程永玲， 王麗麗

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部， 山西 太原 030031)

具有反饋控制的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的全局吸引性

程永玲， 王麗麗

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部， 山西 太原 030031)

研究了一類具有時(shí)滯和反饋控制的非自治n種群Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng). 通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov泛函的方法， 得到了該系統(tǒng)的所有正解全局吸引的充分條件. 所得結(jié)論將已有文獻(xiàn)的結(jié)果推廣至?xí)r滯反饋控制系統(tǒng)， 具有一定的理論意義和較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值. 所得到的結(jié)果是新的.

非自治；反饋控制；全局吸引；Lyapunov泛函

0 引 言

經(jīng)典的Lotka-Volterra系統(tǒng)是一類非常重要的生態(tài)系統(tǒng)， 已經(jīng)有大量的研究結(jié)果[1-5]. 眾所周知， 生態(tài)系統(tǒng)中的種群經(jīng)常會(huì)受到來(lái)自外界各種因素的影響， 從而導(dǎo)致生態(tài)系統(tǒng)的各種參數(shù)的變化. 實(shí)驗(yàn)表明， 通過(guò)反饋控制的方法能夠得到非常理想地消除外界干擾的效果. 因此， 反饋控制對(duì)于保護(hù)生物的種群多樣性、維持生態(tài)環(huán)境的可持續(xù)發(fā)展有著重要的意義. 文獻(xiàn)[4-5]研究了具有時(shí)滯和反饋控制的非自治Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)， 利用Lyapunov泛函和新的分析方法， 分別得到了系統(tǒng)(1)持久和部分種群滅絕的充分條件.

文獻(xiàn)[6]考慮了具有時(shí)滯和反饋控制的非自治多種群Lotka-Volterra系統(tǒng)， 通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov泛函得到了系統(tǒng)(2)全局吸引的充分條件.

文獻(xiàn)[9]研究了Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的滅絕性， 文獻(xiàn)[10]研究了捕食-被捕食系統(tǒng). 文獻(xiàn)[11-14]研究了具有時(shí)滯的Lotka-Volterra系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 受到這些文獻(xiàn)的啟發(fā)， 特別是文獻(xiàn)[4-6]的啟發(fā)， 本文將考慮具有反饋控制的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)(1)的全局吸引性. 通過(guò)改進(jìn)文獻(xiàn)[7-8]的方法， 得到系統(tǒng)(1)正解全局吸引性的充分條件.

1 預(yù)備知識(shí)

以下如不加特別說(shuō)明則i,j=1,2,…,n.

本文對(duì)系統(tǒng)(1)假定：

H1：ri(t),aij(t),ci(t),di(t),ei(t),

fi(t),gi(t)為[0,+∞)上的有界連續(xù)函數(shù)， 且aij(t),ci(t),di(t),ei(t),fi(t),gi(t)為[0,+∞) 上的非負(fù)函數(shù)；

H3：bij(t,s)在[0,+∞)×[-σij,0]上關(guān)于t∈[0,+∞) 連續(xù)且關(guān)于s∈[-σij,0]可積， 對(duì)任意(t,s)∈[0,+∞)×[-σij,0]有

0≤bij(t,s)≤h0(s),

其中,h0(s)是某一給定的定義在[-τ,0]上的可積函數(shù)， 且

τ=sup{τij(t),τi(t),δi(t),σij∶t∈[0,+∞)}.

H4： 存在正常數(shù)ω和λ使得

H5： 存在正常數(shù)β和γ使得

根據(jù)系統(tǒng)(1)代表的生態(tài)學(xué)背景,考慮系統(tǒng)(1)滿足如下初始條件的解

式中：φi,ψi是給定的定義在θ∈[-τ,0]上非負(fù)有界連續(xù)函數(shù), 并且φi(0)>0,ψi(0)>0. 由泛函微分方程的基本理論可知, 對(duì)任何初始函數(shù)

φ=(φ1,φ2,…,φn),ψ=(ψ1,ψ2,…,ψn),

系統(tǒng)(1)存在唯一的解滿足初始條件,并且容易證明解是正的[3].

2 主要結(jié)論

與文獻(xiàn)[5]引理2.2的證明類似， 可得

引理 1 假定H1～H5成立， 則對(duì)系統(tǒng)(1)的任意正解， 存在正常數(shù)Mi,Ni,T， 使得當(dāng)t≥T時(shí)， 有

0

定理 1 假定H1～H5成立, 且存在正常數(shù)μi,ki， 使得

其中

(x1(t),…,xn(t),u1(t),…,un(t)),

有

證明 設(shè)

(x1(t),…,xn(t),u1(t),…,un(t))，

是系統(tǒng)(1)和(3)的任意兩個(gè)正解. 由引理1知， 存在正常數(shù)Mi,Ni,T， 使得當(dāng)t≥T時(shí)， 有

沿著系統(tǒng)(1)和(3)的解計(jì)算Vi1(t)的右上導(dǎo)數(shù)， 得

將方程(1)代入式(5)并整理， 可得

將系統(tǒng)(1)代入式(6)， 經(jīng)計(jì)算， 有

放大式(7)， 可得

D+Vi1(t)≤

Vi2(t)=

結(jié)合式(8)， 由引理1， 有

定義Vi(t)=Vi1(t)+Vi2(t)+Vi3(t). 因此， 當(dāng)t≥T+τ時(shí)，

進(jìn)一步， 令

計(jì)算可得

構(gòu)造Lyapunov泛函

由式(9)～式(11)可知， 當(dāng)t≥T+τ時(shí)，

由條件(4)可知， 存在正常數(shù)αi,βi,T*≥T， 使得當(dāng)t≥T*時(shí)，

在區(qū)間[T*,t]上積分式(12)， 可得

V(T*)≥V(t)+

由式(13)和式(14)， 可知

V(T*)≥V(t)+

因此， V(t)在[T*,∞)上有界， 且

由Barbalat’s[10]引理， 可得

證畢.

系統(tǒng)(1)退化為無(wú)時(shí)滯非自治Lotka-Volterra系統(tǒng)

推論 1 設(shè)條件H1， H4～H5成立， 且存在正常數(shù)μi, ki， 使得

其中

ki(fi(t)+gi(t)),

Bi(t)=kiei(t)-μidi(t).

則對(duì)系統(tǒng)(15)的任意兩個(gè)正解

(x1(t),…,xn(t),u1(t),…,un(t)),

有

注 將推論1與[1]中定理2.1進(jìn)行比較， 定理1可看成將[1]中定理2.1推廣至?xí)r滯系統(tǒng)上.

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Global Attractivity of Lotka-Volterra Competitive System with Feedback Controls

CHENG Yong-ling, WANG Li-li

(Basic Course Department, Business College of Shanxi University, Taiyuan 030031, China)

Annspecies Lotka-Volterra competitive systems with delays and feedback controls was considered. By constructing suitable Lyapunov functional, sufficient conditions for global stability of the system were obtained. The conclusion extends the results of the existing literature to delay and feedback control system and provide more theoretical significance and applicable value. The conclusion is new.

non-autonomous； feedback controls； global stability； Lyapunov function

1673-3193(2017)04-0414-06

2016-11-28

程永玲(1980-)， 女， 講師， 碩士， 主要從事動(dòng)力系統(tǒng)方面的研究.

O17514

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.04.004