河北 周 雪

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用問題例析

河北 周 雪

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用十分廣泛，如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，求曲線的切線以及解決某些實(shí)際問題等．利用導(dǎo)數(shù)工具使復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單化，導(dǎo)數(shù)為研究函數(shù)的單調(diào)性及極值等問題提供了通用的解題思路和方法，因而已逐漸成為新高考的又一熱點(diǎn)．高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的要求主要表現(xiàn)在三個(gè)方面，即考查導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)的公式和求導(dǎo)的法則；導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的增減性等；綜合考查，包括解決應(yīng)用問題以及有關(guān)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的綜合問題．

一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是函數(shù)值相對(duì)于自變量的變化率，體現(xiàn)在幾何上就是切線的斜率．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究曲線切線的斜率是導(dǎo)數(shù)的重要內(nèi)容．求切線的方程可通過求導(dǎo)數(shù)先得到斜率，再由切點(diǎn)利用點(diǎn)斜式方程得到，求過點(diǎn)p（x0，y0）的切線方程時(shí)，一要注意p（x0，y0）是否在曲線上，二要注意該點(diǎn)可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn)，因而所求的切線方程可能不止有1條．

【例1】已知曲線C：y＝x3－3x2＋2x，直線l：y＝kx，且l與C切于點(diǎn)（x0，y0）（x0≠0），求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．

二、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)有關(guān)知識(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值（極值）問題

1．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)函數(shù)f′（x）；③解不等式f′（x）＞0，得f（x）的遞增區(qū)間；解不等式f′（x）＜0，得f（x）的遞減區(qū)間．即函數(shù)的增區(qū)間是f′（x）≥0恒成立的區(qū)間，函數(shù)的減區(qū)間是f′（x）≤0恒成立的區(qū)間（其中導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)為有限個(gè)）．

利用求導(dǎo)方法討論函數(shù)的單調(diào)性，要注意以下幾方面：①在某個(gè)區(qū)間上f′（x）＞0（＜0）是f（x）在該區(qū)間上遞增（遞減）的充分條件而非必要條件；②求單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定定義域；然后再根據(jù)f′（x）＞0（或f′（x）＜0），解出在定義域內(nèi)相應(yīng)的x的范圍．

（Ⅰ）判斷f（x）的單調(diào)性；

令g（x）＝－ax2＋2ax－a－1．

①當(dāng)a＝0時(shí)，g（x）＝－1＜0，∴f′（x）＜0，

∴f（x）在R上為減函數(shù)．

∴g（x）＜0，即f′（x）＜0

∴f（x）在R上為減函數(shù)．

③當(dāng)a＜0時(shí)，由－ax2＋2ax－a－1＞0，

由－ax2＋2ax－a－1＜0，

（Ⅱ）①當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在［1，2］上為減函數(shù)．

【解析】f′（x）＝x2－ax＋（a－1）．

由f′（x）＝0，得x1＝1或x2＝a－1．

當(dāng)a－1≤1，即a≤2時(shí)，x∈（1，＋∞）時(shí)，f′（x）＞0，

所以f（x）在（1，＋∞）內(nèi)遞增，不合題意．

當(dāng)a－1＞1，即a＞2時(shí)，x∈（1，a－1）時(shí)，f′（x）＜0；

x∈（a－1，＋∞）時(shí)，f′（x）＞0，

所以f（x）在（1，a－1）內(nèi)單調(diào)遞減；在（a－1，＋∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

又由已知得x∈（1，4）時(shí)f′（x）＜0，x∈（6，＋∞）時(shí)f′（x）＞0，

∴4≤a－1≤6，即5≤a≤7．

2．求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：①求導(dǎo)函數(shù)f′（x）；②求方程f′（x）＝0的根；③檢查f′（x）在方程根左、右的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值．如果左右不改變符號(hào)，那么f（x）在這個(gè)根處無極值．

【例3】設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f（x）＝alnx＋bx2＋x的值點(diǎn)．

（1）試確定常數(shù)a和b的值；

（2）試判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說明理由．

【解析】

【變式】已知函數(shù)fx＝ax＋bx＋cx在點(diǎn)x0處取得極小值－4，使其導(dǎo)數(shù)f′（x）＞0的x的取值范圍為（1，3），求f（x）的解析式．

【解析】由題意得：

3．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值時(shí)，首先求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值，然后將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在［a，b］上的最值．具體可分為以下幾步：①求出可導(dǎo)點(diǎn)，即f′（x）＝0的解x0；②用極值的方法確定極值；③將（a，b）內(nèi)的極值與f（a）、f（b）比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值；當(dāng)f（x）在（a，b）內(nèi)只有一個(gè)可導(dǎo)點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f（x）有極大（?。┲?，則可以確定f（x）在該點(diǎn)處取到了最大（小）值．

（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求f（x）的極值；

設(shè)f′（x）＝0得x＝±1，那么當(dāng)x變化時(shí)f′（x）及f（x）變化情況如下表：

__x （－∞，－1） －1 （－1，1） 1 （1，＋∞）f′（x）＋____ ____0____ ____－____ ______0＋___ f（x） 極大值3________________________2e2 極小值－e22__ ________

令g′（x）＝（x－1）（ax＋2）eax＝0，

所以g（x）最小值為，解得0＜a≤ln3．

【變式】已知函數(shù)f（x）＝x3－ax2＋3x．

（1）若f（x）在x∈［1，＋∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若x＝3是f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）在x∈［1，a］上的最小值和最大值．

（2）由題意知f′（x）＝3x2－2ax＋3＝0的一個(gè)根為x＝3，可得a＝5，

又f（1）＝－1，f（3）＝－9，f（5）＝15，

∴f（x）在x∈［1，5］上的最小值是f（3）＝－9，最大值是f（5）＝15．

三、利用導(dǎo)數(shù)證明等式或不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明等式或不等式為中學(xué)數(shù)學(xué)引進(jìn)了新的思路和方法，在證明不等式或等式時(shí)，首先要構(gòu)造函數(shù)和確定定義域，其次運(yùn)用求導(dǎo)的方法來證明．

【例5】已知函數(shù)：f（x）＝alnx－ax－3（a∈R）．

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈［1，2］，若函數(shù)g（x）＝x3＋在區(qū)間（t，3）上有最值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）求證：ln（22＋1）＋ln（32＋1）＋ln（42＋1）＋…＋ln（n2＋1）＜1＋2lnn?。╪≥2，n∈N＊）．

當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為［1，＋∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1］；

當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）不是單調(diào)函數(shù)．

由題意知：對(duì)于任意的t∈［1，2］，g′（t）＜0恒成立，

（3）令a＝－1（或a＝1），此時(shí)f（x）＝－lnx＋x－3，所以f（1）＝－2，

ln（22＋1）＋ln（32＋1）＋ln（42＋1）＋…＋ln（n2＋1）＜1＋2lnn！（n≥2，n∈N＊），

【變式】已知函數(shù)f（x）＝ex－ln（x＋1）－1（x≥0），

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；

（Ⅱ）若0≤y＜x，求證：ex－y－1＞ln（x＋1）－ln（y＋1）．

所以當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）≥0，

則函數(shù)f（x）在［0，＋∞）上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f（x）的最小值為f（0）＝0．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，

四、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的運(yùn)用

導(dǎo)數(shù)在自然科學(xué)、工程技術(shù)等方面都有廣泛的應(yīng)用，解決實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化，形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解．難點(diǎn)是如何把實(shí)際問題中所涉及的幾個(gè)變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式．

【例6】煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而造成環(huán)境污染．已知A、B兩座煙囪相距3km，其中A煙囪噴出的煙塵量是B煙囪的8倍，經(jīng)環(huán)境檢測(cè)表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比（比例系數(shù)為k）．若C是連接兩煙囪的線段AB上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），設(shè)AC＝xkm，C點(diǎn)的煙塵濃度記為y．

（Ⅰ）寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（Ⅱ）是否存在這樣的點(diǎn)C，使該點(diǎn)的煙塵濃度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說明理由．

解得x＝2．

故當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y′＝0．當(dāng)2＜x＜3時(shí)y′＞0．

可見當(dāng)x＝2時(shí)，y取得極小值，且是最小值．

即在連接兩個(gè)煙囪的線段AB上，距煙囪A處2km處的煙塵濃度最低．

【變式】在甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最??？

導(dǎo)數(shù)是函數(shù)、解幾的交匯點(diǎn)，有著重要的工具作用，豐富了對(duì)函數(shù)研究的方法，現(xiàn)在已是新高考重點(diǎn)考察的基礎(chǔ)知識(shí)，成為高考數(shù)學(xué)的一大熱點(diǎn)，相信高考仍然是會(huì)重點(diǎn)考查的，所以考生要引起高度的重視．

（作者單位：河北省衡水市第二中學(xué)）