史振毅

[摘 要] 解題是怎么回事？學(xué)生中十有八九還沒弄清楚. 本質(zhì)上來說，解題就是不斷將陌生的問題、生疏的情境轉(zhuǎn)換為熟悉的知識，這需要思考. 對于這種思考最關(guān)鍵的因素是合理利用知識，學(xué)會轉(zhuǎn)化.

[關(guān)鍵詞] 解題；充要性；數(shù)學(xué)；轉(zhuǎn)化；函數(shù)；思維；提升點

數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)是不斷轉(zhuǎn)化，將陌生的問題、生疏的情境轉(zhuǎn)換為熟悉的知識進行表述，這也是波利亞談在《如何解題》一書中說起的.對學(xué)生而言，學(xué)生并不明白解題的本質(zhì)是什么，為什么解題需要這樣去表述. 從某種意義上來說，諸如這樣的問題完全可以不用解：{x∈R

x2+1=0}= ，因為沒有解的必要.再者，這樣的問題一直在中學(xué)教師表述中存在爭議：當(dāng)a≥0時，不等式（x-a）（x-2a）>0的解集為多少？大部分教師認(rèn)為需要分類討論，即a>0和a=0；少部分教師認(rèn)為不需要分類，只要直接寫出答案即可（筆者贊同）. 這樣的問題不少，都是在將問題用更為簡潔的形式表述.

學(xué)生學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)中的“充要條件”后，對解數(shù)學(xué)問題的理解可以更進一步.用一個簡單的案例來說：方程=0?x2-1=0?x=±1. 我們可以認(rèn)為，小學(xué)生能認(rèn)得右端，初中生可以認(rèn)識中間，高中生可以看明白左端，但是從充要條件的角度來說，本質(zhì)是一樣的. 因此筆者想說，高中數(shù)學(xué)中的復(fù)雜問題，教師如何一步一步“庖丁解牛”式地讓學(xué)生理解、思考，而促成這種理解和思考最關(guān)鍵的因素是合理的轉(zhuǎn)化.

[?] 思維高度促成合理轉(zhuǎn)化

學(xué)生的數(shù)學(xué)解題知識片面、欠缺，信息渠道非常的單一. 對數(shù)學(xué)知識停留在一些孤立的知識點上，而且非常的不全面，談不上將知識點“串成線，連成面”，知識的建構(gòu)非常的脆弱，缺少知識點之間的橫向和縱向聯(lián)系的“橋梁”，所以一遇到困難問題，就打破了現(xiàn)有知識的平衡，“亂了方寸”，缺乏“理論—實踐—再理論—再實踐”能力，即轉(zhuǎn)化不夠合理.

問題1：設(shè)實數(shù)a，b使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0有實根，求a2+b2的最小值.

分析：本題初看是一道四次方程問題，但是中學(xué)數(shù)學(xué)顯然不能解決如此高次的方程. 程度較弱的學(xué)生完全沒有思路求解，中等生想到的是將四次方程分解為兩個兩次方程的積來處理，但是這個分解難度較大，嘗試了多次沒有獲得成功. 這說明，學(xué)生對于問題進行了力所能及的直覺性思維的思考，但是顯然對于本題來說，這種直覺性思維還遠遠不夠. 此時教師要恰當(dāng)介入，讓學(xué)生形成如何促成合理的轉(zhuǎn)化.

師：本題是四次方程，但是我們一般能解決的都是二次為主的方程，同學(xué)們剛剛嘗試了分解，但都失敗了，我們回到本題的初始地點，回頭再細細梳理一下問題. 四次方程有實根，但是不可能直接去解決四次方程，但是又無法進行分解？如何把四次方程變成兩次方程呢？

生1：既然分解行不通，能否直接降次？對方程兩邊同除以x2試試？

師：同學(xué)們的嘗試很到位！這是站在一定高度思考的結(jié)果！因為四次方程必定要降解才能解決，因此在因式分解未能成功的前提下，選擇降次結(jié)合整體思想獲得了成功，可以說同學(xué)們的處理在偶然中蘊含著必然. 接下去的解決應(yīng)該比較容易了.

說明：本題對于學(xué)生而言，最難的是如何將其轉(zhuǎn)換為二次方程. 筆者認(rèn)為，站在系統(tǒng)的高度思考問題才是關(guān)鍵. 正是因為有了“四次”轉(zhuǎn)換為“兩次”的基本思考方向，那么“分解、降次”等技巧才有了用武之地. 用羅增儒教師的話說就是：教學(xué)要站在系統(tǒng)的高度思考問題，這樣的教學(xué)才能讓學(xué)生明白轉(zhuǎn)換的“充要性”，將問題不斷變化、變化，直到所需達到的最簡潔形態(tài).

[?] 方法策略形成有效轉(zhuǎn)化

由于學(xué)生原有知識建構(gòu)的松散，不完善，所以在具體知識和思想運用的時候很難找到理論知識、思想方法與實際問題之間的聯(lián)系，主要體現(xiàn)在長時間的讀題和讀題后的沉默，將大量的時間花在思索這個題老師講過沒有，有沒有做過一模一樣的. 缺乏一種主體意識：將教師課堂上所講的知識點、數(shù)學(xué)思想方法和在具體問題中的切換與轉(zhuǎn)化的技能為自己所用，與已有的知識進行必要的建構(gòu)和重組，然后在解題時靈活運用，更缺乏靈活運用創(chuàng)新的能力. 因此從學(xué)生角度來說，初級階段更多是對知識的模式識別后的使用，后期才是系統(tǒng)運用，這就需要方法策略的積累，有效促成問題的合理轉(zhuǎn)化.

分析：本題是典型的高一函數(shù)經(jīng)典問題. 初學(xué)者往往對這樣的問題無從下手，這說明學(xué)生沒有形成合適的策略、有效的方法. 讓我們一步一步分析這道經(jīng)典問題.

解剖1：函數(shù)值域解決的基本方法是研究函數(shù)的單調(diào)性；

解剖3：分析定義域?qū)栴}的影響，是否能將底數(shù)的取值范圍限制在一個更小的取值范圍內(nèi)？

說明：本題最難的轉(zhuǎn)化在步驟3，這得益于方程策略的運用，通過本題的“充要條件”，將函數(shù)問題剖析成一步一步、嚴(yán)密思考、合理推敲，并在這一過程中轉(zhuǎn)化為方程根的問題，最后利用方程根與系數(shù)的關(guān)系重新整理為二次函數(shù)F（x）=x2+（a-1）x+2a-2a2，這種函數(shù)—方程—函數(shù)的方法策略是解決根與系數(shù)關(guān)系典型的優(yōu)質(zhì)方式，成為轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵.

[?] 思想視角形成獨特轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)思想的運用成為有效轉(zhuǎn)化最為獨到的一面. 不少問題缺乏的正是數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)，正是缺乏思想導(dǎo)致問題的解決陷入困境. 教師要去引領(lǐng)的正是一種境界，是引導(dǎo)學(xué)生問題解決的一種“豁然開朗”的思想境界.

分析：本題是一道全國聯(lián)賽初賽試題.從問題本身來看，我們不難發(fā)現(xiàn)在點坐標(biāo)均已知的前提下，利用向量的二維關(guān)系=λ，獲得兩個代數(shù)方程以及兩個三角方程（sin2α+cos2α=1等），從代數(shù)方程中初步來看應(yīng)該有五個元：sinα，cosα，sinβ，cosβ，λ，通過四個方程理論上可以找到諸如λ=f（sinα）或其他量的函數(shù)關(guān)系式，但是其中的代數(shù)運算是中學(xué)生難以達到的.若能從思想的角度重新審視本題，自然可以得到不同的解題轉(zhuǎn)化視角.

說明：獨特的思想引領(lǐng)視角，是解決特殊問題的轉(zhuǎn)化途徑.本題若用純代數(shù)方式解決，中學(xué)生是難以解出最終的答案的，而以獨特的思想視角找尋突破口成為關(guān)鍵.

轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)問題解決的路徑，這一路徑需要我們從多種角度去思考，有正確的方法策略、有系統(tǒng)的思想指導(dǎo)、有獨特的數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)，讓這種轉(zhuǎn)化、充要性得到了實現(xiàn).筆者認(rèn)為，要提升學(xué)生轉(zhuǎn)化的能力從上述幾個新的視角入手遠比就題論題式的訓(xùn)練更為有效、更為高瞻遠矚.