黃亞太，林光春，黃 亮

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065)

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三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置及工作空間分析*

黃亞太，林光春，黃 亮

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065)

提出了一種面向重工業(yè)的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)(3RPS-3UPS)。對(duì)其機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析，基于符號(hào)法建立了機(jī)構(gòu)位置分析的數(shù)學(xué)模型。利用齊次位姿變換建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)約束方程并應(yīng)用結(jié)式消元法求得位置正解的封閉解。通過分析求得工作空間的邊界條件，并結(jié)合位置分析進(jìn)行工作空間分析的推導(dǎo)。最后應(yīng)用MATLAB軟件編程，結(jié)合實(shí)例進(jìn)行位置正解以及工作空間計(jì)算，驗(yàn)證了該機(jī)構(gòu)的位置正解方法與工作空間分析方法的有效性，為該機(jī)構(gòu)的速度、加速度分析與動(dòng)力學(xué)分析奠定了基礎(chǔ),并為機(jī)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化提供了理論依據(jù)。

三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)；位置分析；工作空間

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)相對(duì)于串聯(lián)機(jī)構(gòu)具有很多優(yōu)勢(shì)，如制造成本低、結(jié)構(gòu)緊湊、剛度高、承載能力強(qiáng)、自重負(fù)載比小、運(yùn)動(dòng)精度高且在位置分析時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)很容易得到反解而機(jī)器人在實(shí)時(shí)控制上正需要解其位置反解等。并聯(lián)機(jī)構(gòu)在種種方面彌補(bǔ)了串聯(lián)機(jī)構(gòu)的不足，進(jìn)而引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛興趣與重視，已成為當(dāng)下研究與應(yīng)用的熱點(diǎn)[1-3]。

針對(duì)空間三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由于此類機(jī)構(gòu)屬于欠秩機(jī)構(gòu)，其工作空間內(nèi)不同點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形式不同[4]，從而使并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解求解較為復(fù)雜，一般方法分為數(shù)值法與符號(hào)法[5]。而對(duì)于該類機(jī)構(gòu)的工作空間分析方法目前只有數(shù)值解法。國(guó)內(nèi)對(duì)三自由度空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置與工作空間分析的研究，韓方元[6]等得出了一種3-RPS機(jī)構(gòu)位置分析正解的快速數(shù)值算法，姚翔[7]等對(duì)某三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了位置與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，孫江宏[8]等應(yīng)用螺旋理論對(duì)某微動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)做了自由度與工作空間分析，魯開講[9]等對(duì)3-RPS機(jī)構(gòu)的奇異位形及工作空間進(jìn)行了研究，葉冬明[10]等對(duì)某新型三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了工作空間分析。雖然對(duì)位置分析數(shù)值法的應(yīng)用較為普遍，如牛頓迭代法、遺傳算法等，但數(shù)值方法始終難以解決其計(jì)算速度慢、迭代時(shí)間長(zhǎng)、初始解較難確定等問題，而符號(hào)法又很難得到其封閉解，因而一直阻礙該類機(jī)構(gòu)的研究發(fā)展，而工作空間分析則由于初始離散變量較多，其運(yùn)算速度較低。

本文提出了一種三自由度空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)3RPS-3UPS，基于符號(hào)法通過齊次位姿變換建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)約束方程并應(yīng)用結(jié)式消元法求得位置正解的單變?cè)斎胼敵龇匠蹋瑥亩贸鑫恢谜獾姆忾]解，由于該方法基于符號(hào)運(yùn)算，其運(yùn)算速度較數(shù)值法快，且結(jié)果精度高，為進(jìn)一步對(duì)其動(dòng)力學(xué)分析、位置控制等奠定了基礎(chǔ)。之后在此基礎(chǔ)上借助MATLAB軟件根據(jù)實(shí)例通過空間搜索法編程求解工作空間，為其參數(shù)優(yōu)化及實(shí)際應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

1 3RPS-3UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)分析

該3RPS-3UPS機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)上按120°均分有三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和三個(gè)虎克鉸，動(dòng)平臺(tái)上按120°固聯(lián)六個(gè)球副，靜平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)之間通過中心對(duì)稱分布的三條閉環(huán)子鏈連接，每個(gè)閉環(huán)子鏈又由兩條支鏈構(gòu)成，一條為RRS另一條為UPS，該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)輸入為靜平臺(tái)固聯(lián)虎克鉸與動(dòng)平臺(tái)的球副之間的移動(dòng)副，通過控制三根輸入桿長(zhǎng)的長(zhǎng)度變化即可控制動(dòng)平臺(tái)位姿。此機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)與3-RPS機(jī)構(gòu)類似，同樣具備3-RPS結(jié)構(gòu)緊湊、局域性運(yùn)動(dòng)靈活度高、響應(yīng)快、運(yùn)動(dòng)精度高、無累計(jì)誤差影響、機(jī)構(gòu)各分支單鏈中心對(duì)稱分布具有良好的對(duì)中性等優(yōu)點(diǎn)，此外與RPS相比該機(jī)構(gòu)強(qiáng)度更高、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性更好、承載能力更強(qiáng)，使其在重工業(yè)特定場(chǎng)合具有重要用途。

1.靜平臺(tái) 2.動(dòng)平臺(tái) 3.靜平臺(tái)固聯(lián)虎克鉸 4.靜平臺(tái)固聯(lián)轉(zhuǎn)動(dòng)鉸 5.靜平臺(tái)連桿 6.轉(zhuǎn)動(dòng)鉸鏈 7.動(dòng)平臺(tái)連桿 8.動(dòng)平臺(tái)固聯(lián)球鉸1 9.動(dòng)平臺(tái)固聯(lián)球鉸2 10.移動(dòng)副圖1 機(jī)構(gòu)三維模型圖

2 位置分析

首先對(duì)該三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行坐標(biāo)系定義，以靜平臺(tái)圓心為靜坐標(biāo)系原點(diǎn)，Z軸垂直于靜平臺(tái)向上，X軸延E1方向，以動(dòng)平臺(tái)圓心為原點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系，定義垂直與平臺(tái)向上方向?yàn)閆軸，O1C1方向?yàn)閄軸。

圖2 機(jī)構(gòu)坐標(biāo)圖

用Z-Y-X歐拉角[11]表示動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)姿態(tài),則動(dòng)靜坐標(biāo)系齊次轉(zhuǎn)換矩陣：

(1)

A點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的位置矢量為：

(2)

其中，ra為靜平臺(tái)A點(diǎn)半徑；

C、B點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系中的位置矢量為：

(3)

其中，rb為動(dòng)平臺(tái)B點(diǎn)半徑；

rc為動(dòng)平臺(tái)C點(diǎn)半徑；

B、C點(diǎn)經(jīng)齊次變換后在靜坐標(biāo)系中的位置矢量為：

(4)

根據(jù)自由度分析可知，有結(jié)構(gòu)約束：

(5)

代入化簡(jiǎn)可得如下關(guān)系：

(6)

(7)

其中,amn與bmn由機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)ra、rb、rc、L確定。

之后通過Stylvester結(jié)式消元法[12]對(duì)x、y組成的高次多變?cè)蔷€性方程式(7)進(jìn)行消元得出單變?cè)姆蔷€性方程Sy(x)：

(8)

解出x后回代入式(7)中解出y，由x、y可得β與γ，最后帶入式(6)即可得到機(jī)構(gòu)位姿的其余參數(shù)，從而得出該機(jī)構(gòu)位置分析的封閉解。相對(duì)于數(shù)值算法對(duì)每個(gè)離散點(diǎn)分別計(jì)算，要想得到精度較高的結(jié)果必然會(huì)造成速度下降。該方法基于符號(hào)運(yùn)算，所得為單變?cè)妮斎胼敵龇匠蹋恍鑼?shù)數(shù)據(jù)帶入方程即可求得其位置正解，提升了其計(jì)算速度。

3 工作空間分析

機(jī)構(gòu)的工作空間分析研究的是末端執(zhí)行器坐標(biāo)系原點(diǎn)在空間活動(dòng)的最大范圍，對(duì)本機(jī)構(gòu)則為動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系原點(diǎn)O1的運(yùn)動(dòng)范圍。利用空間搜索法求解工作空間時(shí)，判定所取點(diǎn)是否屬于工作空間主要考慮移動(dòng)副長(zhǎng)度范圍、轉(zhuǎn)動(dòng)副球副虎克鉸等的轉(zhuǎn)角范圍、桿件之間不發(fā)生干涉條件等因素，根據(jù)以上三種因素，有機(jī)構(gòu)位型約束條件：

其中，li=輸入桿長(zhǎng)度，θi=關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，Di=桿件間距離；

圖3 工作空間計(jì)算邏輯流程圖

如圖3所示，這里計(jì)算時(shí)首先沿Z軸對(duì)工作空間進(jìn)行分層，每層再對(duì)歐拉角β,γ進(jìn)行離散，根據(jù)式(6)求得動(dòng)平臺(tái)其余運(yùn)動(dòng)參數(shù)x,y,α，再根據(jù)式(1)求得齊次位姿變換矩陣M后即可帶入式(4)求得靜平臺(tái)坐標(biāo)系下機(jī)構(gòu)各點(diǎn)坐標(biāo),最后判斷該位型是否滿足約束因素，若不滿足條件，直接計(jì)算下一點(diǎn)；若滿足則儲(chǔ)存該點(diǎn)(x,y,z)坐標(biāo)，并繼續(xù)計(jì)算下一點(diǎn)。由于僅需離散三個(gè)位姿參數(shù)，并利用結(jié)構(gòu)約束方程快速求得其余參數(shù)，其所需帶入計(jì)算的離散點(diǎn)數(shù)呈指數(shù)減少，相對(duì)于將全部位姿離散后再帶入計(jì)算，其計(jì)算速度較快，具有較高的計(jì)算效率。

4 實(shí)例分析

由該機(jī)構(gòu)坐標(biāo)圖(圖2)，該結(jié)構(gòu)主要結(jié)構(gòu)尺寸為靜平臺(tái)A、E點(diǎn)半徑ra、re，動(dòng)平臺(tái)中B、C點(diǎn)半徑rb、rc，動(dòng)靜平臺(tái)連桿長(zhǎng)度lcd、led，以及A、B點(diǎn)間桿長(zhǎng)L的變化范圍，現(xiàn)給出實(shí)際情況下一組結(jié)構(gòu)尺寸，見表1。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)方案 單位/mm

4.1 位置正解實(shí)例分析

根據(jù)結(jié)構(gòu)參數(shù)，令L1=700、L2=580、L3=640,帶入式(8)解出x，篩選出其中實(shí)數(shù)項(xiàng)并分別帶入式(7)中解出y，同樣篩選其中實(shí)數(shù)項(xiàng)，根據(jù)各組x、y求得β、γ后分別帶入式(6)中求出其余位姿參數(shù)，最后得到32組參數(shù)，節(jié)約篇幅取其中8組，見表2。

表2 位置正解結(jié)果矩陣

圖4 正解結(jié)果繪圖

根據(jù)工作空間分析所得機(jī)構(gòu)位型約束條件，其中第5組解機(jī)構(gòu)位置如圖4所示。

4.2 工作空間實(shí)例分析

根據(jù)工作空間結(jié)果可得，該3RPS-3UPS機(jī)構(gòu)工作空間呈中心120°對(duì)稱分布，工作空間的邊界形狀較為規(guī)則，且其水平層面上的運(yùn)動(dòng)范圍相對(duì)于高度的變化范圍小很多,見圖5～圖7。對(duì)于該機(jī)構(gòu)，XoY層面上動(dòng)平臺(tái)工作半徑是評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的重要參數(shù)指標(biāo)，根據(jù)圖8可以看出其工作半徑的變化趨勢(shì)。

圖5 工作空間三維表面圖

圖6 動(dòng)平臺(tái)位置空間y向云圖

圖7 動(dòng)平臺(tái)位置空間Z向云圖

圖8 動(dòng)平臺(tái)極限工作半徑位置Z向分布圖

5 結(jié)論

提出了一種結(jié)構(gòu)緊湊、制造成本低、承載能力強(qiáng)的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)(3RPS-3UPS)，計(jì)算了該機(jī)構(gòu)的自由度，建立了其位置分析的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行工作空間分析。通過MATLAB軟件對(duì)位置分析及工作空間分析進(jìn)行了編程并計(jì)算了一組算例。根據(jù)算例驗(yàn)證了位置分析正解求解方法與工作空間分析求解方法的有效性。綜上，本文研究了該三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)(3RPS-3UPS)的位置與工作空間，為其實(shí)際應(yīng)用提供了理論依據(jù)并為進(jìn)一步對(duì)其動(dòng)力學(xué)分析、位置控制及參數(shù)優(yōu)化等奠定了基礎(chǔ)。

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(編輯 李秀敏)

Position and Workspace Analysis of a 3-DOF Parallel Manipulator

HUANG Ya-tai，LIN Guang-chun，HUANG Liang

(School of Manufacturing Science and Engineering, Sichuan University,Chengdu 610065,China)

Proposed a 3-DOF Parallel Manipulator (3RPS-3UPS) for heavy industry.Set up the mathematical model of its position.Through the use of homogeneous pose transformation builded its constraint equations ,then use the resultant elimination method of elimination , obtained the forward-position′s solution of a closed form.By using of the position analysis′s results and the boundary conditions , analyszed its workspace.Finally,using the MATLAB software to program,through a actual example of position analysis of positive solution and workspace′s calculation, verify the analysis method of forward-position and workspace are feasible , laid the foundations for its velocity , acceleration and dynamic analysis , and will probide theoretical basis for parameters optimization of the mechanism.

3-DOF parallel manipulator; position analysis; workspace analysis

1001-2265(2017)07-0018-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.07.005

2016-09-14；

2016-10-22

瀘州市科技計(jì)劃項(xiàng)目(2015CDLZ-S02)

黃亞太(1991—)，男，鄭州人，四川大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)及機(jī)器人學(xué)，(E-mail)clogs_hat@163.com。

TH124；TG659

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