薛進學，楊柏松，王李娜，張穎

(河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003)

圓錐滾子是滾動軸承關(guān)鍵零部件，滾子凸度對滾子質(zhì)量至關(guān)重要[1]。理論分析及試驗驗證表明對數(shù)曲線凸度為最佳[2]，對改善滾子與滾道接觸應力分布有積極作用，對提高軸承壽命有重要意義[3-4]。超精研是加工出滾子凸度并保證凸度質(zhì)量的重要工序[5]，貫穿式超精研是凸度加工主要方式。目前油石加工機理研究較少，貫穿式超精研大多依靠經(jīng)驗，理論模型及試驗數(shù)據(jù)缺乏，深入分析滾子凸度形成機理任重道遠。

基于超精研工藝特性，將圓錐滾子超精研看作是滾子與油石接觸面相互研磨的過程[6-7]，滾子凸度的形成看作是滾子表面不均勻磨損的結(jié)果[8]。微觀上，油石磨刃分布狀況是影響滾子材料去除率的主要因素之一，未變形切削厚度直接影響切削比能、工件表面殘余應力及表面粗糙度。借鑒砂輪磨削建模方法，基于國內(nèi)外部分試驗數(shù)據(jù)及經(jīng)驗參數(shù)，對滾子與油石接觸面形狀、油石動態(tài)有效磨刃分布及未變形切削厚度進行計算與分析。為進一步研究油石磨削力、滾子材料去除率，分析變姿態(tài)貫穿式超精研加工機理做準備。

1 貫穿式超精研加工方式

圓錐滾子貫穿式超精研加工如圖1所示，2個導輥做定軸同向旋轉(zhuǎn)，滾子在導輥的驅(qū)動下小端在前、大端在后，自旋貫穿通過導輥，油石以一定的壓力作用在滾子上，沿軸向做高頻往復振蕩。油石超精研面不修整，其形狀由超精研過程決定。貫穿式超精研分為定姿態(tài)貫穿和三段式貫穿2種，定姿態(tài)貫穿又分為正置定姿態(tài)和斜置定姿態(tài)。超精研區(qū)滾子直徑的不斷變化引起油石與滾子相對速度、接觸面形狀、接觸壓力等多個因素的變化。三段式貫穿超精研中，滾子姿態(tài)的不斷變化同樣引起多個因素的變化。

圖1 圓錐滾子貫穿式超精研加工示意圖Fig.1 Diagram of through-feed superfinishing of tapered roller

貫穿式超精研滾子凸度受多種因素影響，且各因素之間存在復雜關(guān)聯(lián)，建模分析難度大。在掌握貫穿式超精研基本特征，不影響模型正確性的前提下做出假設：1)加工滾子過程中，油石加工面是直徑不變的內(nèi)圓柱形曲面，直徑等于滾子大端直徑；2)將滾子沿軸向均勻分割成寬度足夠小的薄片，當切片寬度足夠小，各切片兩端直徑差可以忽略不計，每個切片可以視為一個圓柱體(圖1b)。

基于上述假設，油石與滾子接觸視為直徑不變的內(nèi)圓柱與眾多直徑漸變的外圓柱接觸。先單獨分析一個滾子切片與油石的接觸狀態(tài)，再以此為基礎(chǔ)對整個滾子與油石的接觸狀態(tài)進行分析。

2 周向接觸弧長分析

周向接觸弧長是圓周方向接觸弧長的簡稱，指油石與滾子瞬時接觸弧長。周向接觸弧長在加工過程中動態(tài)變化，受諸多因素的影響，這里借鑒砂輪內(nèi)圓磨削幾何證明方法，得到分段式周向接觸弧長基礎(chǔ)模型，在此基礎(chǔ)上引入實際加工經(jīng)驗和國內(nèi)外參考文獻給出的一些參數(shù)對模型進行修正。

2.1 周向接觸弧長幾何分析

油石與滾子接觸狀態(tài)如圖2所示，圖中：rw為滾子半徑；rs為油石超精研面半徑；φ為滾子在極短時間內(nèi)轉(zhuǎn)動的角度；Δz為分割切片的寬度。磨粒位置在圖2a平面內(nèi)沒有任何位移，滾子旋轉(zhuǎn)引起磨粒對滾子研磨，研磨速度等于滾子旋轉(zhuǎn)線速度。在圖2b平面內(nèi)油石沿z軸高頻振蕩和滾子沿z軸貫穿共同引起磨粒對滾子研磨，研磨速度是二者速度的疊加。油石振蕩速度比滾子貫穿速度大，當振蕩方向和貫穿方向一致時，疊加速度等于振蕩速度減去貫穿速度，反之疊加速度等于二者相加。

圖2 滾子與油石接觸狀態(tài)示意圖Fig.2 Diagram of contact status between roller and oilstone

根據(jù)以上分析，當滾子旋轉(zhuǎn)角度為φ，磨粒的運動軌跡方程為

(1)

式中：nw為滾子旋轉(zhuǎn)速度；fa為滾子貫穿速度；vs為油石振蕩平均速度，當油石振蕩方向與滾子軸向貫穿方向一致時取“-”，方向相反時取“+”；A為油石振幅；f為油石振蕩頻率。

油石振蕩曲線視為正弦曲線，則運動速度為其導數(shù)余弦曲線，因此油石振蕩平均速度為4Af/60。滾子旋轉(zhuǎn)φ角，磨粒在z軸方向位移是油石振蕩位移和滾子沿軸向貫穿位移的疊加，而振蕩方向成周期性變化，因此z軸方向位移如(1)式所示。

(2)

式中：ψ為油石與滾子的接觸角，與油石切入加工表面深度、油石與滾子的彈性變形直接相關(guān)。先不考慮彈性變形，用幾何理論推導公式，在此基礎(chǔ)上再考慮彈性變形，引入變形系數(shù)。

滾子與油石接觸的平面示意圖如圖3所示，as為油石切入加工表面深度，由徑向壓力、接觸面積、油石及滾子的材料性質(zhì)等因素決定，可由試驗測得。由于as的值較小，與as相關(guān)的ψ很小，利用近似原理及幾何關(guān)系得到ψ的近似計算公式為

圖3 滾子與油石接觸角示意圖Fig.3 Diagram of contact angle between roller and oilstone

(3)

式中：ds為油石加工面直徑；dw為離散化滾子直徑，取值為滾子大端直徑與小端直徑之間。將(3)式代入(2)式得到完整的周向接觸弧長計算公式為

(4)

考慮彈性變形對ls的影響,在超精研過程中滾子受到油石的徑向壓力，二者均會發(fā)生微量彈性形變引起周向接觸弧長發(fā)生變化。在砂輪磨削中，砂輪直徑較大且與工件的徑向接觸應力較大，試驗證明實際周向接觸弧長是理論周向接觸弧長的1.3～2.3倍[9]。與砂輪磨削相比，油石的尺寸小且徑向接觸應力小，彈性變形量要小得多，但為了保證計算精度，在此引入一個大于1的系數(shù)kt(精確取值可通過試驗得到)。

超精研中，與油石振蕩速度vs相比，滾子貫穿速度fa很小，滾子貫穿運動對超精研影響不大，為了讓模擬圖簡單直觀，在可接受范圍內(nèi)忽略fa對ls的影響，令[dw(ds-dw)]/ds=de。根據(jù)以上分析，最終整理得到周向接觸弧長為

(5)

2.2 周向接觸弧長影響因素分析

由上述周向接觸弧長公式的證明和分析可知，ls受諸多因素的影響且各因素對其影響程度和影響效果不盡相同。

根據(jù)參考文獻[8-10]設定分析參數(shù)，在kt=1.3，A=1 mm， 8≤dw≤10 mm，ds=10 mm下， MATLAB模擬結(jié)果如圖4所示。

由圖4可知，周向接觸弧長ls隨著圓錐滾子直徑dw的增大而增大，并且從滾子小端到中間部分ls增大的速率較慢，在滾子大端ls增大的速率變快，越接近滾子大端，ls增大的速率越快。這一趨勢不受其他參數(shù)取值的影響，甚至變化速率也不受各參數(shù)的影響。這是因為：油石加工面是直徑等于滾子大端直徑的圓弧曲面，隨著dw不斷增大，超精研區(qū)滾子外形與油石加工面貼合程度逐漸提高，而兩者貼合程度越高ls越大。整個超精研接觸面像一個“幾”字形，這一理論分析結(jié)果符合預期。

圖4a中，在dw相同處ls隨圓錐滾子旋轉(zhuǎn)速度nw的增大而減小，但變化幅度不大，說明nw對ls的影響不是很顯著。從相鄰2條曲線之間的距離可以看出，ls隨nw增大而減小的速率逐漸變慢。

圖4 各參數(shù)對周向接觸弧長ls的影響Fig.4 Effect of parameters on circumferential contact arc length ls

nw增大意味著滾子與油石相對速度增大，即接觸面積必然減小，但是相對速度增大對接觸面積的影響是非線性的，當相對速度大到一定程度，接觸面積基本上不再增長。

圖4b中，在dw相同處，ls隨油石切入加工表面深度as的增大而增大，且變化較明顯，說明as對ls的影響非常顯著，這一結(jié)論與實際情況完全相符。另外，從相鄰2條曲線之間的距離可以看出，ls隨as增大而增大的速率基本保持不變。as是影響ls取值的關(guān)鍵參數(shù)中較容易改變的一個，對分析凸度形成機理具有重要意義。

圖4c中，在dw相同處，ls隨油石振蕩頻率f的增大而增大，變化不是很明顯，說明f對ls的影響不顯著。從相鄰2條曲線之間的距離可以看出，ls隨f增大而增大的速率基本保持不變。這是因為：f增大引起z軸方向的值增大，進而引起ls增大；同時，f增大，滾子與油石相對速度增大，導致接觸面積減小：2種影響相互作用最終導致f對ls的影響不顯著。

3 磨刃數(shù)計算與分析

3.1 磨刃數(shù)模型建立

在油石表面，磨粒高度分布參差不齊，沿油石加工表面徑向確定油石切入加工表面深度as，則可以認為只有包括在該切入深度范圍內(nèi)的磨粒才能真正參與超精研，不在該范圍內(nèi)的磨粒由于高度不夠而沒有辦法參與，因此真正參與超精研過程的油石磨粒與油石表面磨粒數(shù)相比要少得多。試驗表明，單位長度靜態(tài)有效磨刃數(shù)Nt與as直接相關(guān)但不是線性關(guān)系。Nt隨著as增大而增大，且增大速率不斷加快；在as達到某一臨界值時，Nt增大速率達到最大；之后Nt增大速率逐漸變慢，最終Nt的值趨于穩(wěn)定。Nt的計算公式為

(6)

式中：c1為與油石磨刃密度有關(guān)的系數(shù)；ks為與油石磨刃形狀有關(guān)的系數(shù)；p為指數(shù)。單位長度指軸向單位長度。

當油石相對于滾子運動時，部分磨粒的運動軌跡被其前方磨粒的運動軌跡覆蓋，導致這部分磨粒沒有辦法參與加工，因此動態(tài)有效磨刃數(shù)比靜態(tài)有效磨刃數(shù)少，在此引入一個小于1的動態(tài)系數(shù)kd(具體取值可以通過試驗得到)。則在長度為ls的接觸弧上，動態(tài)有效磨刃數(shù)Nd計算公式為

Nd=kdNtls。

(7)

3.2 動態(tài)有效磨刃數(shù)的計算與分析

根據(jù)參考文獻[8-10]設定分析參數(shù)，取c1=4 420 mm2，ks=1，kd=0.6，p=1.5。MATLAB模擬結(jié)果如圖5所示。

圖5 切入加工表面深度as對動態(tài)有效磨刃數(shù)Nd的影響Fig.5 Effect of cutting surface depth ason dynamic valid cutting edge number Nd

由圖5可知，動態(tài)有效磨刃數(shù)Nd隨滾子直徑dw增大而增大，并且從滾子小端到中間部分Nd增大的速率較慢，在滾子大端Nd增大的速率迅速增加，整體趨勢和周向接觸弧長ls相似。不同的是，dw-Nd曲線在滾子小端和中間部分顯得更加平坦即變化幅度更小，到滾子大端附近Nd迅速增大。從(6)式和(7)式也能明顯看出as在所有關(guān)鍵參數(shù)中的特殊性，即as與Nd呈指數(shù)關(guān)系。

在dw相同處，Nd隨油石切入加工表面深度as的增大而迅速增大，說明as對Nd的影響非常顯著，可以通過小幅度改變as來顯著影響Nd，從而引起滾子材料去除率的變化。在同一個滾子超精研過程中，要使?jié)L子素線出現(xiàn)凸度，即滾子軸向各部分材料去除率呈一定規(guī)律性變化，就必須保證Nd相應地呈一定規(guī)律性變化。理論上來看，只需要改變一個或者幾個關(guān)鍵參數(shù)來影響Nd，選擇性非常多。但是在實際加工中，在同一個滾子經(jīng)過油石的過程中，改變其他關(guān)鍵參數(shù)的難度很大。而通過改變導輥曲面形狀來控制滾子運動軌跡，進而控制滾子軸向各部分as的值來改變Nd值是完全可行的。

按照上述方法，通過改變導輥曲面形狀使?jié)L子沿軸向走一條上下運動的波浪線，即as的值成為隨dw先均勻減小后均勻增大的變量。各參數(shù)取值同上，MATLAB模擬結(jié)果如圖6所示。

圖6 切入加工表面深度漸變對動態(tài)有效磨刃數(shù)的影響Fig.6 Effect of gradual change of cutting surface depth on dynamic valid cutting edge number

由圖6可知，dw=9 mm為as均勻遞減和均勻遞增的分界線。as在dw=9 mm處取得最小值0.005 mm，在滾子兩端取得最大值，并逐漸增加滾子小端和大端as的值依次為0.008，0.011，0.014 mm。滾子兩端的Nd值逐漸增大，由于中間位置as=0.005 mm始終不變，出現(xiàn)中間低兩端高且大端明顯比小端更高的“√”形結(jié)構(gòu)。若要求滾子素線出現(xiàn)以中間為對稱軸的對稱凸度，滾子大端材料去除量大，小端材料去除量相對少，中間部分材料去除量最少，那么對應的越靠近兩端Nd值越大，越靠近中間值越小。因此dw-Nd圖像在理論上應該是類似于“√”形結(jié)構(gòu)。

如果設定滾子小端和大端的as相等，大端Nd隨dw增大而增大的速率明顯比小端快很多。圖6中其中一條曲線，小端as最大值為0.014 mm，大端as最大值為0.008 mm。在實際超精研過程中，可以分別控制兩端的as來調(diào)整圖像形狀。文中給定的每一組as值都是先均勻遞減再均勻遞增的，而實際在超精研過程中要想得到標準的對數(shù)凸度，as值一定是從滾子小端到滾子大端按照一定規(guī)律逐漸過度的復雜函數(shù)。除了油石和滾子的材料性質(zhì)，油石壓力和接觸面積是影響as取值的主要因素，而油石壓力又是由滾子軌跡決定的，因此需要對此進行更加深入的量化分析和試驗驗證。

4 磨刃未變形切屑厚度分析

未變形切屑厚度影響磨粒受到的磨削力、比磨削能、磨削區(qū)溫度，從而影響工件表面殘余應力的性質(zhì)、大小和分布，以及加工表面粗糙度[9]。因此，計算超精研未變形切屑厚度，分析各影響因素對加工過程的影響至關(guān)重要。

將磨粒視為錐形磨粒，根據(jù)切削層平均體積確定單個磨刃未變形切屑最大厚度。切削層平均體積等于單位時間內(nèi)被油石切去的金屬體積與單位時間內(nèi)油石表面參加超精研的磨刃數(shù)之比。油石磨刃運動軌跡如圖7a所示，由此得到磨刃的平均切削厚度為

(8)

式中：adg為磨刃的平均切削厚度；Ndd為油石單位面積動態(tài)有效磨刃數(shù);bdg為磨刃的平均切削寬度；vw為滾子旋轉(zhuǎn)線速度。

磨粒的切削模型如圖7b所示，將磨粒視為圓錐體，磨粒半錐角為θ，根據(jù)bdg/adg=4tanθ=C及agmax=2adg，得到磨刃未變形切屑最大厚度為

圖7 幾何證明輔助示意圖Fig.7 Auxiliary diagram of geometric proof

(9)

由(9)式可知，磨刃未變形切屑最大厚度受多種因素影響。agmax隨油石切入加工表面深度as的增大而增大且影響效果與p直接相關(guān)；p值越大，as對agmax的影響就越大。agmax隨油石振幅A、振蕩頻率f、滾子半徑rw及旋轉(zhuǎn)速度nw的增大而減小，這4個參數(shù)對agmax的影響效果完全相同，且任何一個參數(shù)增大都意味著滾子與油石相對速度增大，從而引起agmax減小。同時，agmax隨磨粒半錐角θ的增大而減小。通過(9)式可以量化分析各關(guān)鍵參數(shù)對agmax的影響，為進一步研究超精研過程磨粒受到的磨削力、比磨削能、工件表面殘余應力及粗糙度等奠定基礎(chǔ)。

5 結(jié)論

1)在超精研過程中，圓錐滾子直徑是不斷變化的，這導致周向接觸弧長和有效磨刃數(shù)動態(tài)變化。

2)從周向接觸弧長模型可以看出，周向接觸弧長隨滾子直徑的增大而增大，在滾子小端和中間部分緩慢增大，在滾子大端附近迅速增大；在所有關(guān)鍵因素中，其受油石切入加工表面深度的影響最顯著。

3)動態(tài)有效磨刃數(shù)隨滾子直徑的增大而增大，在滾子小端和中間部分緩慢增大，在滾子大端附近迅速增大；其受到油石切入加工表面深度的影響非常顯著。動態(tài)有效磨刃的分布有利于進一步研究滾子各個部分材料去除率，動態(tài)有效磨刃數(shù)公式是計算材料去除率的基礎(chǔ)。

4)通過改變滾子運動軌跡影響油石與滾子各個部分之間的接觸壓力，從而改變滾子各個部分的切入加工表面深度，進而影響動態(tài)有效磨刃在滾子表面的分布，最終控制滾子各個部分材料去除率。

5)磨刃未變形切削厚度隨油石切入加工表面深度的增大而增大，隨油石振幅、油石振蕩頻率、滾子半徑、滾子旋轉(zhuǎn)速度、磨粒半錐角的增大而減小。