李 高

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西 大同 037009)

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關于一次不定方程x1+x2+…+xm=n正整數解的新解法

李 高

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西 大同 037009)

目的 從不定方程x1+x2+…+xm=n的傳統(tǒng)與高等解法入手，探索尋覓新解法。方法 把不定方程的常數項n拆成n個1排成一列，在排成1列的空檔中巧妙利用組合及組合數的方法。結果 依據不定方程的自身特點，應用初等數學組合的基礎知識即可尋得方程x1+x2+…+xm=n的正整數解以及解的個數的解法，與傳統(tǒng)列表枚舉法或高等的解法相比較，得到了獨特新穎解法。結論 不定方程獨特的新穎解法只用了組合數即可把問題解決，它不僅打破了沿用至今的不定方程的煩瑣的傳統(tǒng)解法，避讓了高深的高等解法，而且在學習和應用中給出了解決問題的新思路。

不定方程;枚舉法;正整數解;獨特的新方法

1 不定方程正整數解的存在性

定理 當n

特別地，當n=m時，不定方程x1+x2+…+xm=n有且僅有一組正整數解，即

x1=x2=…=xm=1

2 求不定方程正整數解的常用方法

2.1 傳統(tǒng)解法

當n>m，且n與m都不太大時，不定方程x1+x2+…+xm=n的正整數解一般采用列表枚舉法進行求解。

例1 求x+y+z=5的正整數解。

表1 x+y+z=5的正整數解表

由表1的列表枚舉知，方程有6組正整數解。

當n與m較大時，采用列表枚舉法顯得舉步維艱，難以求解。

2.2 高等解法

依據不定方程解的存在性定理可知，當n≥m時，不定方程x1+x2+…+xm=n有正整數解[6-8]。

方程x1+x2+…+xm=0變形為xm=-x1-x2-…-xm-1

取x1=1,x2=x3=…=xm-1=0得xm=-1

取x2=1,x1=x3=x4=…=xm-1=0得xm=-1

MICA產品是浩亭響應新興市場需求的創(chuàng)新，不僅是產品本身要適應智能制造的需求，而是代表了數字化的大方向，也契合并響應了中國制造2025，因為工藝流程數字化正在變得日趨重要。中國制造2025最需要解決的難題是落地實現，MICA正好提供了很好的可視化管理實踐，可以幫助制造企業(yè)實現針對制造流程的監(jiān)控和可視化。烏弗·格拉夫（Uwe Graff）先生也坦言，“當然，如果客戶需要一個完整的解決方案，一個MICA是不夠的，需要發(fā)展本地合作伙伴協(xié)同落地。”

…… …… ……

取xm-1=1,x1=x2=…=xm-2=0得xm=-1

所以基礎解系為

又原方程一特解

由非齊次線性方程解的結構知，原方程的通解為

(x1,x2,…，xm)T=k1ζ1+k2ζ2+…+kmζm+ζ

然后選擇適當k1,k2,…，km的取值，再利用枚舉法即得方程的解。

3 獨特的新方法

高等解法不失為一種行之有效的好方法，其解法借助于高等代數的理論知識比較高深。而當n和m比較大時，傳統(tǒng)的枚舉法又顯得比較冗繁。

3.1 新穎獨特的方法

不定方程x1+x2+…+xm=n中的常數項n可看成是由n個排成1行的數1所組成的，即

n111…1

其中這n個1之間的空檔有n-1個，在這n-1個空檔中不重復地填加m-1個加號，把整數n分解成m個正整數，每一種放法對應著方程唯一的一組解，即

n-1個空檔∧1∧1∧1∧…∧1

例2 100塊糖果，1個人每天至少吃1塊，至多吃100塊，問有多少種吃法？

解 本例是上述新穎獨特解法的典型應用，100塊糖果擺放成1行，中間有99個空檔，在這99個空檔中不放吃字，說明1天吃完這些糖果，放1個吃字，說明兩天吃完這些糖果，不重復地放2個吃字，說明3天吃完這些糖果，依此不重復地放3個、4個直至放滿99個吃字，就是4天、5天直至100天吃完。

3.2 推廣

系數k1,k2,…，km為正整數的不定方程

k1x1+k2x2+…+kmxm=n

x1有k1個，x2有k2個，…，xm有km個，則此時方程可以認為是含有k1+k2+…+km個未知數的不定方程。

當k1+k2+…+km>n時，方程沒有正整數解；當k1+k2+…+km≤n時，方程有正整數解。

若方程有正整數解，在這n-1個空檔中不重復地填加k1+k2+…+km-1個加號，把正整數n分解成k1+k2+…+km個正整數，每一種放法就對應著方程唯一的一組解。

4 結 論

思路的產生往往是直覺的，受到問題中或明或暗的有用信息的刺激，憑借感知對解題思路做出猜想和設想，深入探索，才能盡快發(fā)現問題解決的途徑。求不定方程x1+x2+…+xm=n正整數解的獨特的新穎解法就是在這樣的環(huán)境狀態(tài)下發(fā)現的，它只用了組合數即可把問題解決。它不僅打破了沿用至今的解不定方程的枚舉法，避棄了煩瑣的傳統(tǒng)解法，避讓了高深的高等解法，而且在學習和應用時給出解決問題的思維方式和思路。

[1]同濟大學數學系.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2012:29-53,111-112,128-134.

[2]吳傳生,王衛(wèi)華.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2004:39-58,142-145.

[3]常秀芳，李高.伯努利方程的幾種新解法[J].雁北師范學院學報,2007,23(02):89-91.

[4]常秀芳.不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)的解及其性質[J].河北北方學院學報(自然科學版),2016,32(09):4-7.

[5]李高，常秀芳.二階變系數線性微分方程及其衍生方程[J].河北北方學院學報(自然科學版),2011,27(05)：13-15.

[6]李高，常秀芳.關于二階變系數線性微分方程求解法的研究[J].河北北方學院學報(自然科學版),2010,26(06)：12-14+19.

[7]李高，李殊璇，常秀芳.二階變系數線性微分方程可解的研究[J].河北北方學院學報(自然科學版),2013,29(02)：1-2+21.

[8]常秀芳，李高.Taylor冪級數直接展開的新方法[J].河北北方學院學報(自然科學版),2013,29(05)：1-3.

[責任編輯：劉志媛 英文編輯：劉彥哲]

A New Solution to Positive Integer Solution of Indefinite Equationx1+x2+…+xm=n

LI Gao

(School of Mathematical and Computer Science，Shanxi Datong University,Datong，Shanxi,037009，China)

Objective Based on the traditional and higher solutions of indefinite equationx1+x2+…+xm=nto explore a new solution.Methods The constantnof an indefinite equation is separated intonnumber 1 in a line and in the space of the numbers the combination and its combined numbers are used.Results According to the characteristics of indefinite equationx1+x2+…+xm=n,elementary mathematics knowledge of combination is used to find out the solution of the positive integer solution and the number of solutions;Compared with the traditional enumeration method or advanced solution,a unique and novel solution is obtained.Conclusion The novel solution of indefinite equation can solve the problem only with combination number,which not only breaks the still used traditional method,abandons cumbersome traditional method,but also avoids higher solutions advanced.The new method gives the way of thinking in the study and application,which is thought-provoking.

indefinite equation;enumeration method;positive integer solution;a new unique method

山西大同大學教學改革資金資助項目(XJY2013211)

李高(1965-)，男，山西天鎮(zhèn)人，副教授，研究方向：大學工科數學教育教學。

O

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.09.005

來稿日期：2016-11-03