xué)生體會(huì)不到計(jì)算教學(xué)的價(jià)值。我們認(rèn)為，在計(jì)算教學(xué)中應(yīng)當(dāng)?shù)瘜?duì)運(yùn)算熟練度的要求，注重培養(yǎng)學(xué)生選擇正確的計(jì)算方法，準(zhǔn)確地得到運(yùn)算結(jié)果的能力。這就需要教師在教學(xué)的過(guò)程中不僅關(guān)注計(jì)算的方法和結(jié)果，更要關(guān)注得到方法和結(jié)果的思維過(guò)程。

1.領(lǐng)悟算理是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的基礎(chǔ)。

算理是指運(yùn)算中的道理，解決為什么這樣算的問(wèn)題。它是運(yùn)算的依據(jù)，是使學(xué)生學(xué)會(huì)算法的橋梁。要使學(xué)生會(huì)算，首先必須使學(xué)生明白為什么可以這樣算，也就是加強(qiáng)算理的理解。在這一課的教學(xué)中，教師在學(xué)生用豎式正確計(jì)算出兩位數(shù)×11的基礎(chǔ)上，通過(guò)提出“這類(lèi)算式的積有什么秘密”“觀察比較每一題的積與第一個(gè)因數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生反思自己的思維過(guò)程。學(xué)生通過(guò)反思，領(lǐng)悟到“每個(gè)算式中的積其實(shí)就是把第一個(gè)因數(shù)分開(kāi)，中間加了一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是第一個(gè)因數(shù)個(gè)位與十位的數(shù)之和”。這其實(shí)就是兩位數(shù)×11計(jì)算算理的核心。

2.明確算理是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的關(guān)鍵。

算法是依據(jù)算理提煉出來(lái)的方法和規(guī)則，是解決問(wèn)題的操作程序。算法使復(fù)雜的思維過(guò)程得到簡(jiǎn)化，使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確。因此在重視理解算理的基礎(chǔ)上，還要重視算法的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷探究算法、提煉算法的過(guò)程。這節(jié)課在探究?jī)晌粩?shù)×11的簡(jiǎn)便方法時(shí)，通過(guò)對(duì)算式的大膽猜想及課件的動(dòng)態(tài)演示，孩子們逐漸發(fā)現(xiàn)：兩位數(shù)×11，積的個(gè)位上的數(shù)，與第一個(gè)因數(shù)個(gè)位上的數(shù)一樣；積的百位上的數(shù)，與第一個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)一樣；積的十位上的數(shù)等于第一個(gè)因數(shù)十位與個(gè)位上的數(shù)之和。在此基礎(chǔ)上，他們初步概括出兩位數(shù)×11的計(jì)算方法是“兩邊一拉，中間相加”。這個(gè)結(jié)論只是通過(guò)觀察3個(gè)算式得到的，是否適應(yīng)所有的兩位數(shù)×11的算式呢？教師帶著孩子們繼續(xù)驗(yàn)證，最終確認(rèn)了兩位數(shù)×11的計(jì)算方法。在這一過(guò)程中，教師注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩位數(shù)×11計(jì)算方法的探究以及算理的理解，提高了學(xué)生的計(jì)算意識(shí)和計(jì)算能力，培養(yǎng)了學(xué)生合理、靈活運(yùn)用計(jì)算方法的思維品質(zhì)。

（本文系湖南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃一般資助課題《小學(xué)數(shù)學(xué)“三味課堂”研究》階段性成果（課題批準(zhǔn)號(hào)：XJK016BZXX034））