秦 爽，張建剛，杜文舉，俞建寧，劉 頔

(1．數(shù)理學院；2．交通運輸學院，蘭州交通大學，甘肅蘭州 730070)

一類SEIR傳染病模型的動力學行為分析

秦 爽1，張建剛1，杜文舉2，俞建寧1，劉 頔1

(1．數(shù)理學院；2．交通運輸學院，蘭州交通大學，甘肅蘭州 730070)

研究了一類潛伏期和染病期均有傳染力的SEIR傳染病模型的動力學行為，分析了平衡點的存在性和穩(wěn)定性，并利用Hopf分岔準則、范式理論和中心流形定理對傳染病模型的Hopf分岔的存在性、穩(wěn)定性及其方向進行了詳細理論研究，數(shù)值模擬結果驗證了結論的正確性．

SEIR模型；穩(wěn)定性；Lyapunov系數(shù)；Hopf分岔

流行病是由病原體引起的一類疾病，它可以造成人與人、人與動物、動物與動物之間的傳播．由于它能在一段時間內迅速傳播甚至造成生物的死亡，因此流行病的研究引起了科學家們的廣泛關注．傳染病作為人類最大的殺手是毋庸置疑的，而人類如何有效的預測、防止、隔離受感染人群，以達到有效的治療是長期以來數(shù)學家、醫(yī)學家和生物學家等一直關注的熱門學科．分岔是一類動態(tài)系統(tǒng)的現(xiàn)象，是指變化分岔參數(shù)的值當其跨越參數(shù)邊界時系統(tǒng)的動態(tài)屬性造成突然“定性”或拓撲變化自然現(xiàn)象．一般分岔現(xiàn)象不會發(fā)生在穩(wěn)定的條件下，只有在不穩(wěn)定的條件下才會發(fā)生這種現(xiàn)象[1]．例如，Hopf分岔就發(fā)現(xiàn)在許多系統(tǒng)中．近年來有許多學者專注于連續(xù)系統(tǒng)分岔現(xiàn)象的研究[2-7]，分岔現(xiàn)象的發(fā)生是證明準周期軌道存在的有力工具．最近三維系統(tǒng)分岔現(xiàn)象研究增加[8]，文[9]應用中心流形定理和分岔理論討論了一個離散捕食系統(tǒng)的Flip分岔，文[10]重點研究了一個二維離散Lorenz系統(tǒng)的叉式分岔、Flip分岔和Hopf分岔．

隨著人們對分岔現(xiàn)象的廣泛研究，近年來對這種非線性動力學行為的研究已經逐漸地滲透到了各個學科．在生物學領域，許多學者[11-12]研究了SIR模型及其動力學行為，通過對傳染病模型動力學形態(tài)的分析和數(shù)值模擬，來顯示疾病發(fā)展過程，揭示其流行規(guī)律，預測其變化發(fā)展趨勢，分析疾病流行原因的關鍵因素，尋求對其預防及控制的最優(yōu)策略．相比二維傳染病模型，三維模型能更好地從疾病傳播機理方面來反映流行規(guī)律，使人們了解流行過程中一些全局性態(tài)[13]．文[14]研究了一類潛伏期和染病期均有傳染力的SEIR傳染病模型的控制策略，分析了該模型在連續(xù)接種和治療不同策略下平衡點的穩(wěn)定性，獲得了疾病消除的閾值，通過比較兩種控制策略的有效性，得到結果表明接種比治療能更加有效地控制了疾病，此外同時運用兩種控制策略要比單獨使用一種策略更有效果，然而該文并沒有研究此模型的分岔特性．本文將針對其動力學行為做進一步研究，文[14]模型如下：

其中N為總人口，包括易感者S，潛伏者E，染病者I和移出者R．易感者人群具有常數(shù)輸入率A和有效接種率，且接種后有永久免疫力；潛伏者人群成為染病者比例系數(shù)為，具有雙線性發(fā)生率β1ES，且傳染力相對較弱；染病人群具有雙線性發(fā)生率β2IS，有一定的因病死亡率，治愈率δ和自然恢復率，同時經治療者和自然恢復者也具有永久免疫力．這里總人口N=S+E+I+R，為自然死亡率，所有系數(shù)都是正數(shù)．由于模型（1）前三個方程中不含有R，所以這里只考慮如下系統(tǒng)：

1 平衡點的穩(wěn)定性分析

定義基本再生數(shù)[14]

系統(tǒng)（2）在無病平衡點1P處的Jacobian矩陣為

所以求得系統(tǒng)（2）在1P處的Jacobian矩陣的特征方程為

以及方程的三個特征值為

根據(jù)羅斯-霍維茲判據(jù)[15]可以得到以下定理：

2 Hopf分岔的存在

定理2 如果方程（5）有一對純虛根λ2,3=±iω，并且．若有，則當穿過臨界值0α時，系統(tǒng)（2）在無病平衡點1P處發(fā)生Hopf分岔．

分離方程（6）的實部和虛部

通過計算有：

對方程（5）的兩邊同時關于求導，有

根據(jù)Hopf分岔理論[16]，可知0α便是分岔的臨界值，假設，當穿過臨界值α0時，系統(tǒng)（2）在平衡點P1發(fā)生Hopf分岔．

3 Hopf分岔的穩(wěn)定性和方向

使用中心流形定理和范式理論[17]來分析系統(tǒng)（2）在平衡點1P處Hopf分岔的穩(wěn)定性和方向．首先，系統(tǒng)（2）可以寫成如下型式

其中J是系統(tǒng)（2）在無病平衡點處的Jacobian矩陣，JT為J的轉置．根據(jù)（9）式可以計算出如下的線性函數(shù)：

定理3 系統(tǒng)（2）在平衡點1P處的Lyapunov系數(shù)為

由定理3可知系統(tǒng)（2）在臨界值處滿足橫截條件，若此時l1≠0，那么系統(tǒng)（2）在平衡點1P處發(fā)生余維一的Hopf分岔．特別地，當l1＜0時，發(fā)生超臨界的Hopf分岔；當l1＞0時，發(fā)生亞臨界Hopf分岔．

4 數(shù)值仿真

為了驗證以上的理論分析，選取一組參數(shù)A=10,μ=0.2,ρ=0.5,δ=0.1,β1=0.05,β2=0.014,γ=0.03,v=0.13，可以得到Hopf分岔的臨界值α0=0.543．根據(jù)圖1和圖2觀察可知，若α=0.5＜α0，平衡點是穩(wěn)定的；若α=0.6＞α0，則平衡點是不穩(wěn)定的．根據(jù)定理3的結論，并且經過一系列復雜的計算得到l1(α0)=0.316 4＞0．因此，系統(tǒng)（2）此時在局部平衡點P1處發(fā)生亞臨界Hopf分岔，并且產生一個不穩(wěn)定的極限環(huán)．

圖1 α=0.5當時，系統(tǒng)（2）的時間響應圖和相圖Fig 1 Time Response Diagram and Phase Diagram of Model (2) withα=0.5

圖2 α=0.6當時，系統(tǒng)（2）的時間響應圖和相圖Fig 2 Time Response Diagram and Phase Diagram of Model (2) withα=0.6

5 結 語

傳染病嚴重威脅人類的健康，長期以來，醫(yī)學家、生物學家以及數(shù)學家等一直關注如何有效的預測、防止、隔離受感染人群及達到有效的治療．對于傳染病模型的研究能更好地反映疾病發(fā)展的過程，揭示其流行的規(guī)律，可以更加方便的尋求對其預防及控制的最優(yōu)策略．基于此，本文研究了一類潛伏期和染病期均有傳染力的SEIR傳染病模型的動力學行為，討論了無病平衡點的存在性和穩(wěn)定性，通過選取適當?shù)姆植韰?shù)，證明了當分岔參數(shù)經過臨界值時系統(tǒng)可以發(fā)生Hopf分岔，并對Hopf分岔的方向和穩(wěn)定性進行了詳細的分析．有助于流行病學家們有效地預測潛伏期和染病期均有傳染力的傳染病的發(fā)展趨勢，有的放矢地采取相應的干預措施，防止傳染病的爆發(fā)、流行，具有重要的理論價值和實際意義．

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Abstract:It is in this paper that the dynamics behavior of a class of SEIR epidemic model with infectious force in latent period and infected period is studied. And the existence and stability of equilibrium points are analyzed as well. Moreover, the existence, stability and direction of the Hopf bifurcation are analyzed in detail based on the Hopf bifurcation criterion, the paradigm theory and the center manifold theorem. Finally, a numerical modeling result verifies the correstness of the conclusion.

Key words:SEIR Epidemic Model; Stability; Lyapunov Exponent; Hopf Bifurcation

(編輯：封毅)

Analysis on the Dynamics Behavior of an SEIR Epidemic Model

QIN Shuang1, ZHANG Jiangang1, DU Wenju2, YU Jianning1, LIU Di1
(1. School of Mathematics and Physics; 2. School of Traffic and Transportation,Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

O175.1

A

1674-3563(2017)03-0008-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.03.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2016-04-30

國家自然科學基金(11161027，61364001) ；甘肅省科技支撐計劃項目(144GKCA018)

秦爽(1992-)，女，黑龍江大慶人，碩士研究生，研究方向：非線性動力學