夏麗莉， 國忠金， 張 偉

(1.北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院， 北京 100124; 2.河南教育學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院, 鄭州 450046; 3.泰山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 山東 泰安 271000)

基于離散Legenda變換的Hamilton系統(tǒng)的變分算法和辛結(jié)構(gòu)

夏麗莉1，2*， 國忠金1，3， 張 偉1

(1.北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院， 北京 100124; 2.河南教育學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院, 鄭州 450046; 3.泰山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 山東 泰安 271000)

根據(jù)動量的不同表達(dá)式，給出3種不同的Legenda變換形式；得到3種不同形式的Hamilton系統(tǒng)的動力學(xué)方程；給出辛結(jié)構(gòu)守恒的具體形式；二自由度非線性諧振子的例子驗(yàn)證基于離散變分原理的算法具有保系統(tǒng)的能量守恒量性質(zhì).

差分離散變分原理; 離散Legenda變換; 變分算子

動力學(xué)系統(tǒng)的保辛算法是一類重要的保結(jié)構(gòu)算法. 對于離散的Hamilton系統(tǒng)，其差分方程的形式一方面取決于變量的離散格式，另一方面，離散過程中的數(shù)學(xué)處理也對其有一定的影響. 在探究Hamilton力學(xué)的保結(jié)構(gòu)數(shù)值計算方法時，在變量直接離散的情況下，運(yùn)用到力學(xué)的變分原理，離散前后保持了原系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu). 這種基于變分原理的數(shù)值算法被應(yīng)用到離散Lagrange系統(tǒng)[1-2]. Wendlandt[3]、 Marsden[4]、Kane[5]、 Cortés[6]等將基于差分變分原理的辛算法應(yīng)用到各種力學(xué)系統(tǒng). Marsden等學(xué)者得到了保守系統(tǒng)[5]、耗散系統(tǒng)[7]和非完整系統(tǒng)[8]的積分子，討論了辛結(jié)構(gòu)和多辛結(jié)構(gòu)的概念[9]. 郭漢英和合作者得到了不同于離散變分原理的離散力學(xué)的差分變分原理[10-12]. 這種變分方法將差分視作一個幾何對象， 它與連續(xù)情況中的導(dǎo)數(shù)有著相似的性質(zhì). 差分變分原理不同于Lee的變分算法[1-2]，也不同于Veselov應(yīng)用于經(jīng)典力學(xué)的變分方法[13-14].在討論變步長問題時[15]，差分離散變分算法能夠既保持系統(tǒng)的能量守恒也能保持系統(tǒng)的辛守恒或多辛守恒. 因此，差分離散變分算法對探求系統(tǒng)的物理性質(zhì)和數(shù)值計算具有積極的意義.

離散Hamilton系統(tǒng)的差分方程的形式?jīng)Q定了系統(tǒng)的數(shù)值計算方法的效果，這種效果基于變量離散化和遵從的數(shù)學(xué)原理. 對于離散的Hamilton系統(tǒng)，人們從力學(xué)中的數(shù)學(xué)原理出發(fā)，能夠同時得到離散的辛結(jié)構(gòu)守恒和離散的能量守恒，基于離散的Noether定理，有可能還能探求到其他的可能物理意義尚不明顯的守恒量.

本文主要通過3種不同的Legenda變換，基于離散化的變分原理，得到3種不同類型的差分方程和辛結(jié)構(gòu)形式. 最后通過算例具體驗(yàn)證了3種離散情況下的數(shù)值計算結(jié)果和辛守恒特性.

1連續(xù)Hamilton系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu)

研究一質(zhì)點(diǎn)系， 系統(tǒng)的位形由n個廣義坐標(biāo)qs(s=1，…，n)來確定. 系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程可以表示為

(1)

其中，L=T-V為系統(tǒng)的Lagrange函數(shù).

Lagrange函數(shù)的外微分形式為

(2)

定義Euler-Lagrange方程的1-形式

(3)

有

(4)

其中，θ是正則1-形式

(5)

令

(6)

利用d2L=0，當(dāng)且僅當(dāng)Euler-Lagrange方程的1-形式微分封閉(又稱Euler-Lagrange條件)

(7)

成立，有辛守恒

(8)

其中ω為辛格式

(9)

(10)

由連續(xù)系統(tǒng)的變分原理，可得

(11)

根據(jù)系統(tǒng)的全變分為零的特征，考慮到邊界條件，可以得到Hamilton系統(tǒng)的正則方程為

(12)

引入微分1-形式

(13)

此式也稱之為辛式，引入一個2-形式

(14)

形式(14)稱為辛二形式，也稱為辛結(jié)構(gòu). 當(dāng)系統(tǒng)的變量滿足正則方程時，系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu)保持不變，這樣就給出如下定理[16].

定理1當(dāng)系統(tǒng)的變量滿足方程(12)時，有

(15)

定理2當(dāng)系統(tǒng)的變量滿足方程(12)時，有

(16)

由Legenda 變換式

(17)

可得Lagrange函數(shù)的外微分

(18)

展開后可得

(19)

這里定義Euler-Lagrange 1-形式

(20)

若α=0，則可以得到正則方程(12). 由d2L=0得：

(21)

所以有結(jié)論:

2離散Hamilton系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu)

對于連續(xù)系統(tǒng)，由Lagrange函數(shù)過渡到Hamilton函數(shù)的Legenda變換是唯一的，但是對于離散的動力學(xué)系統(tǒng)，由于離散變量的形式不同，Legenda變換可以有不同的表達(dá)形式，下面我們給出三種不同的Legenda變換， 得到不同的的辛格式以及其保持的辛守恒律.

2.1第1種Legenda變換

(22)

Hamilton系統(tǒng)的離散作用量可表示為

(23)

作用量的全變分為

pi，kδtΔqi，k-δtHD，k]．

(24)

由全變分δtSD=0，考慮到δtqi，k、δtpi，k和δttk的獨(dú)立性，有結(jié)論

(25)

(26)

(27)

方程(25)～(27)即基于差分變分原理的離散Hamilton系統(tǒng)的差分動力學(xué)方程.

首先給出系統(tǒng)作用量的外微分形式

(28)

對作用量取二次外微分，由d2SD=0和dα=0得

(29)

相應(yīng)的離散辛守恒律為

dpi，k-1∧dqi，k-dHD，k-1∧dtk=C.

(30)

2.2第2種Legenda變換

在第二種Legenda變換中，區(qū)別于第一Legenda變換是動量的引入的不同，這里首先引入動量和Hamilton方程的形式

(31)

則系統(tǒng)的離散的作用量可以表示為

(32)

對作用量(32)進(jìn)行全變分

pi，k+1δtΔqi，k-δtHD，k]=

若求離散辛守恒律，取ΘD的二次外微分，由d2ΘD=0得

(33)

又有

(34)

(35)

dα=0表明滿足正則方程，有

(36)

dpi，k∧dqi，k-dHD，k-1∧dtk=C.

(37)

由全變分δtΘD=0，考慮到得δtqi，k、δtpi，k+1和δttk的獨(dú)立性，有結(jié)論

(38)

(39)

(40)

這和dα=0的條件是一致的.

2.3第3種Legenda變換

采用中心差分格式，給出對應(yīng)的Legenda變換，研究系統(tǒng)的辛格式和Hamilton方程形式. 首先引入動量和Hamilton函數(shù)

(41)

系統(tǒng)作用量函數(shù)表示為

(42)

對系統(tǒng)作用量進(jìn)行全變分

pi，k+1/2δtΔqi，k-δtHD，k]=

若求離散辛守恒律，取ΞD的二次外微分，由d2ΞD=0得

(43)

又有

(44)

(45)

離散辛結(jié)構(gòu)

dpi，k∧dqi，k-dHD，k-1∧dtk=C.

(46)

由全變分δtSD=0，考慮到δtqi，k、δtpi，k+1/2和δttk的獨(dú)立性，有結(jié)論

(47)

(48)

(49)

這里給出了3種不同形式的Legendre變換形式，基于離散差分變分原理，得到了不同形式的辛格式和Hamilton差分動力學(xué)方程.

3數(shù)值算例

二自由度非線性諧振子的Lagrange方程為

(50)

式中，諧振子的擺長為l，諧振子的質(zhì)量為m. 根據(jù)諧振子的第一類Lengendre變換pi，k=?LD，k/?Δqi，k，HD，k=pi，kΔqi，k-LD，k，其中時間間隔hk∈R+，離散的Hamilton方程可寫為

(51)

差分方程可寫為

(52)

這也稱之為系統(tǒng)的積分子．

對于第2種Lengendre 變換，pi，k+1=?LD，k/?Δqi，k，HD，k=pi，k+1Δqi，k-LD，k， Hamilton方程和積分子為

對于第3種變換，Hamilton方程和積分子可寫為

圖1用離散變分方法計算系統(tǒng)的能量誤差隨時間的變化趨勢. 這里h=0.1 s，m=0.01 kg，l=10 m. 初值設(shè)為p1=0.01 kg·m/s ，q1=0.05 m，p2=0.01 kg·m/s ，q2=0.053 m. 數(shù)值計算表明3種計算格式都能穩(wěn)定地表述系統(tǒng)的能量守恒，相比來說，中心差分方式在計算精度上稍好些，但是在保持系統(tǒng)能量守恒的特性上這3種算法是一致的. 系統(tǒng)的能量誤差隨著時間保持穩(wěn)定，數(shù)值模擬結(jié)果顯示的規(guī)律符合系統(tǒng)的實(shí)際情況. 說明不同的Legenda變換的得到的變分計算方法在長時間模擬上較穩(wěn)定，在保系統(tǒng)能量守恒的性質(zhì)上是一致的.

圖1 3種Legenda變換數(shù)值計算的能量誤差比較Fig.1 Comparison about error of energies of three types of integrators

4結(jié)論

本文基于差分離散變分原理得到離散Hamilton系統(tǒng)的差分方程和辛格式. 基于不同的離散變量格式，引入離散Legenda變換，得到了不同的Hamilton系統(tǒng)的差分方程形式. 從算例的模擬結(jié)果分析了變分算法的優(yōu)勢.

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Variational calculation and symplectic structure of Hamiltonian systems based the discrete Legenda transformations

XIA Lili1，2， GUO Zhongjin1，3， ZHANG Wei1

(1.College of Mechaniacl Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124; 2. College of Physical and Eelectronic Engineering, Henan Institute of Education, Zhengzhou 450046; 3.School of Mathematics and Statistics, Taishan University, Taian, Shandong 271000)

Three types of discrete Legenda transformations are obtained when the displacement coordinates are defined implicitly by different momentum. The different forms of Hamiltonian equations are constructed based on the difference Legenda transformations. The symplectic structures of the three Hamilton systems are given, respectively. The numerical calculations of a two-degree-of-freedom nonlinear harmonic oscillator show the advantage of variational numerical method.

discrete difference variational principle; discrete Legenda transformations; variational integrators

2017-01-22.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11502071，11290152)；北京市朝陽區(qū)博士后基金項(xiàng)目；河南省教育廳基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(17A140015)．

10.19603/j.cnki.1000-1190.2017.04.006

1000-1190(2017)04-0449-06

O316

A

*E-mail: xll2004@126.com.