王 堯,楊 圳,任艷麗

(1.南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江蘇南京 210044)

(2.南京曉莊學(xué)院信息工程學(xué)院,江蘇南京 211171)

1 引言

本文所研究的環(huán)R都是有單位元1的結(jié)合環(huán),環(huán)同態(tài)都是保持單位元不變的.設(shè)a∈R是環(huán)R中一個(gè)元素,稱a是(von Neumann)正則的,如果存在b∈R,使得a=aba.如果還滿足ab=ba,則稱 a 為強(qiáng)正則的.稱 a 是弱正則的,如果存在r′,r′′∈ R,使得a=ar′ar′′.稱a是π-正則的(強(qiáng)π-正則的),如果存在b∈R和正整數(shù)n使得an=anban(an=an+1b).稱a是單式正則的,如果存在一個(gè)可逆元u∈R使得a=aua.稱一個(gè)環(huán)R是正則(強(qiáng)正則,弱正則,π-正則,強(qiáng)π-正則,單式正則)環(huán),如果R中所有元素都是正則(強(qiáng)正則,弱正則,π-正則,強(qiáng)π-正則,單式正則)元.顯然正則環(huán)是弱正則環(huán).眾所周知,一個(gè)環(huán)為局部環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意a∈R,a或1?a是可逆的.局部環(huán)是環(huán)理論中一類極其重要的環(huán),有大量的研究.Contessa[1]拓展局部環(huán)的概念,稱一個(gè)環(huán)R是VNL(Von Neumann Local)環(huán),如果對(duì)任意a∈R,都有a或1?a是正則的.VNL環(huán)是近年來環(huán)論研究的熱點(diǎn)之一(參見文獻(xiàn)[2–5]).此外,Chen[6]稱一個(gè)環(huán)R是幾乎單式正則環(huán),如果對(duì)任意a∈R,都有a或1?a是單式正則的;稱一個(gè)環(huán)R是幾乎強(qiáng)正則環(huán),如果對(duì)任意a∈R,a或1?a是強(qiáng)正則的.

本文進(jìn)一步拓展局部環(huán)的概念,在弱正則環(huán)、π-正則環(huán)、強(qiáng)π-正則環(huán)的基礎(chǔ)上,分別定義和研究幾乎弱正則環(huán)、幾乎π-正則環(huán)、幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)的性質(zhì).

2 定義及相關(guān)環(huán)之間的關(guān)系

定義2.1稱一個(gè)環(huán)是幾乎弱正則環(huán)(幾乎π-正則環(huán),幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)),如果對(duì)任意a∈R,a或1?a是弱正則(π-正則,強(qiáng)π-正則)的.

由定義知,弱正則環(huán)是幾乎弱正則環(huán),局部環(huán)、幾乎強(qiáng)正則環(huán)和VNL環(huán)都是幾乎弱正則環(huán).因此存在以下關(guān)系:{局部環(huán)}?{幾乎強(qiáng)正則環(huán)}?{VNL環(huán)}?{幾乎弱正則環(huán)}.

另一方面,VNL環(huán)和π-正則環(huán)都是幾乎π-正則環(huán),幾乎強(qiáng)正則環(huán)和強(qiáng)π-正則環(huán)都是幾乎強(qiáng)π-正則環(huán),幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)是幾乎π-正則環(huán).在文獻(xiàn)[7]中,幾乎π-正則環(huán)和幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)被稱作局部π-正則環(huán)和局部強(qiáng)π-正則環(huán),其中的命題3.2.16證明:在Abel環(huán)條件下,幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)與幾乎π-正則環(huán)是等價(jià)的.

下面的例子說明,幾乎弱正則環(huán)是弱正則環(huán)概念的真推廣.

例 2.2 設(shè) Z4={,,,} 是整數(shù)環(huán)模理想 (4)的商環(huán),它是幾乎弱正則環(huán)但不是弱正則環(huán).事實(shí)上,,,都是正則元,?是正則元,因此 Z4是幾乎弱正則環(huán).但不是弱正則的,因此Z4不是弱正則環(huán).

稱一個(gè)環(huán)R是雙正則的,如果R的每個(gè)主理想都是由一個(gè)中心冪等元生成的.由文獻(xiàn)[8]中結(jié)論,雙正則環(huán)是弱正則環(huán).下面的例子說明幾乎弱正則環(huán)是VNL環(huán)概念的真推廣,幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)是強(qiáng)π-正則環(huán)的真推廣.

例2.3 (1)[9]設(shè)R是VNL環(huán)但不是雙正則環(huán),S是雙正則環(huán)但不是VNL環(huán),則R⊕S是幾乎弱正則環(huán),但它既不是VNL環(huán)也不是雙正則環(huán).

(2)[7]設(shè)p是任一素?cái)?shù),R=Zp={m/n;m,n∈Z,(n,p)=1}是Z在P處的局部化,則R是局部環(huán),因此也是幾乎強(qiáng)π-正則環(huán).但因?yàn)閜∈R不是R的π-正則元素,所以R不是強(qiáng)π-正則環(huán).

下面的例子說明,幾乎π-正則環(huán)是π-正則環(huán)與VNL環(huán)概念的真推廣.

例2.4設(shè)Z4⊕ Z4. 易證 (,),(,)? (,) 都不是正則的,因此 R 不是 VNL 環(huán).因?yàn)镽是π-正則環(huán),因此也是幾乎π-正則環(huán).

例2.5令R=R1×R2,其中R1是π-正則環(huán)但不是VNL環(huán),R2是VNL環(huán)但不是π-正則環(huán).顯然R既不是π-正則環(huán)也不是VNL環(huán).但R是幾乎π正則環(huán).

證 因?yàn)閷?duì)任意的(a,b)∈R,其中a∈R1,b∈R2,由R2是VNL環(huán),則b或1?b是正則的.如果b正則的,則b是π-正則的,所以(a,b)是π-正則元素.如果1?b正則的,則1?b是π-正則的,所以(1?a,1?b)是π-正則元素.所以(a,b)或(1?a,1?b)是π-正則的.所以R是幾乎π-正則環(huán),但顯然R既不是π-正則環(huán)也不是VNL環(huán).

下面舉例說明幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)是局部環(huán)和強(qiáng)π-正則環(huán)的真推廣.

例2.6 R=Z4×Z4是強(qiáng)π-正則環(huán),因此也是幾乎強(qiáng)π-正則環(huán).但(0,1)2=(0,1)不是平凡的冪等元,所以R不是局部環(huán).

例2.7令R=C×D,其中C是強(qiáng)π-正則環(huán)但不是幾乎強(qiáng)正則環(huán),D是幾乎強(qiáng)正則環(huán)但不是強(qiáng)π-正則環(huán).顯然R既不是強(qiáng)π-正則環(huán)也不是幾乎強(qiáng)正則環(huán).但R是幾乎強(qiáng)π-正則環(huán).證明類似例2.5.

下面的例子說明幾乎π-正則環(huán)是幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)的真推廣.

例 2.8 設(shè) Z6={,,,,,} 是整數(shù)環(huán)模理想 (6) 的商環(huán), 它是正則環(huán). 由文獻(xiàn)[4,定理2.3]知R是正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Mn(R)是VNL環(huán),對(duì)于n≥2.因此M2(Z6)是VNL環(huán).因此也是幾乎π-正則環(huán).經(jīng)過計(jì)算可以驗(yàn)證,在M2(Z6)中,矩陣和都不是強(qiáng)π-正則的.因此M2(Z6)不是幾乎強(qiáng)π-正則環(huán).

綜上,得到相關(guān)環(huán)的如下關(guān)系圖.

命題2.9對(duì)任意的交換環(huán)R,以下命題等價(jià):

(1)R是VNL環(huán);

(2)R是幾乎強(qiáng)正則環(huán);

(3)R是幾乎弱正則環(huán).

證 顯然.

命題2.10(1)幾乎弱正則環(huán)R的中心C(R)是VNL環(huán);

(2)幾乎π-正則環(huán)R的中心C(R)是幾乎強(qiáng)π-正則環(huán).

證 (1)對(duì)任意x∈C(R),x或1?x是R中弱正則元,如果x在R中弱正則,則存在r′,r′′∈ R 使得 x=xr′xr′′=x2r′r′′∈ x2R. 由文獻(xiàn) [9]命題 12,可以推出 x=x(xky)x,其中y∈R,k≥1.而且,對(duì)任意r∈R,

即xky∈C(R).所以x是C(R)中正則元.同理,如果1?x是R中弱正則元,可以推出1?x也是C(R)中正則元.所以R的中心C(R)是VNL環(huán).

(2)證明見文獻(xiàn)[7]命題3.2.17.

一個(gè)環(huán)R稱為Abel環(huán),如果R中冪等元都是中心冪等元.文獻(xiàn)[7]的命題3.2.12和文獻(xiàn)[10]的推論3證明:如果R是幾乎π-正則環(huán)(幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)),則對(duì)任意e=e2∈R,eRe也是幾乎π-正則環(huán)(幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)).

命題2.11如果R是Abel幾乎弱正則環(huán),則對(duì)任意e=e2∈R,eRe也是幾乎弱正則環(huán).

證 對(duì)于a∈eRe,存在r∈R使得a=ere,于是有ea=ae=eae=a.因?yàn)镽是幾乎弱正則環(huán),所以a或1?a是R中弱正則元.若a是弱正則的,則存在b′,b′′∈R,使得a=ab′ab′′=(ae)b′(eae2)b′′=a(eb′e)a(eb′′e),其中 eb′e,eb′′e ∈ eRe,所以 a 在 eRe 中弱正則.若 1? a 在 R 中弱正則,則存在 c′,c′′∈ R 使得 1? a=(1? a)c′(1? a)c′′. 由此可得e? a=e(1 ? a)e=e(1 ? a)c′(1 ? a)c′′e=(e? a)ec′e(e? a)ec′′e,其中 ec′e,ec′′e ∈ eRe. 所以1?a在eRe中弱正則.這證明了eRe是幾乎弱正則環(huán).

引理2.12設(shè)A=diag{a1,a2,···,an}是主對(duì)角線元素為ai,其余位置都是0的n×n階矩陣.在Mn(R)中,A=diag{a1,a2,···,an}弱正則當(dāng)且僅當(dāng)a1,···,an都在R 中弱正則.

定理2.13 設(shè)R是一個(gè)環(huán),以下命題等價(jià):

(1)R是弱正則環(huán);

(2)對(duì)于每一自然數(shù)n,Mn(R)是幾乎弱正則環(huán).

證 (1)?(2).由文獻(xiàn)[11]引理1.1,R是弱正則環(huán)可以得到Mn(R)是弱正則環(huán),因此也是幾乎弱正則環(huán).

(2)?(1).對(duì)任意a∈R,取A=diag{a,1?a,1,···,1}∈Mn(R),In是Mn(R)中單位矩陣.從而In?A=diag{1?a,a,0,···,0}因?yàn)镸n(R)是幾乎弱正則環(huán),所以A或In?A在Mn(R)中是弱正則的.由引理2.12知無論A或In?A是弱正則的,均可以得到a在R中弱正則.因此R是弱正則環(huán).

命題2.14(1)單環(huán)都是幾乎弱正則環(huán);

(2)如果環(huán)R的每個(gè)右理想都是由冪等元生成的,則R是幾乎弱正則環(huán).

證 由文獻(xiàn)[8,命題4.7]知單環(huán)是弱正則環(huán);如果環(huán)R的每個(gè)右理想都是由冪等元生成的,則R是弱正則環(huán).因此,它們都是幾乎弱正則環(huán).

文獻(xiàn)[12]中稱一個(gè)環(huán)R是ELT環(huán),如果R中每個(gè)本質(zhì)左理想都是理想.

命題2.15設(shè)R是ELT環(huán),以下命題等價(jià):

(1)R是幾乎弱正則環(huán);

(2)R是VNL環(huán).

證 (2)?(1)顯然成立.

(1)? (2).構(gòu)造這樣一個(gè)本質(zhì)左理想I=(a〉⊕PLi,其中(a〉是R中由a生成的主左理想,Li是R中所有不含a的左理想.由R是ELT環(huán)知I是R的理想.因?yàn)镽是幾乎弱正則環(huán),對(duì)任意a∈R,有a或1?a弱正則.如果a是弱正則的,則存在x′,x′′∈ R 使得 a=ax′ax′′∈ aRaR ? aI. 于是存在 b ∈ R,l∈ Pli使得 a=a(ba+l),a?aba=(1?ab)a∈ (a〉.另一方面,a?aba=al∈ PLi,而(a〉TPLi=0,這推出a=aba,所以a在R中是正則的.如果1?a是弱正則的,類似可證1?a是正則的.綜上,R是VNL環(huán).

引理2.16[8]對(duì)于一個(gè)約化環(huán)R以及a∈R,有

是R的一個(gè)理想I,且ITRaR=0,其中l(wèi)R(a),rR(a)分別表示環(huán)R中a的左、右零化子集合.

定義2.17稱一個(gè)環(huán)是幾乎雙正則環(huán),如果對(duì)任意x∈R,RxR或R(1?x)R是由中心冪等元生成的.

命題2.18設(shè)R是約化環(huán),則以下命題等價(jià):

(1)R是幾乎弱正則環(huán);

(2)R是幾乎雙正則環(huán).

證 (2)? (1).對(duì)于a∈R,RaR或R(1?a)R是由中心冪等元生成的.如果RaR是由中心冪等元生成的,則存在一個(gè)中心冪等元e∈R使得RaR=(e),從而aR=aRe?aR(RaR)=(aR)2?aR,因此a在R中是弱正則的.如果R(1?a)R是由中心冪等元生成的,同理可以得到1?a在R中是弱正則的.

(1)?(2).對(duì)于a∈R,由假設(shè)知a或1?a是弱正則的.如果a在R中弱正則,記rR(a)=B,由引理2.16知B=rR(a)=rR(RaR)=lR(RaR)且BTRaR=0.因?yàn)閍是弱正則的,所以存在b∈RaR使得a=ab,因此有a?ab=0,a(1?b)=0,1?b∈rR(a),因此RaR+B=R.又因?yàn)锽TRaR=0,從而有RaR⊕B=R.由文獻(xiàn)[13]引理4知,RaR是由中心冪等元生成的.如果1?a在R中弱正則,同理可得R(1?a)R是由中心冪等元生成的.

命題2.19約化的幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)是VNL環(huán).

證 任取x∈R,因?yàn)镽是幾乎強(qiáng)π-正則環(huán),則x或1?x是強(qiáng)π-正則的.假定x是強(qiáng)π-正則的,則存在z∈R和正整數(shù)n使得xn=xn+1z,xz=zx.設(shè)e=xnzn.因?yàn)閤n=xn+1z=xn+2z2=···=x2nzn=xnznxn.因此e2=e,x與1?e可交換,

又因?yàn)镽是約化環(huán),從而有

即x是正則的.假定1?x是強(qiáng)π-正則的,類似可得1?x也是正則的.所以R是VNL環(huán).

命題2.20設(shè)環(huán)T=S+K,其中S是T的子環(huán),K是T的冪零理想,則T是幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)S是幾乎強(qiáng)π-正則環(huán).

證 假定Kn=0,對(duì)于特定的n≥1.

(?=)任取t∈T,t=s+x其中s∈S,x∈K.因?yàn)镾是幾乎強(qiáng)π-正則的,有s或1?s是強(qiáng)π-正則的.如果s是強(qiáng)π-正則的,則存在k≥1使得skS=sk+1S=···,因此存在s0∈S使得sk=snk+1s0.于是有tk=(s+x)k=sk+x0=snk+1s0+x0tnk+1=(s+x)nk+1=snk+1+x1,其中x0,x1∈K.這樣,tk?tnk+1s0=x0?x1s0∈K.因?yàn)镵n=0,(tk?tnk+1s0)n=0,從而得到tnk∈tnk+1T,所以t在T中是強(qiáng)π-正則的.如果1?s是強(qiáng)π-正則的,同理可證1?t是強(qiáng)π-正則的.所以T是幾乎強(qiáng)π-正則環(huán).

(=?)任取s∈S.因?yàn)門是幾乎強(qiáng)π-正則的,有s或1?s在T中是強(qiáng)π-正則的.如果s是強(qiáng)π-正則的,則存在k≥ 1使得skT=sk+1T= ···,因此存在t∈T,sk=snk+1t.令t=a+x,其中a∈S,x∈K.這樣就有sk?snk+1a=snk+1x∈K,Kn=0,(sk?snk+1a)n=0,從而有snk∈snk+1S,所以s在S中是強(qiáng)π-正則的.如果1?s在T中是強(qiáng)π-正則的,同理可證1?s在S中也是強(qiáng)π-正則的,即S是幾乎強(qiáng)π-正則環(huán).

文獻(xiàn)[12]中稱環(huán)R的右理想I為廣義弱理想(GW理想),如果對(duì)任意a∈I,存在一個(gè)正整數(shù)n,使得Ran?I.

命題2.21設(shè)環(huán)R中的極大右理想都是GW理想,則以下命題等價(jià):

(1)R是幾乎強(qiáng)正則環(huán);

(2)R是幾乎弱正則環(huán).

證 (1)?(2)由定義可得.

(2)?(1).因?yàn)镽是幾乎弱正則環(huán),對(duì)于任意a∈R,有a或1?a弱正則.如果a是弱正則的,則存在s,t∈R使得a=asat.假設(shè)r(a)+aR≠R且M 是R中包含r(a)+aR的極大右理想,則由a(1?sat)=0知1?sat∈r(a)?M.如果sat/∈M,則有M+satR=R,且存在x∈M,r∈R使得x+satr=1.因?yàn)镸 是GW理想且atrs∈M,故存在一個(gè)正整數(shù)n使得s(atrs)n∈M,于是有(1?x)n+1=(satr)n+1=s(atrs)natr∈M.又因?yàn)閤∈M,從而有1∈M,這與M≠R矛盾.因此必有sat∈M,從而得到1∈M,此為矛盾.所以假定不成立,有r(a)+aR=R,因此a在R中是強(qiáng)正則的.如果1?a在R中是弱正則的,利用上述方法可以得到1?a在R中是強(qiáng)正則的.綜上,R是幾乎強(qiáng)正則環(huán).

3 更多的例子

命題3.1幾乎弱正則環(huán)(幾乎π-正則環(huán),幾乎強(qiáng)π-正則環(huán))的同態(tài)像還是幾乎弱正則環(huán)(幾乎π-正則環(huán),幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)).

證 設(shè)R是幾乎弱正則環(huán),σ:R→ R′是一個(gè)環(huán)同態(tài).對(duì)任意a∈R,有a或1?a是弱正則的. 如果 a是弱正則的,則存在 r′,r′′∈ R 使得 a=ar′ar′′. 于是有σ(a)= σ(ar′ar′′)= σ(a)σ(r′)σ(a)σ(r′′),所以 σ(a) 是 R′中弱正則元. 同理可證,如果 1 ? a是R中弱正則元,則1?σ(a)是R′中弱正則元.因此R′也是幾乎弱正則環(huán).對(duì)于幾乎π-正則環(huán)與幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)的情況,類似可證.

定理3.2(1)一族環(huán)的直積∏{Rα:α∈I}是幾乎弱正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)存在α0∈I使得Rα0是幾乎弱正則環(huán),其余α∈I?α0,Rα均為弱正則環(huán).

(2)一族環(huán)的直積∏{Rα:α∈I}是幾乎π-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)存在α0∈I使得Rα0是幾乎π-正則環(huán),其余α∈I?α0,Rα均為π-正則環(huán).

(3)一族環(huán)的直積∏{Rα:α∈I}是幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)存在α0∈I使得Rα0是幾乎強(qiáng)π-正則環(huán),其余α∈I?α0,Rα均為強(qiáng)π-正則環(huán).

證 (1)充分性.顯然成立.

必要性.假定∏{Rα:α∈I}是幾乎弱正則環(huán).因?yàn)镽α是∏Rα的同態(tài)像,由命題2.1知每個(gè)Rα都是幾乎弱正則環(huán).任取一α0∈I,記∏{Rα:α∈I}=Rα0×S,其中S=∏{Rα:α∈I?α0}.如果Rα0與S都不是弱正則環(huán),則存在非弱正則元r∈Rα0,s∈S.取a=(r,IS?s),則在∏{Rα:α∈I}中,a或1?a都不是弱正則的,得到矛盾.因此,Rα0或S必有之一是弱正則的.如果S是弱正則的,則定理得證.如果S是幾乎弱正則環(huán),則重復(fù)以上討論,可得結(jié)論.

(2)和(3)的證明與(1)類似.

推論3.3如果R=S×T是幾乎弱正則環(huán)(幾乎π-正則環(huán),幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)),則S和T一個(gè)是幾乎弱正則環(huán)(幾乎π-正則環(huán),幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)),另一個(gè)是弱正則環(huán)(π-正則環(huán),強(qiáng)π-正則環(huán)).

兩個(gè)幾乎弱正則環(huán)的直積未必是幾乎弱正則環(huán).由例2.2,Z4是幾乎弱正則環(huán),但Z4×Z4不是幾乎弱正則環(huán).這是因?yàn)?取 a=(,),1 ? a=(,),則在 Z4× Z4中,a 或者 1 ? a 都不是弱正則的.

設(shè)D 是環(huán)C的一個(gè)子環(huán),且1c∈D,則

在普通的加法和乘法定義下構(gòu)成一個(gè)環(huán).

定理3.4下面兩個(gè)命題等價(jià):

(1)R[C,D]是幾乎弱正則環(huán)(幾乎π-正則環(huán),幾乎強(qiáng)π-正則環(huán));

(2)C是弱正則環(huán)(π-正則環(huán),強(qiáng)π-正則環(huán))且D 是幾乎弱正則環(huán)(幾乎π-正則環(huán),幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)).

證 (1)? (2).設(shè) ? :R[C,D]→ D,?(a1,a2,···,an,b,b,···)=b.易見 ? 是一個(gè)環(huán)同態(tài).由命題3.1知D是幾乎弱正則環(huán).假定C不是弱正則環(huán),則存在x∈C不是弱正則元.取 a=(x,1?x,1,1,···)∈ R[C,D],有 1?a=(1?x,x,0,0,···).由于 R[C,D]是幾乎弱正則環(huán),則a或1?a在R[C,D]中是弱正則的.如果a是弱正則的,則x∈C是弱正則的,矛盾.若1?a是弱正則的,則也有x∈C是弱正則的,矛盾.所以假設(shè)不成立,C是弱正則環(huán).

(2)? (1).對(duì)任意 (a1,a2,···,an,b,b,···)∈ R[C,D],其中 ai∈ C,b∈ D.因?yàn)?C 是弱正則環(huán),所以存在使因?yàn)镈 是幾乎弱正則環(huán),則b或1?b是D中弱正則元.如果 b是弱正則元,則存在 y′,y′′∈ D 使得 b=by′by′′.因此有

這表明(a1,a2,···,an,b,b,···)是R[C,D]中弱正則元.如果1?b是D 中弱正則元.同理可證1?(a1,a2,···,an,b,b,···)是R[C,D]中弱正則元.綜上知R[C,D]是一個(gè)幾乎弱正則環(huán).

對(duì)于幾乎π-正則環(huán)和幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)的情況,類似可以證明.

設(shè)R是一個(gè)環(huán),RVR是一個(gè)雙模,且V是一個(gè)一般環(huán)(未必有1).稱環(huán)I(R;V)=R⊕V是環(huán)R關(guān)于V的理想擴(kuò)張,其中加法是通常的加法,乘法運(yùn)算定義為(r,v)(s,w)=(rs,rw+vs+vw).

命題3.5如果環(huán)R關(guān)于V的理想擴(kuò)張S=I(R;V)是幾乎弱正則環(huán)(幾乎π-正則環(huán),幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)),則R是幾乎弱正則環(huán)(幾乎π-正則環(huán),幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)).

證 因?yàn)镾=I(R;V)是幾乎弱正則環(huán),所以對(duì)任意(r,v)∈I(R;V),(r,v)或(1,0)?(r,v) 是弱正則的. 若 (r,v) 是弱正則元,則存在 (x′,y′),(x′′,y′′) ∈ I(R;V) 使得 (r,v)=(r,v)(x′,y′)(r,v)(x′′,y′′). 這推出 r=rx′rx′′,r 在 R 中是弱正則的. 若 (1,0)? (r,v) 是弱正則的, 則存在 (x′,y′),(x′′,y′′) ∈ I(R;V) 使得 (1 ? r,?v)=(1 ? r,?v)(x′,y′)(1 ?r,?v)(x′′,y′′),于是有 1 ? r=(1? r)x′(1? r)x′′. 所以 1? r 在 R 中是弱正則的. 綜上知 R是幾乎弱正則環(huán).

命題3.5的逆命題不成立.例如,環(huán)R=Z4是幾乎弱正則環(huán),取V=Z4,則S=I(Z4;Z4) 不是幾乎弱正則環(huán). 這是因?yàn)樵?I(Z4;Z4) 中,(,) 不是弱正則的,(,) ? (,)也不是弱正則的. 假設(shè) (,) 是弱正則的,則存在 (x′,y′),(x′′,y′′) ∈ I(Z4;Z4) 使得 (,)=于是有這不可能. 所以假設(shè)不成立. 另一方面, 對(duì)于假設(shè)存在使得則有要滿足等式成立,則需取此時(shí)矛盾. 因此(,)? (,) 也不是弱正則的. 所以 S=I(Z4;Z4) 不是幾乎弱正則環(huán).幾乎 π -正則環(huán),幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)的情況類似可以證明.

命題3.6(1)如果R是弱正則環(huán),S是局部環(huán),設(shè)RMS是一個(gè)雙模,則是幾乎弱正則環(huán).

(2)如果R是π-正則環(huán)(強(qiáng)π-正則環(huán)),S是局部環(huán),則是π-正則環(huán)(強(qiáng)π-正則環(huán)).

R是強(qiáng)π-正則環(huán)的情況類似可證.

命題3.7幾乎弱正則環(huán)(幾乎π-正則環(huán),幾乎強(qiáng)π-正則環(huán))的直極限仍是幾乎弱正則環(huán)(幾乎π-正則環(huán),幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)).

證 設(shè){Rα,?αβ|α,β∈I}是幾乎弱正則環(huán)上的直系統(tǒng),R為Rα的直極限,ηα:Rα→R,α∈I是環(huán)單同態(tài),其中Im(ηα)表示單同態(tài)ηα的像.下證R 是幾乎弱正則的.任取r∈R,存在α∈I,使得r∈Imηα,即存在rα∈Rα,使得ηα(rα)=r,同時(shí)有ηα(1Rα?rα)=1R?r.由于Rα是幾乎弱正則環(huán),所以rα或1Rα?rα弱正則.如果rα是弱正則的,則存在使得從而有其中即r在R中是弱正則的.同理,如果1Rα?rα是弱正則的,可以得到1R?r在R中是弱正則的.綜上知R是幾乎弱正則環(huán).

幾乎π-正則環(huán),幾乎強(qiáng)π-正則環(huán)的情況類似可以證明.