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軌跡法解一類三角形面積最值的梳理

2017-07-26 00:48趙志強(qiáng)
關(guān)鍵詞:最值

趙志強(qiáng)

[摘 要] 關(guān)于最值問(wèn)題通常的思路是借助函數(shù)或基本不等式來(lái)著手處理,對(duì)于本文中所涉及的三角形最值問(wèn)題可以用上述一般方法來(lái)處理,而更機(jī)智的處理方式是用軌跡法刻畫三角形的第三個(gè)點(diǎn)的軌跡,利用軌跡的幾何性質(zhì)尋找與底邊相對(duì)應(yīng)的最長(zhǎng)的高,從而確定三角形面積的最大值.

[關(guān)鍵詞] 軌跡法;三角形面積;最值

求曲線的方程是高中數(shù)學(xué)選修2-1的中的內(nèi)容,根據(jù)問(wèn)題情境所給條件求解點(diǎn)所滿足的軌跡方程,利用點(diǎn)滿足軌跡的幾何或代數(shù)性質(zhì)進(jìn)而解決與之相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法通常被定義為軌跡法. 本文所討論的問(wèn)題是軌跡法運(yùn)用于三角面積最值求解,這類問(wèn)題存在兩個(gè)明顯的要件:其一,三角形某一邊為定值;其二,另外兩邊滿足一定的數(shù)量關(guān)系,具體的形式可以兩邊成比例、邊的向量數(shù)量積為定值,抑或是邊存在平方和或差的數(shù)量關(guān)系等等.

[?] 實(shí)踐探索:相似問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)端倪

最近在瀏覽數(shù)學(xué)學(xué)科網(wǎng)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)求解曲線方程的專題訓(xùn)練,然而專題中的一組示三角形面積最大值的題目與專題的名稱看似卻不怎么搭調(diào).這引發(fā)了筆者的興趣,現(xiàn)將這些例題呈現(xiàn)如下:

但既然出題人將這些問(wèn)題放到一個(gè)專題中一定有其用意,再次觀察不難發(fā)現(xiàn)這些問(wèn)題都有一個(gè)共同的特點(diǎn):這些三角形必定有一邊是定值,而另外兩邊又存在著一定數(shù)量關(guān)系. 所以若將為定值邊的兩點(diǎn)固定在坐標(biāo)軸上,那題目就會(huì)變成動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離滿足一定數(shù)量關(guān)系,所以就可求動(dòng)點(diǎn)的軌跡. 當(dāng)軌跡知道后,只需尋到軌跡上到x軸距離最遠(yuǎn)的點(diǎn),即可求得三角形的最大面積. 也許這就是求解問(wèn)題的突破口,帶著這樣的猜想筆者試著將上述問(wèn)題進(jìn)行了再次求解.

按照同樣的方法建系求軌跡,可知例2建系后求得C點(diǎn)軌跡方程為(x+4)2+y2=12(y≠0),圓周上到底面最長(zhǎng)的高為半徑,所以Smax=4;例3雖不是邊長(zhǎng)的比例但條件中存在向量數(shù)量積的數(shù)量關(guān)系,所以建系后可得A點(diǎn)軌跡議程為x2+y2=9(y≠0),所以三角形面積最大值為6;例4中存在邊長(zhǎng)平方和的數(shù)量關(guān)系,建系后可得C點(diǎn)的軌跡方程為:x2+y2=3(y≠0),所以三角形面積最大值為.

通過(guò)對(duì)上述幾道問(wèn)題的解決我們不難發(fā)現(xiàn)這種問(wèn)題的解題思路就是利用軌跡法求解動(dòng)點(diǎn)軌跡,借助動(dòng)點(diǎn)軌跡圖形的幾何性質(zhì)來(lái)求解最值.

[?] 理論歸納:系統(tǒng)分析后總結(jié)規(guī)律

通過(guò)實(shí)踐的運(yùn)算,我們驗(yàn)證了猜想,那么這些問(wèn)題的本質(zhì)是什么呢?它們有現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題原型嗎?帶著這些問(wèn)題我們進(jìn)行了如下系統(tǒng)的理論分析.

要分析這類問(wèn)題的本質(zhì)首先要尋找這類問(wèn)題的共同點(diǎn),粗看上述各個(gè)例題,也許僅能找到一個(gè)共同點(diǎn),即它們有一個(gè)邊是定值,而另外的已知條件各不相同:有的是邊成比例、也有的是邊的向量數(shù)量積為定值、更有邊的平方關(guān)系. 但仔細(xì)分析這些不同的條件,其實(shí)在本質(zhì)上它們是一致的,即另外兩邊滿足一定的數(shù)量關(guān)系. 以定值的邊為x軸建系后三角形已知邊的兩點(diǎn)則為定點(diǎn),平面中能與兩定點(diǎn)構(gòu)成三角形并且滿足數(shù)量關(guān)系的點(diǎn)并不唯一. 所以三角形的第三個(gè)點(diǎn)在平面中表現(xiàn)為某一種軌跡,而這個(gè)軌跡可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程來(lái)刻畫. 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡是一個(gè)規(guī)則圖形時(shí),可以根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)來(lái)尋找軌跡上到底邊距離最長(zhǎng)的點(diǎn),從而可求三角形面積的最大值. 所以,我們認(rèn)為這類問(wèn)題的本質(zhì)是以動(dòng)點(diǎn)軌跡為載體求解三角形面積最值,其核心要件是點(diǎn)軌跡的刻畫. 眾所周知,刻畫動(dòng)點(diǎn)軌跡有多種方法諸如定義法、相關(guān)點(diǎn)法、交軌法、直接法等等方法. 而像上述幾道例題這樣運(yùn)用滿足數(shù)量關(guān)系來(lái)建立方程的方法被稱為直接法. 所以解決這類問(wèn)題的思路就是以直接法來(lái)求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,根據(jù)軌跡方程判斷軌跡圖形,根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)來(lái)尋找與定值邊相對(duì)應(yīng)的最長(zhǎng)的高,進(jìn)而求解三角形面積的最大值.

通過(guò)查閱資料我們發(fā)現(xiàn)上述類型的問(wèn)題在過(guò)往的高考中存在相似的原型,江蘇省2008年高考卷第十三題:“滿足條件,AB=2,AC=BC的三角形ABC面積的最大值是多少?”這與我們例1、例2(新鄉(xiāng)2016年模擬)幾乎是一樣的. 通過(guò)查閱當(dāng)年的高考答案評(píng)析,我們發(fā)現(xiàn)這道題的出題意圖就是考查學(xué)生求解曲線方程的知識(shí). 評(píng)析這么確信考試意圖就是考曲線方程是因?yàn)樵谡n本(蘇教2-1)求曲線方程這一節(jié)中我們能找到問(wèn)題的原型:“求平面內(nèi)到兩定點(diǎn)A、B距離之比等于2的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡”. 因?yàn)槭莾啥c(diǎn),所以顯然AB的長(zhǎng)度固定,這與AB=2相似;動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為2,即=2,這又與高考題中AC=BC吻合. 當(dāng)然有人會(huì)提出質(zhì)疑:例3、例4并未與課本例題有相似的條件. 我們認(rèn)為比例關(guān)系僅僅是數(shù)量關(guān)系的一種表現(xiàn)形式而已,只要問(wèn)題情境中存在著動(dòng)點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系就可利用直接法求解點(diǎn)軌.課本的例2顯然是這類問(wèn)題的根源所在,而這類問(wèn)題所考查的對(duì)象也一定是曲線方程的求解.

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