安徽 朱啟州

2017年高考全國(guó)卷立體幾何命題趨勢(shì)

安徽 朱啟州

立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，又是高考命題微創(chuàng)新最活躍的部分．本文試圖就2017年全國(guó)卷立體幾何命題趨勢(shì)談幾點(diǎn)看法，供大家參考．

一、2017年立體幾何高考數(shù)學(xué)卷中的“不變”

每年的高考數(shù)學(xué)命題都是在繼承中求穩(wěn)定、創(chuàng)新中求發(fā)展．具體說預(yù)計(jì)2017年全國(guó)卷立體幾何的命題在以下幾個(gè)方面不會(huì)變：

1．對(duì)空間幾何體的三視圖、體積、面積的計(jì)算考查

【例1】（2014·湖北文）在如左圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），給出編號(hào)為①②③④的四個(gè)圖，則該四面體正視圖和俯視圖分別為 （ ）

A．①和②

B．③和①

C．④和③

D．④和②

【解析】由給出的頂點(diǎn)坐標(biāo)，畫出符合要求的四面體，由于不夠直觀，可以通過補(bǔ)圖的方法將圖形補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體，再畫出該四面體的正視圖和俯視圖，可得結(jié)果，應(yīng)選D．

【變式1】中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若π取3，其體積為12．6立方寸，則圖中的x為 （ ）

A．1．2

B．1．6

C．1．8

D．2．4

【答案】B

【評(píng)析】對(duì)三視圖的考查重點(diǎn)是學(xué)生對(duì)空間幾何體的識(shí)別以及幾何體的體積、面積計(jì)算以及圖形位置關(guān)系，以及考查學(xué)生的空間想象能力，一般難度不大．

2．對(duì)空間線面平行與垂直關(guān)系的考查

空間線面位置關(guān)系有關(guān)概念、公理、定理的理解與運(yùn)用是立體幾何核心內(nèi)容，是高考命題的熱點(diǎn)．

【例2】（蚌埠市2017屆高三質(zhì)量檢測(cè)19）如圖，正四棱錐P－ABCD各棱長(zhǎng)都為2，點(diǎn)O，M，N，Q分別是AC，PA，PC，PB的中點(diǎn)．

（1）求證：PD∥平面QAC；

（2）求三棱錐P－MND的體積．

【解析】（1）連接BD，則BD交AC于O點(diǎn)，連接OQ，

因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，Q是PB的中點(diǎn)，所以O(shè)Q∥PD，

又因?yàn)镺Q平面QAC，PD平面QAC，

所以PD∥平面QAC．

【變式】（2016·新課標(biāo)Ⅱ理）α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．

③如果α∥β，mα，那么m∥β．

④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．

其中正確的命題有_______．（填寫所有正確命題的編號(hào)）

【答案】②③④

【評(píng)析】空間線面平行與垂直關(guān)系證明往往與空間向量、空間角與距離求解等放在一起，解題方法一般有幾何法和向量法，當(dāng)幾何法不易時(shí)常用向量法解決．

3．圍繞理性思維能力的考查設(shè)計(jì)立體幾何問題

概念、判斷與推理是理性思維的三種基本形式，它是以數(shù)學(xué)理解為基礎(chǔ)，圍繞理性思維設(shè)計(jì)高考立體幾何問題已成為常態(tài)．

【例3】已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是 （ ）

A．4cm3B．5cm3

C．6cm3D．7cm3

【解析】本題重點(diǎn)考查三視圖的有關(guān)知識(shí)，和簡(jiǎn)單幾何體的有關(guān)計(jì)算．此類題把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖是解題的關(guān)鍵．

【變式】（2014·新課標(biāo)Ⅰ理·12）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為 （ ）

【解析】從三視圖可知，可考慮在棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)構(gòu)造出這個(gè)四面體D－ABC，

故最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為6．

【評(píng)析】《新考綱》中三選一模塊刪去“幾何證明選講”，這就必然要求立體幾何問題的設(shè)計(jì)要以推理論證能力的考查作為重要元素．

4．與球的組合體有關(guān)的立體幾何問題不容忽視

在全國(guó)卷中，與球的組合體有關(guān)的立體幾何問題出現(xiàn)的頻率是比較高的，球的體積與表面積的計(jì)算、與其他立體圖形構(gòu)成的組合體的有關(guān)計(jì)算．

【例4】已知正三棱柱ABC－A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)在球O1上，又知球O2與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，則球O1與球O2的體積之比為________

【解析】顯然正三棱柱外接球與內(nèi)接球是同一點(diǎn)，設(shè)為O點(diǎn)，球O1與球O2的半徑分別為R，r，正三棱柱底面邊長(zhǎng)為a，則正三棱柱的高為2r，

【變式】（2016·新課標(biāo)Ⅲ文·11）在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是 （ ）

【評(píng)析】球體問題往往先確定球心，再確定半徑，常常通過截面圖將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決，常常運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)解題．

二、2017年全國(guó)卷立體幾何命題的新動(dòng)向

基于《新考綱》，2017年全國(guó)卷高考數(shù)學(xué)立體幾何部分將可能在以下幾個(gè)方面有所建樹．

1．突出立體幾何模塊與其他模塊間的融合

【例5】已知圓柱OO1底面半徑為1，高為π，ABCD是圓柱的一個(gè)軸截面．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點(diǎn)D，其距離最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線Γ如圖所示．將軸截面ABCD繞著軸OO1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜π）后，邊B1C1與曲線Γ相交于點(diǎn)P．

（1）求曲線Γ長(zhǎng)度；

若存在，求出線段BP的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【簡(jiǎn)解】（1（將圓柱側(cè)面展開成平面）；

【變式】（黃崗市2016年高三3月份質(zhì)檢題）如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的表面運(yùn)動(dòng)，且P到直線BC與直線C1D1的距離相等．如果將正方體在平面內(nèi)展開，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡在展開圖中的形狀是 （ ）

【解析】在平面BCC1B1中，由P點(diǎn)到直線BC與直線C1D1的距離相等，可知P點(diǎn)C1的距離與到直線BC的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡是以C1為焦點(diǎn)，BC為準(zhǔn)線的拋物線，可排除C，D；再在其他平面上驗(yàn)證，在平面BB1A1A中，P點(diǎn)到BC1C1D1距離相等可轉(zhuǎn)化為P到B的距離平方比P到A1B1的距離平方大1，可求出此時(shí)P的軌跡方程，可知B符合題意．

【評(píng)析】例4還可以用幾何法求解，它是一道涉及點(diǎn)到平面的距離、面面角等立體幾何綜合題，同時(shí)又是一道應(yīng)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)分析與解決問題應(yīng)用題；變式題是一道立體幾何問題與解析幾何問題的綜合題．

2．突出體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)情境下的立體幾何應(yīng)用問題

體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問題情境下的應(yīng)用問題，能更好地考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)用的廣泛性和學(xué)科價(jià)值．

【例6】某產(chǎn)品包裝盒（如圖），平面ADE⊥平面ADC，矩形DCBE中，AB、BE邊的長(zhǎng)分別為20cm和30cm，∠ACB＝∠ACD＝90°，因包裝產(chǎn)品的需要，要求該包裝盒平面ADE與平面ABC所成的二面角不小于60°，問：邊BC長(zhǎng)度至少多長(zhǎng)才能滿足要求？

【簡(jiǎn)解】可考慮在底面對(duì)角線長(zhǎng)為20cm，高為30cm的長(zhǎng)方體內(nèi)構(gòu)造出這個(gè)四棱錐A－BCDE，設(shè)BC＝t，則AC＝，以C為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz，

面ABC的一個(gè)法向量為n2＝（0，0，1）．

∴t≥10．即邊BC長(zhǎng)度至少為10cm才能滿足要求．

【變式】如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝xcm．要使包裝盒容積V（cm3）最大，這時(shí)x值為________．

【簡(jiǎn)析】，對(duì)其求導(dǎo)，得，易求得當(dāng)x＝20時(shí)取得極大值，也就是當(dāng)x＝20時(shí)，包裝盒容積V最大．

【評(píng)析】此問題具有一定現(xiàn)實(shí)背景數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，通過閱讀獲取信息，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．

3．突出體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化立體幾何問題

【例7】（2013·上海理·13）在xOy平面上，將兩個(gè)半圓弧（x－1）2＋y2＝1（x≥1）和（x－3）2＋y2＝1（x≥3）、兩條直線y＝1和y＝－1圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為Ω，過（0，y）作Ω的水平截面，所得截面面積為，試用祖暅原理，求出一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，得出Ω的體積值為________．

注：祖暅原理：“緣冪勢(shì)既同，則積不容異．”意思是說：兩等高立方體，若在每一等高處的截面面積都相同，則兩立方體的體積相等．

【解析】由題意，知一個(gè)水平放置的半徑為1高為2π的圓柱體和一個(gè)高為2底面面積8π的長(zhǎng)方體組合成一個(gè)幾何體，這個(gè)幾何體與幾何體Ω放在一起，每個(gè)平行水平截面的截面面積都相等．根據(jù)祖暅原理，可知它們的體積一定相等，即幾何體Ω的體積為π×12×2π＋2×8π＝2π2＋16π．

【變式】《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的表面積為 （ ）

【答案】D

【評(píng)析】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作如《九章算術(shù)》《數(shù)書九章》等有大量素材．如例1變式問題、2015年全國(guó)Ⅰ卷文理第6題都是《九章算術(shù)》中的問題．這類問題難度不大，關(guān)鍵是審清題意，理解給出的相關(guān)概念．

4．以數(shù)學(xué)問題解決為基礎(chǔ)的立體幾何微創(chuàng)新問題

【例8】如左圖，有兩個(gè)圓柱體，它們的底面都是半徑為1的圓．這兩個(gè)圓柱互相垂直地交疊在一起，中心軸相交，在公共部分這個(gè)幾何體里，正好可以內(nèi)切一個(gè)半徑為1的球體．教科書中關(guān)于球體積公式推導(dǎo)，運(yùn)用了“分割，求近似和，化為準(zhǔn)確和”的方法，利用這種思想，試求它們公共部分（如右圖）的體積是多少？

【解析】設(shè)想在陰影部分中放進(jìn)一半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)的球，使它的圓心正好在軸線的交點(diǎn)．其軸截面如下圖，公共部分則為一個(gè)正方形，內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切圓，為單位球的截面圓，如果將截面向兩邊平移，公共部分還是一個(gè)正方形，內(nèi)也有一個(gè)內(nèi)切圓，是單位球被平面截得的截面．

設(shè)想用這樣的一組平面把公共部分切成n層，所有這些“薄片”都疊加起來，各圓片之和就是單位球的體積，各正方形薄片之和就是公共部分的體積，應(yīng)有如下關(guān)系：

【變式】如圖，圓柱、圓錐與半球的底面直徑都為2R，半球內(nèi)切于圓柱，圓椎的頂點(diǎn)是圓柱的底面圓心．則圓柱、圓錐與半球體積之比為________．

【答案】3∶2∶1

【評(píng)析】例7中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想去解決問題，變式問題中優(yōu)美結(jié)果發(fā)現(xiàn)，都是微創(chuàng)新．

（作者單位：安徽省淮北市杜集區(qū)教育局）