侯禹++鄭瑩瑩

[摘 要] 本文通過對不同題目結(jié)構(gòu)、形式的認(rèn)識、分析，找到更加合理、簡潔的解題方法.說明對學(xué)生認(rèn)真觀察、分析問題培養(yǎng)的重要性.

[關(guān)鍵詞] 認(rèn)知結(jié)構(gòu)；代數(shù)結(jié)構(gòu)；解題

在學(xué)生看來，已知條件多的題目往往更容易入手，就怕遇到已知條件較少的問題. 其實當(dāng)已知條件較少，尤其是已知條件以代數(shù)式的形式給出的題目，主要是考查學(xué)生對其結(jié)構(gòu)、形式的認(rèn)識，而能將代數(shù)式的結(jié)構(gòu)分析清楚，會使解題方法簡便得多，從而達(dá)到事半功倍的效果.

點評：此方法運用了積化和差的方法.但這種方法大綱并沒有要求學(xué)生掌握，是無法操作的. 那么該如何將這個問題轉(zhuǎn)化成我們所學(xué)習(xí)過的知識呢？如果注意到這樣的二次齊次型恰好和三角形的余弦定理結(jié)構(gòu)相似，而且談角的問題常用到三角形作為載體，那么我們自然會想到構(gòu)以a=sin5°，b=sin55°為邊的三角形.

解法二：

點評：此方法充分利用代數(shù)式特征，結(jié)合已學(xué)知識，利用課本的定理解決了這樣的問題.

綜上，函數(shù)f（x）的值域為[1，2].

點評：此方法利用了最傳統(tǒng)的三角代換，充分利用三角函數(shù)正余弦平方和為定值的特征解決問題，是學(xué)生較容易掌握的方法，在高一階段即可解決.

解法二：

點評：此方法是學(xué)生在學(xué)習(xí)了向量知識后，由代數(shù)結(jié)構(gòu)的特征構(gòu)造了向量數(shù)量積的運算，充分利用a，b模為定值，將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角的問題.

解法三：

在此處與解法二前面是一樣的，在學(xué)生學(xué)完高二的知識后，又多了一樣工具就是圓錐曲線，那么此問題即為在點A（1，0），B（0，）以及橢圓u2+v2=1在第一象限的范圍內(nèi)，其目標(biāo)函數(shù)z=u+v的最值.

如圖3，易知，當(dāng)u=-v+z與橢圓相切時，z取得最大值.

點評：此方法是學(xué)生在高二學(xué)習(xí)了圓錐曲線及線性規(guī)劃后，掌握的又一類求最值的方法.

由此例我們看出對代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識是非常重要的. 隨著學(xué)生知識的增長，同一個問題可以從不同角度認(rèn)識，則即會產(chǎn)生不同的方法，那么我們平時可以多積累這樣的問題，讓學(xué)生明白他們所學(xué)習(xí)的知識是相通的. 另外此問題也可用柯西不等式求解，此處就不再贅述了.

從以上兩個比較具有代表性的問題可以看出，對代數(shù)式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行充分的認(rèn)識，往往可以簡化我們的問題. 向?qū)W生滲透一些類似的思想方法，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，對數(shù)學(xué)問題有更高的認(rèn)識與理解，也常常讓學(xué)生在解決一些條件較少的困難問題時，能夠做到事半功倍.