李家賢，張海軍

(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201418)

靜壓氣體軸承具有高轉(zhuǎn)速、無磨損、無污染等特點(diǎn)，在承載及潤滑性能方面優(yōu)于普通氣體軸承，因而受到廣泛關(guān)注[1-8]。隨著制造技術(shù)的進(jìn)步及相關(guān)領(lǐng)域的需求，靜壓氣體軸承向著微型化、高精度方向發(fā)展，如高轉(zhuǎn)速、超薄(振幅小于1 μm)磁頭/盤研究，以及高速轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量偏心距小于0.6 μm條件下的微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)的應(yīng)用等[1-8]。

現(xiàn)有靜壓氣體軸承的氣膜壓力、承載力、剛度等特性分析，主要是在較大氣膜間隙條件下(大于10 μm)基于傳統(tǒng)無滑移模型Reynolds方程[2-7]的數(shù)值分析。然而當(dāng)氣膜間隙接近分子自由程時(shí)，氣體分子在壁面產(chǎn)生稀薄效應(yīng)，引起的滑移流變得極其重要。在此條件下需采用經(jīng)過滑移流修正的模型[9-10]對(duì)靜壓氣體軸承的特性進(jìn)行分析。各滑移修正模型已廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程研究，如通過一階滑移模型分析無孔氣浮軸承的力學(xué)特性，可以得到較好的結(jié)果[8,11-12]。使用Wu提出的新滑移模型可以進(jìn)一步分析稀薄效應(yīng)對(duì)氣浮軸承的氣膜壓力和承載特性的影響[13-15]。

考慮稀薄效應(yīng)的影響，引入一階滑移和Wu新滑移修正項(xiàng)，對(duì)傳統(tǒng)無稀薄效應(yīng)的連續(xù)模型主控Reynolds方程及流出流量進(jìn)行修正，然后采用有限體積法離散Reynolds方程，采用基于流量守恒原理的數(shù)值計(jì)算法求解滑移修正后的模型，并探討稀薄效應(yīng)對(duì)靜壓氣體軸承內(nèi)部壓強(qiáng)、承載力及剛度特性的影響。

1 靜壓氣體軸承建模

1.1 靜壓氣體軸承基本結(jié)構(gòu)

靜壓氣體軸承結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中，D為轉(zhuǎn)子直徑；L為軸長；N為沿周向均勻分布的節(jié)流孔數(shù)；l為節(jié)流孔距最近軸端的距離；d為孔徑；n為轉(zhuǎn)速；e為偏心距；h為氣膜厚度。hm為e=0時(shí)的平均氣膜間隙；θ為周向角；WH，WV分別為沿連心方向的承載力及與連心方向垂直的承載力；P1～P8為不同位置處節(jié)流孔的壓強(qiáng)。

圖1 靜壓氣體軸承結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of aerostatic bearing

1.2 有、無稀薄效應(yīng)的Reynolds方程

假設(shè)氣體可壓縮，流動(dòng)過程為等溫，則傳統(tǒng)連續(xù)、一階滑移及Wu新滑移修正的穩(wěn)態(tài)、量綱一化、定常Reynolds方程可寫為

(1)

Z=z/L，H=h/hm=1+εcosθ，

ε=e/hm，P=p/pa，

式中：Z為量綱一的軸向坐標(biāo)；H為量綱一的氣膜厚度；ε為偏心率；P為量綱一的氣膜壓力；p為氣膜壓力；pa為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓；Λ為壓縮系數(shù)；μ為氣體黏度；Kn為Knussen數(shù);Rg為理想氣體常數(shù)；T為絕對(duì)溫度；dλ為分子直徑；NA為Avogadro常數(shù)。不同模型對(duì)應(yīng)不同的系數(shù)(bs，cs)見表1，其中α為協(xié)調(diào)系數(shù)；f=min[1/Kn,1]為取值函數(shù)。

表1 模型系數(shù)Tab.1 Coefficients of models

1.3 模型的離散與邊界條件

由于氣膜厚度比其他方向幾何尺寸小3～4個(gè)數(shù)量級(jí)且節(jié)流孔徑相對(duì)于軸套周長可以忽略，所以劃分網(wǎng)格時(shí)忽略圓柱表面曲率的影響，并把節(jié)流孔當(dāng)作一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)處理[2-3, 16](圖2)。圖2中灰色陰影部分為用于每個(gè)節(jié)流孔質(zhì)量流量守恒迭代的影響域，大小為(2π/N-2Δθ)×(1/2-2ΔZ)，其中Δθ=2π/m，ΔZ=1/n為網(wǎng)格間距；m，n分別為θ，Z方向網(wǎng)格數(shù)。圖3陰影部分為單個(gè)離散點(diǎn)的控制體積單元。

圖2 離散網(wǎng)格系統(tǒng)Fig.2 Grid system of discrete points

圖3 控制體積單元Fig.3 Unit of control volume

通過有限體積法可將 (1) 式離散為[17]

aPPP=aEPE+aWPW+aNPN+aSPS，

(2)

其中，系數(shù)為

aE=max[(De-Fe/2)ΔZ,0]，

aW=max[(Dw+Fw/2)ΔZ,FwΔZ]，

aN=max[DnΔθ,0]，

aS=max[DsΔθ,0]，

aP=aW+aE+aS+aN+(Fe-Fw)ΔZ，

對(duì)流系數(shù)為

Fe=(ΛH)e，F(xiàn)w=(ΛH)w，

擴(kuò)散系數(shù)為

De=[(1+6bsKn+12csKn)H3P]e/Δθ，

Dw=[(1+6bsKn+12csKn)H3P]w/Δθ，

Dn=(D/2L)2[(1+6bsKn+12csKn)H3P]n/ΔZ，

Ds=(D/2L)2[(1+6bsKn+12csKn)H3P]s/ΔZ。

求解 (2) 式的邊界條件為

大氣邊界：P(θ,Z=0)=1。

周期邊界：P(θ,Z)=P(2π+θ,Z)。

對(duì)稱邊界：(?P/?Z)(Z=0.5)=0。

2 數(shù)學(xué)計(jì)算

2.1 流量守恒及流量修正計(jì)算

假設(shè)氣體流經(jīng)節(jié)流孔為絕熱過程，則流入第σ(σ=1，2，…,N)個(gè)節(jié)流孔的質(zhì)量流量為[16]

(3)

ψσ=

Aσ=πdh，

節(jié)流孔后氣壓Pσ需根據(jù)流入流量Min,σ和流出流量Mout,σ相等的流量守恒原理(圖4，圖中R為徑向)確定。對(duì)第σ個(gè)節(jié)流孔區(qū)域有

圖4 單孔流量守恒原理Fig.4 Flow conserration principle of single hole

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

為了確定迭代收斂條件，定義各區(qū)域流量計(jì)算的誤差為

(9)

2.2 承載力和剛度

對(duì)面積求積分得到由沿連心方向的WH和與連心方向垂直的WV組成的承載力W及剛度K為

(10)

K=ΔW/Δe。

(11)

3 結(jié)果與討論

研究的靜壓氣體軸承參數(shù)為：D=4 mm，L=0.4 mm，l=L/4，N=8，d=0.05 mm。其他參數(shù)：ps=3×105Pa，φ=0.8[4]，k=1.41[16]，Eσ=10-6。

在hm=0.1 μm，ε=0.95，n=1×104r/min下沿θ=0°處的連續(xù)模型、一階滑移和Wu新滑移模型的氣膜壓力分布如圖5所示。由圖可知，各模型的氣壓在最小氣膜間隙處遠(yuǎn)大于其他區(qū)域，并在靠近此處的節(jié)流孔發(fā)生物理回流現(xiàn)象(節(jié)流孔周圍的氣壓大于孔后氣壓)。這是因?yàn)樽钚饽らg隙處的氣膜間隙遠(yuǎn)小于其他區(qū)域，動(dòng)壓效應(yīng)較強(qiáng)，顯著增大了氣壓。而遠(yuǎn)離此區(qū)域的動(dòng)壓效應(yīng)較弱，主要靠氣源壓力起靜壓支承作用，氣壓相對(duì)較小。通過對(duì)比可知，在最小氣膜間隙處，一階滑移、Wu新滑移模型的氣壓明顯小于連續(xù)模型，最高偏差率分別可達(dá)47.5%，61.7%。這是因?yàn)橄”⌒?yīng)對(duì)最小氣膜間隙周圍速度場影響較大，使軸頸表面的切向流速降低、實(shí)際壓縮系數(shù)減小、氣壓降低。

圖5 不同模型的氣膜壓力分布(hm=0.1 μm, ε=0.95,n=1×104 r/min)Fig.5 Gas pressure distribution under different models(hm=0.1 μm, ε=0.95, n=1×104 r/min)

在ε=0.95，n=1×104r/min下，隨著平均氣膜間隙的變化，不同模型承載力和剛度曲線如圖6所示。由圖可知，當(dāng)平均氣膜間隙相對(duì)較大時(shí)，各模型承載力較小、增幅較慢，且差異不明顯;當(dāng)hm<1.0 μm時(shí)，承載力、剛度增幅變快，且結(jié)果偏差隨氣膜間隙的減小而迅速增大。這是因?yàn)閯?dòng)壓效應(yīng)的增強(qiáng)使得承載力變大、增幅變快，間接影響剛度的變化，此外在稀薄效應(yīng)的影響下，最小氣膜間隙處的氣壓顯著降低。而大部分承載力和剛度由最小氣膜間隙周圍的氣壓生成，所以偏差隨著稀薄效應(yīng)的增強(qiáng)而增大。

圖6 平均氣膜間隙變化下不同模型的承載力和剛度曲線(ε=0.95, n=1×104 r/min)Fig.6 Capacity and stiffness curves of different models,under changing overage gas film clearance with ε=0.95, n=1×104 r/min

在hm=0.1 μm，ε=0.90下，隨著轉(zhuǎn)速的變化，不同模型的承載力和剛度曲線如圖7所示。由圖可知，在相對(duì)較低的轉(zhuǎn)速(0.5×104r/min1×104r/min后，動(dòng)壓增幅作用減弱，使承載力的增幅變緩，間接使剛度增幅變緩。各模型之間的承載力及剛度偏差在一定范圍內(nèi)隨轉(zhuǎn)速的增大有顯著偏差。

圖7 轉(zhuǎn)速變化下不同模型的承載力和剛度曲線( hm=0.1 μm, ε=0.90)Fig.7 Capacity and stiffness curves of different models,under changing spead with hm=0.1 μm, ε=0.90

4 結(jié)束語

稀薄效應(yīng)對(duì)靜壓氣體軸承承載和剛度特性的影響隨氣膜間隙的變化而改變顯著。在微小氣膜間隙條件下，連續(xù)模型高估了靜壓氣體軸承在最小氣膜間隙周圍的壓強(qiáng)、承載力及最終剛度，且結(jié)果偏差隨氣膜間隙的減小而增大，已無法用于靜壓氣體軸承特性的分析，需考慮稀薄效應(yīng)的影響。綜合考慮物理上的真實(shí)性和稀薄效應(yīng)的影響，使用滑移修正項(xiàng)對(duì)主控方程、流出流量進(jìn)行修正，最終可得到較好的靜壓氣體軸承特性，為微尺寸下靜壓氣體軸承的設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。