張建生，王一夫，馬嘯宇，吳璇

(1.南通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，江蘇 南通 226019；2.常州工學(xué)院 電氣與光電工程學(xué)院，江蘇 常州 213002)

磁軸承是利用電磁力將轉(zhuǎn)子進(jìn)行無機(jī)械接觸的懸浮支承[1]，是一種結(jié)合機(jī)械工程、電子電氣工程、計算機(jī)科學(xué)等學(xué)科的新型軸承技術(shù)。與傳統(tǒng)軸承相比，磁懸浮軸承具有無摩擦、無需潤滑、無污染、轉(zhuǎn)速高和精度高等優(yōu)點。目前，磁軸承在真空和潔凈空間系統(tǒng)、高精度機(jī)械設(shè)備、醫(yī)療設(shè)備和透平機(jī)械等方面得到了廣泛應(yīng)用。

通過對單自由度主動磁懸浮軸承系統(tǒng)分析可知，該系統(tǒng)是開環(huán)不穩(wěn)定的，因此需要進(jìn)行閉環(huán)控制，但普通的閉環(huán)控制仍不能使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，所以需要另加一個PID控制器。在PID控制器中，如何對參數(shù)KP，KI，KD進(jìn)行準(zhǔn)確設(shè)置一直是需要解決的問題[1]。

粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)能夠快速并且準(zhǔn)確地找到全局最優(yōu)解，并且已證明在多種優(yōu)化環(huán)境中都可以進(jìn)行應(yīng)用。與傳統(tǒng)優(yōu)化算法相比，其全局搜索能力更強(qiáng)、計算速度更快。但標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法仍有一些細(xì)節(jié)需要改進(jìn)，因此，設(shè)計一種隨機(jī)權(quán)重粒子群算法來優(yōu)化磁懸浮軸承系統(tǒng)的PID控制。

1 單自由度主動磁懸浮軸承控制系統(tǒng)

磁懸浮軸承按照磁力的供給方式可以分為主動磁懸浮軸承、被動磁懸浮軸承、混合磁懸浮軸承[2]。為了控制軸承轉(zhuǎn)子的5個自由度，主動磁懸浮軸承系統(tǒng)共需10個放大器。僅對單自由度主動磁懸浮軸承控制系統(tǒng)進(jìn)行分析，其模型如圖1所示。

圖1中，在轉(zhuǎn)子的某一個徑向(軸向)自由度位置上，上、下2個電磁鐵作為定子，分別安裝在轉(zhuǎn)子周邊對稱位置上，轉(zhuǎn)子受到2個電磁鐵的吸引力和重力的合力，在該自由度的某一個位置上實現(xiàn)懸浮。在該自由度方向，通常會安裝1個或多個位移傳感器實時檢測轉(zhuǎn)子的位移變化。

當(dāng)位移傳感器檢測到轉(zhuǎn)子偏離平衡位置時，傳感器發(fā)出的反饋信號Ux與系統(tǒng)的初始參考信號Ur進(jìn)行對比，其偏差信號Ue經(jīng)過控制器計算處理后轉(zhuǎn)換成控制信號Uc，Uc經(jīng)過驅(qū)動電路和功放主電路后轉(zhuǎn)換成電磁鐵線圈中的控制電流，最終通過改變電磁鐵中的電磁力使轉(zhuǎn)子恢復(fù)到初始平衡位置。

忽略轉(zhuǎn)子和定子鐵芯中的渦流、磁阻、磁滯和繞組漏磁等，根據(jù)電磁學(xué)相關(guān)原理，線圈電流i產(chǎn)生的電磁力為

(1)

式中：x為轉(zhuǎn)子與電磁鐵之間的距離；μ0為真空磁導(dǎo)率，μ0=4π×10-7H/m；S0為氣隙截面積；N為電磁鐵線圈匝數(shù)。

轉(zhuǎn)子在垂直方向上受到上、下2個電磁鐵產(chǎn)生的電磁力為

(2)

(3)

式中：m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；g為重力加速度。由(3)式可知，磁軸承的數(shù)學(xué)模型是一個二次非線性微分方程，電磁力與線圈電流、轉(zhuǎn)子位移之間呈非線性關(guān)系?？赏ㄟ^一些線性控制策略來處理這樣的非線性微分方程。因此，電磁力F中的力/位移與力/電流的非線性關(guān)系可以在靜態(tài)工作點(x0，i0，mg)處做線性化處理。該工作點表示在一個理想的平衡位置，此時磁場力Fm(x0,i0)=mg，其線性化關(guān)系曲線如圖2所示[3]，F(xiàn)=Fm-mg。

圖2 工作點線性化

將(1)式在平衡點x=x0，i=i0處作Taylor級數(shù)展開[4]，舍去二次及以上高次項，再代入偏導(dǎo)數(shù)計算，此時F(x,i)可以表示為

Ks(x-x0)-Ki(i-i0),

(4)

式中：Ks為位移剛度系數(shù)；Ki為電流剛度系數(shù)。

由于在平衡點(x=x0，i=i0)處Fm(x0,i0)=mg，將(4)式代入(3)式可得線性化處理后的磁軸承系統(tǒng)開環(huán)數(shù)學(xué)模型為

(5)

將(5)式進(jìn)行Laplace變換并化簡，得到磁懸浮軸承系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(6)

2 隨機(jī)權(quán)重粒子群算法

2.1 粒子群算法簡介

粒子群算法[6]易實現(xiàn)、收斂迅速且精度高，能夠在解決實際問題當(dāng)中發(fā)揮其優(yōu)越性。

圖3 粒子位置的更新方式

各粒子根據(jù)以下公式更新各自的位置和速度

vid=wvid+c1r1(pid-xid)+c2r2(pgd-xid)，

(7)

(8)

式中：c1，c2為學(xué)習(xí)因子；r1，r2為[0，1]范圍內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)。

2.2 隨機(jī)權(quán)重粒子群算法

慣性權(quán)重w在粒子群算法中十分重要，增大w值可以提高算法的全局搜索能力；減小w值則可以提高局部搜索能力。因此，為避免算法陷入局部最優(yōu),提高搜索效率，需要找到最為合適的慣性權(quán)重w。

粒子當(dāng)前位置在全局當(dāng)中是否合適可以通過其適應(yīng)度來反映。適應(yīng)度較高的粒子pi所在的區(qū)域可能存在能夠更新全局最優(yōu)點的px。所以，要及時更新px并迅速找到全局最優(yōu)解，就應(yīng)減小粒子pi的慣性權(quán)重w，提高粒子局部尋優(yōu)能力；同時，對于當(dāng)前位置較差的粒子，須跳出當(dāng)前所在區(qū)域，此時應(yīng)增大慣性權(quán)重w，提高粒子全局搜索能力，從而更快地找到全局最優(yōu)點。

隨機(jī)權(quán)重粒子群算法的原理是將標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中的慣性權(quán)重w設(shè)定為一個隨機(jī)數(shù)。該方法的2個優(yōu)點為：如果粒子在尋優(yōu)的初始階段就接近最優(yōu)點，此時隨機(jī)產(chǎn)生的慣性權(quán)重w可能是比較小的值，這樣就能夠加快算法的收斂速度;解決了線性遞減w帶來的算法不能收斂到最優(yōu)點的問題。

算法中慣性權(quán)重的修改公式為

w=w′+σ×N(0,1)，

(9)

w′=wmin+(wmax-wmin)×rand(0,1)，

(10)

式中：N(0，1)為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)；σ為隨機(jī)權(quán)重方差；wmax，wmin分別為慣性權(quán)重最大值、最小值。

隨機(jī)權(quán)重粒子群算法的步驟如下：

1)隨機(jī)設(shè)置每個粒子的速度和位置。

2)計算各粒子的適應(yīng)度值，將其此時的位置信息和適應(yīng)度值儲存在個體極值pbest中，再找出全部個體極值pbest中適應(yīng)度值最優(yōu)的個體，將其適應(yīng)度值及位置信息保存到全局極值gbest中。

3)更新粒子的位置和速度

xi,j(t+1)=xi,j(t)+vi,j(t+1)；

vi,j(t+1)=wvi,j(t)+c1r1[pi,j-xi,j(t)]+c2r2[pg,j-xi,j(t)];j=1,2,…,d。

4)按照(9),(10)式更新權(quán)重。

5)將各粒子的適應(yīng)度值和此時粒子中最優(yōu)個體的適應(yīng)度值進(jìn)行比較，若該粒子的適應(yīng)度值更好，就將當(dāng)前位置作為粒子的最優(yōu)位置。依次比較當(dāng)前所有個體極值pbest和全局極值gbest，更新gbest。

6)當(dāng)算法達(dá)到最終要求時，停止搜索過程，同時輸出搜索結(jié)果；否則，返回第3步繼續(xù)在群體中進(jìn)行搜索。

2.3 函數(shù)測試

將對隨機(jī)權(quán)重粒子群算法和線性遞減權(quán)重粒子群算法進(jìn)行函數(shù)測試對比。將用到3個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)，假如在測試過程中某種粒子群算法體現(xiàn)出更好的性能，則在實際應(yīng)用過程中就可以運(yùn)用這種粒子群算法。

1)Sphere函數(shù)[7]

(11)

算法中相關(guān)參數(shù)設(shè)置：學(xué)習(xí)因子c1=2，c2=2；最大迭代次數(shù)M=100；搜索空間維數(shù)d=30；初始化種群個體數(shù)目N=50；慣性權(quán)重wmax=0.8，wmin=0.6；隨機(jī)權(quán)重方差σ=0.3[8]。

Sphere函數(shù)測試曲線如圖4所示。圖中R-PSO為隨機(jī)權(quán)重粒子群算法，L-PSO為線性遞減權(quán)重粒子群算法。

圖4 Sphere函數(shù)測試曲線圖

2)Rosenbrock函數(shù)[7]

(12)

算法中相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：學(xué)習(xí)因子c1=2，c2=2；最大迭代次數(shù)M=100；搜索空間維數(shù)d=30；初始化種群個體數(shù)目N=50；慣性權(quán)重wmax=0.8，wmin=0.6；隨機(jī)權(quán)重方差σ=0.3。

Rosenbrock函數(shù)測試曲線如圖5所示。

圖5 Rosenbrock函數(shù)測試曲線圖

3)Rastrigin函數(shù)[7]

(13)

算法中相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：學(xué)習(xí)因子c1=2，c2=2；最大迭代次數(shù)M=400；搜索空間維數(shù)d=30；初始化種群個體數(shù)目N=50；慣性權(quán)重wmax=0.8，wmin=0.6；隨機(jī)權(quán)重方差σ=0.3。

Rastrigin函數(shù)測試曲線如圖6所示。

圖6 Rastrigin函數(shù)測試曲線圖

以上圖中2條曲線表示2種粒子群算法所優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度值隨迭代次數(shù)的增加而趨向測試函數(shù)最小值的結(jié)果。從圖4～圖6中可以看出：隨機(jī)權(quán)重粒子群算法相對于線性遞減權(quán)重粒子群算法能夠更快、更準(zhǔn)確地找出3個測試函數(shù)的最小值。因此，可以認(rèn)為隨機(jī)權(quán)重粒子群優(yōu)化算法能夠很好地應(yīng)用在磁懸浮軸承系統(tǒng)的優(yōu)化問題中。

3 系統(tǒng)實例仿真分析

單自由度主動磁懸浮軸承系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖7所示[9]，其為帶有PID控制器的閉環(huán)控制回路，其中PID控制器為[10]

(14)

圖7 主動磁懸浮軸承系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)輸入為單位階躍響應(yīng)，再根據(jù)自控原理進(jìn)行相應(yīng)的傳遞函數(shù)計算和Laplace變換，可以得到e(t)，u(t)和c(t)表達(dá)式，同時可計算出上升時間tu。

在磁軸承系統(tǒng)中，目標(biāo)函數(shù)可以在時域內(nèi)得到，即將e(t)，u(t)和c(t)進(jìn)行加權(quán)，加權(quán)之和作為目標(biāo)函數(shù)[2]。為了使系統(tǒng)得到較好的響應(yīng)，將目標(biāo)函數(shù)的最小值作為優(yōu)化目標(biāo)。取目標(biāo)函數(shù)為

(15)

設(shè)計目標(biāo)函數(shù)時，要考慮超調(diào)量對系統(tǒng)的影響，因此需將超調(diào)量進(jìn)行加權(quán)作為目標(biāo)函數(shù)的一項，則目標(biāo)函數(shù)為

w3tu，

(16)

式中：w1，w2，w3和w4為權(quán)值。取w4>>w1，使得數(shù)值較大者在迭代過程中逐漸被群體拋棄，取w1=0.8，w2=0.001，w3=20，w4=100；ey(t)=y(t)-y(t-1)，y(t)為系統(tǒng)輸出[11]。

得到目標(biāo)函數(shù)后，運(yùn)用隨機(jī)權(quán)重粒子群優(yōu)化算法對PID控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。此時目標(biāo)函數(shù)f為包含KP，KI和KD的公式，通過隨機(jī)權(quán)重粒子群算法對目標(biāo)函數(shù)f進(jìn)行運(yùn)算，在迭代過程中找出優(yōu)化后的KP，KI和KD，見表1，目標(biāo)函數(shù)的迭代過程如圖8所示。

圖8 目標(biāo)函數(shù)迭代圖

表1 仿真圖參數(shù)表

在MATLAB/Simulink中構(gòu)建磁軸承系統(tǒng)的模型進(jìn)行仿真研究[12]，系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖9所示。圖中ZN法是一種在PID參數(shù)設(shè)定中處于經(jīng)驗和計算法之間的中間方法，該方法可以為PID控制器設(shè)置較為準(zhǔn)確的參數(shù)，此后也可以根據(jù)實際情況進(jìn)行微調(diào)。在單自由度主動磁懸浮軸承系統(tǒng)中，相關(guān)參數(shù)的實際數(shù)值為：Ks=-2.102 8×106N/m，Ki=420.56 N/A，m=12 kg，放大器系數(shù)Ka=3.6，傳感器系數(shù)Kb=5 000 V/m。

圖9 系統(tǒng)時間響應(yīng)曲線

從圖9和表1可以看出，相對于傳統(tǒng)ZN法，2種粒子群算法都能夠提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性；比較分析可知，隨機(jī)權(quán)重粒子群算法可以使系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到進(jìn)一步地提高，說明隨機(jī)權(quán)重粒子群算法可以很好地優(yōu)化主動磁懸浮軸承控制系統(tǒng)。

4 結(jié)束語

將隨機(jī)權(quán)重粒子群算法與傳統(tǒng)PID控制相結(jié)合，優(yōu)化了控制器中的相關(guān)參數(shù)，使傳統(tǒng)PID控制器能夠更好地提高主動磁懸浮軸承系統(tǒng)的穩(wěn)定性。隨機(jī)權(quán)重粒子群算法能夠運(yùn)用在主動磁懸浮軸承系統(tǒng)中，并且能夠推廣到其他相關(guān)應(yīng)用領(lǐng)域，后續(xù)會進(jìn)行相關(guān)試驗來驗證算法的準(zhǔn)確性。