胡光明,龍見仁

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,北京100191; 2.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴陽550001)

覆蓋空間在多連通積分定理證明中的運用

胡光明1,龍見仁2

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,北京100191; 2.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴陽550001)

眾所周知,單連通區(qū)域上解析函數(shù)所確定的變上限積分是一個單值函數(shù),然而對于多連通區(qū)域D上解析函數(shù)f(z)的變上限積分F(z)=∫zz0f(ζ)dζ,F(z)不僅依賴于z(z0是D內(nèi)固定的一點),還依賴以下兩點：(1)積分的路徑;(2)函數(shù)f(z)關(guān)于洞是否恰當(dāng).由此可以知道F(z)可能是一個多值函數(shù).以上結(jié)果均可以在一般復(fù)變函數(shù)教材中找到,這里不再贅述.本文利用黎曼曲面的正則覆蓋曲面知識,給出了解析函數(shù)f(z)在多連通區(qū)域上積分的一種新詮釋.

多連通區(qū)域;正則覆蓋曲面;覆蓋變換群;恰當(dāng)微分;交換群

0 引言

本文考慮了多連通區(qū)域D上解析函數(shù)f的變上限積分F(z)=f(ζ)dζ,F(z)不僅依賴于z(z0是D內(nèi)固定的一點),還依賴于積分的路徑選取和函數(shù)f(z)關(guān)于洞是否恰當(dāng),因此F(z)可能是一個多值函數(shù).本文從黎曼曲面的正則覆蓋曲面的角度給出了定理的一個新詮釋.本文主要定理如下.

定理0.1設(shè)f是平面區(qū)域D上的解析函數(shù),a是D內(nèi)固定的一點,對于任意p∈D存在一條路徑

圖1 n連通Fig.1 n-connection

定理0.2設(shè)D是n連通區(qū)域,f(z)在D內(nèi)解析,這里將n?1個洞編序D1,D2,···, Dn?1,如圖1所示.

(1)若f(z)d z是恰當(dāng)微分,則

(2)若f(z)d z不是恰當(dāng)微分,則

其中Z的個數(shù)由f(z)沿洞的簡單閉曲線γ1,γ2,···,γn?1積分不為0的個數(shù)決定.

推論設(shè)D是n連通區(qū)域,f(z)在D內(nèi)解析,這里重新將沿洞的簡單閉曲線γ1,γ2,···,γn?1積分不為0的洞編序為對應(yīng)的簡單閉曲線為則F(z)=∫f(ζ)dζ一個單值分支的表達(dá)式

下面給出一個簡單的例子.

例子設(shè)D?是單位圓挖去一個原點,f(z)在D內(nèi)解析,則F(z)=f(ζ)dζ會出現(xiàn)以下兩種情況.

1 預(yù)備知識

記號說明如下.

(1)記[γ]表示曲線γ的同倫類,π1(D)表示D上的基本群,π1()表示上基本群.

(2)設(shè)D是n連通區(qū)域,它的有界余集有n?1個,分別為D1,D2,···,Dn?1,令γi表示圍繞Di的簡單閉曲線,那么我們知道{[γi]|i=1,···,n?1}生成π1(D).

(3)記D′為π1(D)的全體換位子所生成的群,即

(4)B(p0,r)表示以p0為圓心,半徑是r的開圓盤.

(5)對于任意q∈B(p0,r),定義p0與q的一條道路

為連續(xù)映射.

(6)我們稱一個微分為恰當(dāng)微分,若存在一個低一階的微分形式,使其外微分恰好等于給定的微分形式.

定理的證明還需要下面的引理.

引理1.1[1]是W的正則覆蓋曲面,π1(W)是W的基本群,Γ是(?W,π)上的覆蓋變換群,則對于任意G＜π1(D),有

引理1.2[1]設(shè)是W的正則覆蓋曲面,p是W上的一點,設(shè)∈π?1(p),則滿足的覆蓋變換是唯一的.

引理1.3[2]設(shè)G′是G的換位子群,則G/G′是交換群.

2 定理及推論的證明

全體鄰域基構(gòu)成的族記為β.

則?D的子集族

(2)我們將驗證F為Hausdorff空間.

分兩種情況考慮.

1)p1p2.則存在p1,p2的兩個鄰域B(p1,r1),B(p2,r2),滿足

2)p1=p2.此時取兩條不同的道路l1,l2,滿足

對于任意的p∈B(p1,r),我們?nèi)∠嗷ネ瑐悆蓷l路徑δ1,δ2連接p1,p.由Cauchy定理[4]可知f(z)d z=∫f(z)d z,所以我們得到

由鄰域的定義可知存在V?p1與V?p2滿足V?p1∩V?p2=?,所以為Hausdorff空間.

其中道路la→β(t)同倫于道路la→q1?β([0,t]),我們要證明?β(t)的連續(xù)性,對于任意一點t0∈[0,1],

則

定理0.2的證明(1)設(shè)f(z)d z是恰當(dāng)微分,由于恰當(dāng)微分在任一閉鏈上的積分都為0,故對任意

此時p0的所有的上方點都為(p0,0),記為那么γ的提升總是閉曲線,所以～= π1(D).由引理1.2知,覆蓋變換就是由同一點的所有上方點間的變換組成的,f(z)d z是恰當(dāng)微分時,任意p0的所有上方點都是一樣的,故此時的所有覆蓋變換都是恒等變換,因而?D的覆蓋變換群Γ={id}.

(2)設(shè)f(z)d z不是恰當(dāng)微分,則f(z)d z在任意閉鏈上的積分可能為0,可能不為0,但是對于任意兩條閉曲線α和β,令

則

所以對于π1(D,p0)的全體換位子所生成的子群D′,及[β]=[γ][γ′][γ]?1[γ′]?1∈D′,有

D′是π1(D)的子群,由引理1.1知

故Γ～=N(D′)/D′.由于D′是π1(D)的全體換位子所生成的群,故N(D′)/D′是交換群并且是有限生成的,而有限生成交換群同構(gòu)于有限個循環(huán)群的直和.事實上,覆蓋變換群是由底曲面上一點的所有上方點之間的變換所構(gòu)成的,那么對于任意

這樣我們得到?！?Z⊕Z⊕···⊕Z,Z的個數(shù)為λ.事實上,令

(i)φ是單同態(tài).因為

所以φ是單同態(tài).

(ii)φ是滿同態(tài)是顯然的.

綜上可知

Z的個數(shù)由f(z)在γi上的積分不為0的個數(shù)決定.

推論的證明由于

Z的個數(shù)由f(z)在γi上的積分不為0的個數(shù)決定,又由于共有k個不為0,則由上面定理可知F(z)=f(ζ)dζ的一個單值分支的表達(dá)式為

例子的證明(1)若f(z)恰當(dāng),則由定理2可知Γ={id},有序偶對為=所形成的黎曼曲面與D?共形.

(2)若f(z)不是恰當(dāng)?shù)?由上述定理可知?！?Z,則有序偶對為=(p,f(z)d z)所形成的黎曼曲面的基本群是{id},那么是單連通區(qū)域,由黎曼映射定理可知,與單位圓盤共形.

[1]呂以輦,張學(xué)蓮.黎曼曲面[M].北京:科學(xué)出版社,1997.

[2]聶靈沼,丁石孫.代數(shù)學(xué)引論[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3]熊金城.點集拓?fù)渲v義[M].北京:高等教育出版社,2003.

[4]余家榮.復(fù)變函數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2007.

(責(zé)任編輯：林磊)

Application of the covering space in the complex integral of multiply connected domains

HU Guang-ming1,LONG Jian-ren2
(1.School of Mathematics and Systems Science,Beihang University,Beijing 100191,China; 2.School of Mathematical Science,Guizhou Normal University,Guiyang 550001,China)

It is wellknown that the integralwith variable upper limit ofanalytic function is a single value function in the simple connected domain,while the integralwith variable upper limit of analytic function in the multiply connected domains is as following：F(z)=∫f(ζ)dζ,F(z)is not only dependent on the z(z0is the fixed point in D), but also depends on the integral path and function f(z)being exact or not in every hole. Therefore F(z)is likely to be multiple valued function.In this paper,we give a new proof method about the integral of analytic function f(z)in the multiply connected domain by the regular covering surface.

multiply connected domains;regular covering surface;group of covering transformations;exact diff erential;Abelian group

O174.5

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2017.04.006

1000-5641(2017)04-0064-07

2016-11-27

貴州省科學(xué)技術(shù)基金(黔科合J字[2015]2112號);國家自然科學(xué)基金(11501142)

胡光明,男,博士研究生,研究方向為復(fù)分析及Teichm¨uller空間. E-mail：1186529024@qq.com.

龍見仁,男,教授,研究方向為復(fù)分析.E-mail：longjianren2004@163.com.