吳天一陳小可張正娣張曉芳畢勤勝?

1)(江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院,鎮(zhèn)江 212013)

2)(鎮(zhèn)江船艇學(xué)院,鎮(zhèn)江 212003)

3)(江蘇大學(xué)理學(xué)院,鎮(zhèn)江 212013)

非對(duì)稱型簇發(fā)振蕩吸引子結(jié)構(gòu)及其機(jī)理分析?

吳天一1)2)陳小可1)張正娣3)張曉芳1)畢勤勝1)?

1)(江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院,鎮(zhèn)江 212013)

2)(鎮(zhèn)江船艇學(xué)院,鎮(zhèn)江 212003)

3)(江蘇大學(xué)理學(xué)院,鎮(zhèn)江 212013)

(2016年12月9日收到;2017年1月16日收到修改稿)

旨在揭示頻域不同尺度耦合時(shí)非對(duì)稱動(dòng)力系統(tǒng)簇發(fā)振蕩的特點(diǎn)及其分岔機(jī)理,并進(jìn)一步揭示快子系統(tǒng)多平衡點(diǎn)共存導(dǎo)致的不同簇發(fā)模式及其產(chǎn)生原因.以經(jīng)典的蔡氏振子為例,通過(guò)引入非對(duì)稱控制項(xiàng)及周期變化的電流源,選取適當(dāng)參數(shù),構(gòu)建存在頻域兩尺度耦合的非對(duì)稱動(dòng)力系統(tǒng)模型.當(dāng)周期激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率時(shí),將整個(gè)周期激勵(lì)項(xiàng)視為慢變參數(shù),得到隨慢變參數(shù)變化的快子系統(tǒng)平衡曲線及其不同的分岔點(diǎn)以及分岔行為.重點(diǎn)分析了三種不同周期激勵(lì)幅值下典型的非對(duì)稱簇發(fā)振蕩及吸引子結(jié)構(gòu),揭示其相應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理.指出外激勵(lì)幅值的變化不僅會(huì)引起不同穩(wěn)定平衡點(diǎn)吸引域的變化,也會(huì)使得慢變量穿越不同分岔點(diǎn)的時(shí)間間隔發(fā)生變化,導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生不同形式的簇發(fā)振蕩.

非對(duì)稱系統(tǒng),簇發(fā)振蕩,分岔機(jī)理,吸引子結(jié)構(gòu)

1 引言

不同尺度耦合系統(tǒng)的研究最早可以追溯到Poincaré研究行星軌道時(shí)提出的奇異攝動(dòng)方程[1],但是直到諾貝爾獎(jiǎng)獲得者Hodgkin和Huxley建立了快慢兩尺度神經(jīng)元放電模型(H-H模型),成功地再現(xiàn)了其中的簇發(fā)放電行為,不同尺度耦合系統(tǒng)的復(fù)雜性才引起了學(xué)術(shù)界的高度重視[2].

所謂不同尺度耦合,指的是所考察的對(duì)象涉及多個(gè)尺度,這些尺度可以是時(shí)間上的,也可以是空間上的,當(dāng)然也可以是時(shí)空尺度混合的[3].不同尺度之間的耦合,從其無(wú)量綱數(shù)學(xué)模型的形式上,大致可以分為兩類,一類是時(shí)域上的,即存在不同量級(jí)向量場(chǎng)分量之間的耦合,另一類是頻域上的,即耦合系統(tǒng)不同頻率之間存在量級(jí)差距[4].

導(dǎo)致不同尺度耦合的因素不僅可能來(lái)自于真實(shí)時(shí)間上的快慢效應(yīng),如催化反應(yīng)中存在不同量級(jí)的反應(yīng)速率[5],也可能來(lái)自于幾何上的尺度效應(yīng),如航天器中船體和太陽(yáng)能帆板之間的耦合[6],輸電塔線體系中塔線之間的耦合[7],還有其他諸如系統(tǒng)內(nèi)部的物理效應(yīng)、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)效應(yīng)等[8].通過(guò)無(wú)量綱變化后,在相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型中出現(xiàn)不同的狀態(tài)變量或其組合之間在變化速率上的量級(jí)差異[9].

不同尺度耦合動(dòng)力系統(tǒng)通常表現(xiàn)為大幅振蕩與微幅振蕩的組合,如繩系衛(wèi)星中的張弛振蕩(空間上的多尺度)[10]和催化反應(yīng)中的混合模態(tài)振蕩(時(shí)間上的多尺度)[11].自諾貝爾獎(jiǎng)獲得者Hodgkin和Huxley建立了兩時(shí)間尺度神經(jīng)元模型(H-H模型)以來(lái),這種特殊的振蕩形式統(tǒng)一稱為簇發(fā)振蕩,當(dāng)狀態(tài)變量處于靜止或微幅振蕩時(shí),稱為沉寂態(tài)或靜息態(tài),而表現(xiàn)為大幅振蕩時(shí),則稱為激發(fā)態(tài).系統(tǒng)狀態(tài)在沉寂態(tài)和激發(fā)態(tài)之間來(lái)回變化的振蕩模式,稱為簇發(fā)振蕩[12].

針對(duì)不同尺度耦合動(dòng)力系統(tǒng),國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了大量的研究工作.由于缺乏有效的分析方法,起初大都圍繞著快慢耦合系統(tǒng)的模型分析、近似求解、數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)分析等方面,直到Linzel快慢分析方法的引入,相關(guān)工作才上升到機(jī)理分析的層次[13].以Izhikevich為代表的一些學(xué)者,深入探討了含一維慢子系統(tǒng)的低維耦合系統(tǒng)中的各種簇發(fā)振蕩及其分岔機(jī)理[14].然而由于Linzel快慢分析方法僅對(duì)含一維慢變量的自治耦合系統(tǒng)有效,同時(shí)高維系統(tǒng)存在諸如高余維分岔等現(xiàn)象,迄今為止,相關(guān)工作大都是針對(duì)含一維慢變量及三維以內(nèi)快子系統(tǒng)的自治耦合系統(tǒng)開(kāi)展的,如Shimizu等[15]探討了弱周期激勵(lì)下兩維BVP振子的簇發(fā)振蕩,Shilnikov和Kolomiets[16]給出了兩快一慢三維Hindmarsh-Rose模型中Hopf分岔下的不同簇發(fā).近年來(lái),針對(duì)典型的非自治系統(tǒng)——周期激勵(lì)系統(tǒng),當(dāng)周期激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率之間存在量級(jí)差距,即包含頻域上的不同尺度時(shí),本課題組開(kāi)展了富有成效的研究工作,提出了轉(zhuǎn)換相圖的分析方法,揭示了多種形式的簇發(fā)振蕩及其產(chǎn)生機(jī)理[17?22].

必須指出的是,目前大部分工作是針對(duì)時(shí)域上的不同尺度耦合,也即快慢耦合系統(tǒng)開(kāi)展的,如振幅調(diào)諧的簇發(fā)振蕩[23],而對(duì)于頻域上的不同尺度耦合,即系統(tǒng)含兩個(gè)或以上存在量級(jí)差距的頻率時(shí)的簇發(fā)振蕩,研究尚不深入.同時(shí),所考察的簇發(fā)振蕩基本上含有對(duì)稱結(jié)構(gòu),導(dǎo)致從沉寂態(tài)到激發(fā)態(tài)或從激發(fā)態(tài)返回沉寂態(tài)的形式相對(duì)單一,如旋轉(zhuǎn)機(jī)械中的簇發(fā)振蕩[24].為探討存在頻域兩尺度耦合的非對(duì)稱動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為,本文以經(jīng)典的蔡氏振子為例,通過(guò)引入非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的控制器和周期激勵(lì)電流源,構(gòu)建存在頻域兩尺度耦合的非對(duì)稱動(dòng)力系統(tǒng)模型,重點(diǎn)探討不同周期激勵(lì)幅值下各種典型的非對(duì)稱簇發(fā)振蕩的吸引子結(jié)構(gòu)及其相應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理.

2 數(shù)學(xué)模型

蔡氏電路由于存在豐富的非線性現(xiàn)象一直是廣泛應(yīng)用于證實(shí)許多非線性理論或控制方案的經(jīng)典模型之一.為保證原系統(tǒng)的對(duì)稱性,在其控制器的設(shè)計(jì)中,一般采用由奇次向量場(chǎng)決定的控制項(xiàng).偶次向量場(chǎng)會(huì)破壞系統(tǒng)的對(duì)稱性,如引入二次項(xiàng)控制器,其混沌結(jié)構(gòu)存在非對(duì)稱性[25],而引入非對(duì)稱分段光滑的控制器時(shí),則吸引子存在非對(duì)稱多渦卷結(jié)構(gòu)[26].因此考慮如下二次項(xiàng)控制器[16]下廣義蔡氏振子的不同尺度耦合效應(yīng):

式中(x,y,z)∈R3是狀態(tài)變量,u為非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的反饋控制項(xiàng),f(x)=?x(x2?1)(x2?β)為非線性模塊,w=Asin(?t)為周期外激勵(lì)項(xiàng).當(dāng)激勵(lì)振幅A=0,即外激勵(lì)項(xiàng)不存在時(shí),自治系統(tǒng)((1)式)會(huì)按照其固有頻率振蕩.為考察頻域上的不同尺度效應(yīng),取定激勵(lì)頻率??ω,其中ω為固有頻率,此時(shí)系統(tǒng)((1)式)會(huì)存在各種復(fù)雜的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象.

3 分岔分析

當(dāng)??ω時(shí),系統(tǒng)((1)式)的狀態(tài)變量主要按照固有頻率振蕩.在固有頻率所對(duì)應(yīng)的任一個(gè)周期T=[t0,t0+2π/ω]內(nèi),激勵(lì)項(xiàng)w將從WA變化到WB,其中WA=Asin(?t0),WB=Asin(?t0+2π?/ω).由于?/ω?1,因此WA≈WB,也就是說(shuō),在固有頻率的任一周期內(nèi),激勵(lì)項(xiàng)w的變化非常小,雖然從更長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)看,w會(huì)在?A和+A之間變化.整個(gè)外激勵(lì)項(xiàng)w可以視為一個(gè)慢變參數(shù).下面我們分析系統(tǒng)((1)式)隨慢變參數(shù)w變化的分岔行為.

系統(tǒng)((1)式)的平衡點(diǎn)E±可以表示為E±(x0,y0,z0,u0)=(x0,0,±1?x0,?1),其中x0滿足f(x0)+w?x0=0,其相應(yīng)的特征方程可以表示為

圖1所示為β=2.0時(shí)系統(tǒng)隨慢變參數(shù)w變化的平衡曲線,其中粗線表示穩(wěn)定的平衡曲線,細(xì)線表示不穩(wěn)定平衡曲線.從圖1可以看出,隨著w的變化,系統(tǒng)平衡點(diǎn)的數(shù)目在一、三和五之間變化.

圖1 系統(tǒng)隨慢變參數(shù)w變化的平衡曲線及分岔點(diǎn)圖Fig.1.Equilibrium branches as well as bifurcation points with the variation of the slowly-varying parameter w.

當(dāng)w=0.3083時(shí),穩(wěn)定平衡曲線EB1與不穩(wěn)定平衡曲線EB2在Fold分岔點(diǎn)FB1相遇,平衡線EB3由兩Hopf分岔點(diǎn)HB1和HB2(w=±0.4626)分為三段,兩分岔點(diǎn)HB1和HB2之間為穩(wěn)定焦點(diǎn),其他兩段為不穩(wěn)定鞍點(diǎn),分別與不穩(wěn)定平衡曲線EB2和EB4在Fold分岔點(diǎn)FB2(w=?0.6569)和FB3(w=0.6569)相遇.不穩(wěn)定平衡曲線EB4和穩(wěn)定平衡曲線EB5在Fold分岔點(diǎn)FB4(w=?0.3083)相遇.

4 周期簇發(fā)振蕩

由于存在頻域上的不同尺度,系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生一些特殊的振蕩形式.從圖1可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)A<0.3083時(shí),平衡曲線不含有分岔點(diǎn),數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),此時(shí)系統(tǒng)軌跡表現(xiàn)為周期振蕩,其振蕩頻率為外激勵(lì)頻率,不存在快慢兩尺度相互作用導(dǎo)致的簇發(fā)振蕩.當(dāng)A>0.3083時(shí),系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的簇發(fā)振蕩行為.為考察系統(tǒng)的不同尺度效應(yīng),本文分析三種典型情形,即A=0.6,3.0,6.0時(shí)系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性.

4.1 情形一:A=0.6

圖2所示為A=0.6時(shí)系統(tǒng)的周期振蕩相圖.從圖1可以看出,當(dāng)A=0.6,即w∈[?0.6,0.6]時(shí),快子系統(tǒng)最多可存在三個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn),分別位于平衡曲線EB1,EB3和EB5上,系統(tǒng)軌跡則圍繞這三個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)振蕩(圖2).結(jié)合圖3中x的時(shí)間歷程可以發(fā)現(xiàn),由于慢變量w變化非常緩慢,軌跡沿穩(wěn)定的平衡曲線EB5運(yùn)動(dòng)到快子系統(tǒng)的Fold分岔點(diǎn)FB4時(shí),產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象,使得軌跡趨向穩(wěn)定平衡曲線EB3.

圖2 A=0.6時(shí)的相圖(a)x-y平面上的相圖;(b)z-u平面上的相圖Fig.2.Phase portrait for A=0.6:(a)Phase portrait on the x-y plane;(b)phase portrait on the z-u plane.

分岔點(diǎn)FB4與w=?0.3083所對(duì)應(yīng)的位于EB3上的快子系統(tǒng)平衡點(diǎn)之間距離較大,導(dǎo)致軌跡發(fā)生大幅振蕩,隨著慢變量w的繼續(xù)減小,振蕩幅值逐漸減小,軌跡逐漸穩(wěn)定于EB3,并沿平衡曲線EB3繼續(xù)運(yùn)動(dòng).當(dāng)軌跡抵達(dá)Hopf分岔點(diǎn)HB1時(shí),產(chǎn)生圍繞EB3的振蕩,振蕩幅值隨w的繼續(xù)減小而逐漸增加.當(dāng)振蕩幅值增大到一定值時(shí),軌跡轉(zhuǎn)向圍繞EB1振蕩,并逐漸穩(wěn)定到EB1上.

為進(jìn)一步揭示該周期簇發(fā)振蕩的分岔機(jī)理,圖4分別給出了w-x平面上的相圖及其與快子系統(tǒng)平衡曲線的疊加圖.

假設(shè)軌跡從w的最小值w=?0.6,即A1點(diǎn)出發(fā)(圖4(a)),由于受穩(wěn)定的平衡曲線EB1的影響,此時(shí)軌跡幾乎嚴(yán)格沿EB1運(yùn)動(dòng),表現(xiàn)為沉寂態(tài)QS1.當(dāng)軌跡運(yùn)動(dòng)到分岔點(diǎn)FB1附近時(shí),由Fold分岔產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象,導(dǎo)致大幅振蕩,進(jìn)入激發(fā)態(tài)SP1.隨慢變參數(shù)w的增加,振蕩幅值減小,并逐漸趨于穩(wěn)定平衡曲線EB5,而后幾乎嚴(yán)格沿EB5運(yùn)動(dòng),進(jìn)入沉寂態(tài)QS2.

圖3 A=0.6時(shí)x的時(shí)間歷程Fig.3.Time history of x for A=0.6.

當(dāng)慢變量w到達(dá)其最大值w=0.6,即A3點(diǎn)處,w會(huì)隨時(shí)間的推進(jìn)而減小,使得軌跡在A3點(diǎn)調(diào)頭,幾乎嚴(yán)格沿EB5運(yùn)動(dòng),直到抵達(dá)分岔點(diǎn)FB4附近,由Fold分岔產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象,導(dǎo)致大幅振蕩,進(jìn)入圍繞穩(wěn)定平衡曲線EB3振蕩的激發(fā)態(tài)SP2.隨著慢變量w的減小,振蕩幅值減小,并逐漸穩(wěn)定于平衡曲線EB3,進(jìn)入沉寂態(tài)QS3.

當(dāng)軌跡沿EB3運(yùn)動(dòng)到分岔點(diǎn)HB1時(shí),由Hopf分岔產(chǎn)生圍繞EB3的振蕩,隨著w的減小振蕩幅值逐漸增加,進(jìn)入激發(fā)態(tài)SP3.圖5所示為從激發(fā)態(tài)SP3回到沉寂態(tài)QS1的分岔機(jī)理.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)(a)A=0.6時(shí)w-x平面上的轉(zhuǎn)換相圖;(b)A=0.6時(shí)w-x平面上快子系統(tǒng)平衡曲線與轉(zhuǎn)換相圖的疊加圖Fig.4.(color online)(a)Transformed phase portrait on the w-x plane when A=0.6;(b)overlap of equilibrium orbit and transformed phase portrait on the w-x plane when A=0.6.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)激發(fā)態(tài)SP3到沉寂態(tài)QS1的分岔機(jī)理Fig.5.(color online)Bifurcation mechanism of the spiking state SP3to the quiescent state QS1.

當(dāng)軌跡處于大幅振蕩的激發(fā)態(tài)SP3時(shí),隨著w減小,激發(fā)態(tài)振蕩幅值逐漸增加,當(dāng)振蕩幅值增加到一定程度時(shí),與位于EB2上的不穩(wěn)定鞍點(diǎn)相互作用,產(chǎn)生Saddle on limit cycle分岔,導(dǎo)致從Hopf分岔點(diǎn)HB1分岔出的極限環(huán)失穩(wěn),軌跡產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象,為快子系統(tǒng)穩(wěn)定的平衡曲線EB1吸引,進(jìn)入沉寂態(tài)QS1,并幾乎嚴(yán)格沿EB1運(yùn)動(dòng),隨后抵達(dá)慢變量w的極小值w=?0.60,即回到出發(fā)點(diǎn)A1,完成一個(gè)周期的簇發(fā)振蕩.根據(jù)沉寂態(tài)和激發(fā)態(tài)相互轉(zhuǎn)化的分岔模式可以將其稱為非對(duì)稱Fold/Fold-Hopf型簇發(fā).

4.2 情形二:A=3.0

隨著激勵(lì)幅值的增加,簇發(fā)振蕩吸引子的結(jié)構(gòu)也會(huì)發(fā)生變化.圖6所示為A=3.0時(shí)簇發(fā)振蕩分別在x-y和z-u平面上的相圖,從圖中可以看出,與A=0.6時(shí)的相圖不同,軌跡不會(huì)收斂到快子系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡曲線EB3上,而是圍繞該平衡曲線產(chǎn)生大幅振蕩.

從圖7的時(shí)間歷程可以發(fā)現(xiàn),軌跡幾乎嚴(yán)格按照平衡曲線EB1運(yùn)動(dòng),由Fold分岔跳躍到穩(wěn)定平衡曲線EB5上,又由Fold分岔,產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象,軌跡轉(zhuǎn)向圍繞穩(wěn)定平衡曲線EB3振蕩.當(dāng)軌跡尚未收斂到穩(wěn)定曲線EB3上時(shí),由于產(chǎn)生Hopf分岔,軌跡發(fā)生圍繞該平衡曲線的振蕩,且振蕩幅值隨著時(shí)間的推進(jìn)逐漸增加,軌跡由Saddle on limit cycle分岔跳向穩(wěn)定平衡曲線EB1.

圖8(a)所示為A=3.0時(shí)系統(tǒng)軌跡的轉(zhuǎn)換相圖與快子系統(tǒng)平衡曲線的疊加圖,圖8(b)為其局部放大圖.

假設(shè)軌跡從慢變量w的最小值w=?3.0,即A1點(diǎn)出發(fā),從圖8(a)可以看出,軌跡幾乎嚴(yán)格沿穩(wěn)定平衡曲線EB1運(yùn)動(dòng),處于沉寂態(tài)QS1.當(dāng)軌跡抵達(dá)分岔點(diǎn)FB1時(shí),由Fold分岔產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象,軌跡跳向穩(wěn)定平衡曲線EB5,由于Fold分岔點(diǎn)與平衡曲線EB5之間的距離較大,產(chǎn)生大幅振蕩,進(jìn)入激發(fā)態(tài)SP1(圖8(b)).隨著w的增加,軌跡逐漸穩(wěn)定到平衡曲線EB5,并幾乎嚴(yán)格沿EB5運(yùn)動(dòng),進(jìn)入沉寂態(tài)QS2,直到抵達(dá)慢變量w的最大值w=3.0,即A3點(diǎn).

圖6 A=3.0時(shí)的相圖(a)x-y平面上的相圖;(b)z-u平面上的相圖Fig.6.Phase portrait for A=3.0:(a)Phase portrait on the x-y plane;(b)phase portrait on the z-u plane.

圖7 A=3.0時(shí)x的時(shí)間歷程Fig.7.Time history of x for A=3.0.

圖8 (網(wǎng)刊彩色)A=3.0時(shí)w-x平面上(a)快子系統(tǒng)平衡曲線與轉(zhuǎn)換相圖的疊加圖及(b)其局部放大圖Fig.8.(color online)(a)Overlap of equilibrium orbit and transformed phase portrait on the w-x plane and(b)locally enlarged diagram of the overlap when A=3.0.

隨著時(shí)間的繼續(xù)增加,慢變量w減小,導(dǎo)致軌跡在A3點(diǎn)調(diào)頭,并幾乎嚴(yán)格沿穩(wěn)定平衡曲線EB5運(yùn)動(dòng),依然處于沉寂態(tài)QS2,直到抵達(dá)分岔點(diǎn)FB4,由Fold分岔產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象,導(dǎo)致軌跡轉(zhuǎn)向穩(wěn)定平衡曲線EB3,產(chǎn)生大幅振蕩,進(jìn)入激發(fā)態(tài)SP2.隨著w的減小,振蕩幅值逐漸減小,直到抵達(dá)分岔點(diǎn)HB1,由Hopf分岔,導(dǎo)致振蕩幅值隨w的減小而增加.

當(dāng)振蕩幅值增加到一定程度時(shí),軌跡由Saddle on limit cycle分岔跳向穩(wěn)定平衡曲線EB1,并隨慢變量w的繼續(xù)減小而逐漸穩(wěn)定到穩(wěn)定平衡曲線EB1上,進(jìn)入沉寂態(tài)QS1,直到軌跡回到出發(fā)點(diǎn)A1,完成一個(gè)周期的振蕩.

必須指出的是,該簇發(fā)振蕩與圖4中簇發(fā)振蕩結(jié)構(gòu)大致相似,最大區(qū)別在于圍繞平衡曲線EB3附近的軌跡結(jié)構(gòu).由快子系統(tǒng)在分岔點(diǎn)FB4時(shí)的慢變量值w=?0.3083可知,此時(shí)在平衡曲線EB3上的x值為x0=?0.1632,其相應(yīng)的特征值可以計(jì)算為λ1=?2.2683,λ2=?3.3063,λ3,4=?0.0946±0.8533I,表明該快子系統(tǒng)平衡點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn).

在穩(wěn)定平衡線EB3失穩(wěn)的Hopf分岔點(diǎn)xH=?0.2678處,相應(yīng)快子系統(tǒng)平衡點(diǎn)的特征值分別為λ1=?2.7221,λ2=?1.5807,λ3,4=±0.7882I.從圖9可以看出,此時(shí)激發(fā)態(tài)SP2振蕩頻率隨時(shí)間變化而變化,當(dāng)軌跡從沉寂態(tài)QS2進(jìn)入激發(fā)態(tài)時(shí),振蕩頻率的理論值大致接近在平衡曲線EB3相應(yīng)平衡點(diǎn)處的一對(duì)共軛特征值的虛部,即?L2≈2π/0.8533=7.3634,這與圖9中的數(shù)值結(jié)果?P2=2π/T2≈7.3713符合良好.當(dāng)軌跡經(jīng)過(guò)Hopf分岔點(diǎn)時(shí),其振蕩頻率的理論值?L1≈2π/0.7882=7.9716,也與數(shù)值模擬結(jié)果?P1=2π/T1≈7.9654大致符合.

為進(jìn)一步說(shuō)明導(dǎo)致上述兩周期簇發(fā)振蕩在快子系統(tǒng)穩(wěn)定平衡曲線EB3附近出現(xiàn)結(jié)構(gòu)差別的原因,圖10分別給出了兩激勵(lì)幅值下系統(tǒng)及慢變量w隨時(shí)間變化的歷程.由上述分析可知,當(dāng)慢變量w=?0.3083時(shí),軌跡產(chǎn)生Fold分岔,而在w=?0.4626時(shí),則產(chǎn)生Hopf分岔.從圖10(b)可以看出,當(dāng)A=0.6時(shí),慢變量w分別到達(dá)兩分岔點(diǎn)的時(shí)間間隔T2=317.68,而當(dāng)A=3.0時(shí),時(shí)間間隔T1=51.83,這與圖10(a)中兩真實(shí)軌跡之間時(shí)間上的距離TS1=313.54及TS2=53.16均符合良好.

圖9 A=3.0時(shí)x的時(shí)間歷程局部放大圖Fig.9.Locally enlarged time history of x for A=3.0.

從圖10可以發(fā)現(xiàn),雖然快子系統(tǒng)的平衡曲線及其相應(yīng)的分岔點(diǎn)位置與外激勵(lì)幅值無(wú)關(guān),但是,隨著外激勵(lì)振幅的增加,軌跡從沉寂態(tài)QS2由Fold分岔進(jìn)入激發(fā)態(tài),抵達(dá)Hopf分岔點(diǎn)所需時(shí)間會(huì)越來(lái)越短.當(dāng)A=0.6時(shí),由于慢變量抵達(dá)Hopf分岔點(diǎn)需要較長(zhǎng)的時(shí)間,因而隨著時(shí)間的增加,從QS2由Fold分岔導(dǎo)致的激發(fā)態(tài)的振蕩越來(lái)越小,能夠逐漸穩(wěn)定到快子系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡曲線EB3上.當(dāng)外激勵(lì)幅值較大,如A=3.0時(shí),由于慢變量抵達(dá)Hopf分岔點(diǎn)的時(shí)間非常短,軌跡雖然受穩(wěn)定平衡曲線EB3的吸引,但尚未收斂到該平衡曲線,就又發(fā)生Hopf分岔,使得振蕩幅值隨慢變量的減小而逐漸增加,圖4中QS3消失,SP2和SP3合并為一個(gè)激發(fā)態(tài),即圖9中的SP2.

4.3 情形三:A=6.0

隨著外激勵(lì)幅值的繼續(xù)增加,簇發(fā)振蕩的吸引子結(jié)構(gòu)還會(huì)發(fā)生變化.圖11所示為A=6.0時(shí)簇發(fā)振蕩分別在x-y和z-u平面上的相圖,從圖中可以看出,吸引子結(jié)構(gòu)與前兩種情形不同,主要是軌跡圍繞穩(wěn)定平衡曲線EB3部分的結(jié)構(gòu)消失,從而表現(xiàn)為分別圍繞穩(wěn)定平衡曲線EB1和EB5振蕩的點(diǎn)-點(diǎn)型簇發(fā)振蕩.

圖12為狀態(tài)變量x的時(shí)間歷程,從圖中可以看出,幾乎嚴(yán)格沿穩(wěn)定平衡曲線EB1運(yùn)動(dòng)的軌跡,由Fold分岔產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象,導(dǎo)致軌跡趨向穩(wěn)定平衡曲線EB5,當(dāng)軌跡逐漸穩(wěn)定于EB5后,便幾乎嚴(yán)格沿該平衡曲線運(yùn)動(dòng),直到再次發(fā)生Fold分岔,跳向穩(wěn)定平衡曲線EB1.

通過(guò)圖12中時(shí)間歷程的計(jì)算可以發(fā)現(xiàn),由穩(wěn)定平衡曲線EB1跳向EB5產(chǎn)生振蕩的頻率?M1=2π/T1=0.8791,由EB5跳向EB1產(chǎn)生振蕩的頻率?M2=2π/T2=0.8763,分別近似于快子系統(tǒng)位于穩(wěn)定平衡曲線EB5和EB1上與該跳躍點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)的特征值一對(duì)共軛復(fù)根的虛部,也就是說(shuō),兩振蕩過(guò)程分別近似等于從不同跳躍點(diǎn)出發(fā)向各種穩(wěn)定平衡曲線逐漸逼近的過(guò)程.

圖11 A=6.0時(shí)的相圖(a)x-y平面上的相圖;(b)z-u平面上的相圖Fig.11.Phase portrait for A=6.0:(a)Phase portrait on the x-y plane;(b)phase portrait on the z-u plane.

為進(jìn)一步揭示該周期簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生機(jī)理,圖13(a)給出了A=6.0時(shí)系統(tǒng)軌跡的轉(zhuǎn)換相圖與快子系統(tǒng)平衡曲線的疊加圖,圖13(b)為其局部放大圖.

假設(shè)軌跡從慢變量w的最小值w=?6.0,即圖13(a)中的A1點(diǎn)出發(fā),軌跡幾乎嚴(yán)格沿穩(wěn)定平衡曲線EB1運(yùn)動(dòng),表現(xiàn)為沉寂態(tài)QS1,直到軌跡抵達(dá)分岔點(diǎn)FB1,由Fold分岔跳向EB5,產(chǎn)生大幅振蕩,進(jìn)入激發(fā)態(tài)SP1,振蕩幅值隨慢變量w的增加而逐漸減小,直至收斂于穩(wěn)定平衡曲線EB5,進(jìn)入沉寂態(tài)QS2.

圖12 A=6.0時(shí)x的時(shí)間歷程Fig.12.Time history of x for A=6.0.

圖13 (網(wǎng)刊彩色)A=6.0時(shí)(a)w-x平面上快子系統(tǒng)平衡曲線與轉(zhuǎn)換相圖的疊加圖及(b)其局部放大圖Fig.13.(color online)(a)Overlap of equilibrium orbit and transformed phase portrait on the w-x plane and(b)locally enlarged diagram of the overlap when A=6.0.

沿穩(wěn)定平衡曲線EB5運(yùn)動(dòng)的軌跡在慢變量w達(dá)到其最大值w=6.0,即圖13(a)中的A3點(diǎn)時(shí),由于慢變量隨時(shí)間的增加而減小,軌跡在A3點(diǎn)處調(diào)頭,繼續(xù)沿EB5運(yùn)動(dòng),直到抵達(dá)分岔點(diǎn)FB4,由Fold分岔跳向EB1,產(chǎn)生大幅振蕩,進(jìn)入激發(fā)態(tài)SP2,振蕩幅值隨慢變量w的增加而逐漸減小,收斂于穩(wěn)定平衡曲線EB1,進(jìn)入沉寂態(tài)QS1,直至抵達(dá)出發(fā)點(diǎn)A1,完成一個(gè)周期的振蕩.從簇發(fā)振蕩分類的角度來(lái)看,該簇發(fā)振蕩可以稱為非對(duì)稱點(diǎn)-點(diǎn)型Fold/Fold簇發(fā).

必須指出的是,從分岔點(diǎn)FB1和FB4產(chǎn)生的Fold分岔均不趨向穩(wěn)定平衡曲線EB3.產(chǎn)生這一現(xiàn)象的主要原因是,當(dāng)外激勵(lì)幅值較大時(shí),系統(tǒng)能量的交換力度迅速增強(qiáng),導(dǎo)致能量居中的穩(wěn)定平衡曲線EB3的吸引域快速收縮,即分岔點(diǎn)FB1和FB4跳出了穩(wěn)定平衡曲線EB3的吸引域,這也可以通過(guò)以分岔點(diǎn)為初值對(duì)快子系統(tǒng)進(jìn)行的數(shù)值仿真得到證實(shí).

5 結(jié)論

存在頻域兩尺度的動(dòng)力系統(tǒng)在非對(duì)稱控制器作用下會(huì)引發(fā)各種模式的非對(duì)稱簇發(fā)振蕩.當(dāng)激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率時(shí),整個(gè)外激勵(lì)項(xiàng)可以視為慢變參數(shù).在考察系統(tǒng)隨外激勵(lì)幅值變化的動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程時(shí),雖然快子系統(tǒng)存在一致的平衡曲線及相應(yīng)的分岔圖,但隨著外激勵(lì)幅值的變化,簇發(fā)振蕩的結(jié)構(gòu)及其產(chǎn)生機(jī)理存在差異.一方面,外激勵(lì)幅值的變化會(huì)引起不同穩(wěn)定平衡曲線吸引域的變化,另一方面,也會(huì)使得慢變量穿越不同分岔點(diǎn)的時(shí)間間隔發(fā)生變化,從而導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生不同形式的簇發(fā)振蕩.

[1]Cardin P T,de Moraes J R,da Silva P R 2015 J.Math.Anal.Appl.423 1166

[2]Hodgkin A L,Huxley A F 1990 Bull.Math.Biol.52 25

[3]Sánchez A D,G.Izús G,Erba M G,Deza R R 2014 Phys.Lett.A 378 1579

[4]Rakaric Z,Kovacic I 2016 Mech.Syst.Signal Process.81 35

[5]Chumakov G A,Chumakova N A 2003 Chem.Eng.J.91 151

[6]Jia F L,Xu W,Li H N,Hou L Q 2013 Acta Phys.Sin.62 100503(in Chinese)[賈飛蕾,徐偉,李恒年,侯黎強(qiáng)2013物理學(xué)報(bào)62 100503]

[7]Yang S C,Hong H P 2016 Eng.Struct.123 490

[8]Cai Z Q,Li X F,Zhou H 2015 Aerosp.Sci.Technol.42 384

[9]Li X H,Hou J Y 2016 Int.J.Non-Linear Mech.81 165

[10]Yu B S,Jin D P,Pang Z J 2014 Sci.Sin.Phys.Mech.Astron.44 858(in Chinese)[余本嵩,金棟平,龐兆君2014中國(guó)科學(xué):物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)44 858]

[11]Bi Q S 2012 Sci.China Ser.E10 2820

[12]Kim S,Lim W 2016 Neural Networks 79 53

[13]Izhikevich E M 2000 Int.J.Bifurcation Chaos 10 1171

[14]Izhikevich E M 2003 Trends Neurosci.26 161

[15]Shimizu K,Saito Y,Sekikawa M,Inaba N 2012 Physica D 241 1518

[16]Shilnikov A,Kolomiets M 2008 Int.J.Bifurcation Chaos 18 2141

[17]Han X J,Xia F B,Ji P,Bi Q S,Kurths J 2016 Commun.Nonlinear Sci.Numer.Si.36 517

[18]Bi Q S,Zhang R,Zhang Z D 2014 Appl.Math.Comput.243 482

[19]Yu Y,Zhang Z D,Bi Q S,Gao Y 2016 Appl.Math.Model 40 1816

[20]Zhang X F,Wu L,Bi Q S 2016 Chin.Phys.B 25 070501

[21]Xing Y Q,Chen X K,Zhang Z D,Bi Q S 2016 Acta Phys.Sin.65 090501(in Chinese)[邢雅清,陳小可,張正娣,畢勤勝2016物理學(xué)報(bào)65 090501]

[22]Zheng S,Han X J,Bi Q S 2011 Commun.Nonlinear Sci.Numer.Si.16 1998

[23]Vo T,Kramer M A,Kaper T J 2016 Phys.Rev.Lett.117 268101

[24]Zvonko R,Ivana K 2016 Mech.Syst.Signal Process.81 35

[25]Milicevic K,Nyarko E K,Biondic I 2016 Nonlinear Dyn.81 51

[26]Srinivasan K,Chandrasekar V K,Pradeep R G 2016 Commun.Nonlinear Sci.Numer.Si.39 156

PACS:05.45.–a,05.45.PqDOI:10.7498/aps.66.110501

Structures of the asymmetrical bursting oscillation attractors and their bifurcation mechanisms?

Wu Tian-Yi1)2)Chen Xiao-Ke1)Zhang Zheng-Di3)Zhang Xiao-Fang1)Bi Qin-Sheng1)?
1)(Faculty of Civil Engineering and Mechanics,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China)
2)(Zhenjiang Watercraft College,Zhenjiang 212003,China)
3)(Faculty of Science,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China)

9 December 2016;revised manuscript

16 January 2017)

The main purpose of this study is to investigate the characteristics as well as the bifurcation mechanisms of the bursting oscillations in the asymmetrical dynamical system with two scales in the frequency domain.Since the slow-fast Hodgkin-Huxley model was established to successfully reproduce the activities of neuron,the complicated dynamics of the system with multiple time scales has become a hot research topic due to the wide engineering background.The dynamical system with multiple scales often presents periodic oscillations coupled by large-amplitude oscillations at spiking states and small-amplitude oscillations at quiescent states,which are connected by bifurcations.Up to now,most of the reports concentrate on bursting oscillations in the symmetric systems,in which there exists only one form of spiking oscillations and quiescence,respectively.Here we explore some typical forms of bursting behavior in an asymmetrical dynamical system with periodic excitation,in which there exists an order gap between the exciting frequency and the natural frequency.As an example,based on the typical Chua’s oscillator,by introducing an asymmetrical controller and a periodically changed current source,and choosing suitable parameter values,we establish an asymmetrical dynamical system with two scales in the frequency domain.Since the exciting frequency is much smaller than the natural frequency,the whole periodic exciting term can be regarded as a slowly-varying parameter,leading to the fast subsystem in autonomous form.Since all the equilibrium curves and relevant bifurcations are presented in the form related to the slowly-varying parameter,the transformed phase portraits describing the evolution relationship between the state variables and the slowly-varying parameter are employed to account for the mechanism of the bursting oscillations.With the variation of the slowly-varying parameter,di ff erent equilibrium states and relevant bifurcations in the fast subsystem are presented.It is found that for di ff erent parameter values,multiple balance curves of the fast subsystem may coexist,which a ff ect the structure of the bursting attractor.For the other parameters fi xed to certain values,the balance curve with the variation of the slowly-varying parameter is presented.Three typical cases with di ff erent exciting amplitudes are considered,corresponding to di ff erent situations of coexistence of equilibrium states in the fast subsystem.In the fi rst case,there exist at most three stable equilibrium points in the fast subsystem.Bursting attractor that oscillates around the three points can be observed,in which fold and Hopf bifurcations lead to the alternations between spiking states and quiescent states,while in the second case,saddle on the limit cycle bifurcation may cause the repetitive spiking oscillations to jump to the equilibrium curve.In the third case with relatively large exciting amplitude,only two equilibrium curves may involve the bursting oscillations,in which fold bifurcations lead to the alternation between the quiescent states and spiking states.Unlike the structures of bursting oscillations in the symmetric system,di ff erentforms of asymmetrical bursting oscillations with di ff erent periodic exciting amplitudes can be observed,the mechanisms of which are presented.It is pointed out that the change of the external exciting amplitude,does not only cause the variation of the attracting basins corresponding to di ff erent stable equilibrium branches,but also leads to the change of the temporal intervals when the trajectory passes di ff erent bifurcation points,respectively,which results in di ff erent patterns of bursting oscillations.Furthermore,since the slowly-varying parameter determined by the whole exciting term changes between two extreme values determined by the amplitude,the trajectory of the bursting oscillations of the transformed phase portrait returns at the two extreme values.The properties of equilibrium branches between the two extreme values determine the forms of the moving attractors.

asymmetrical system,bursting oscillation,bifurcation mechanism,attractor structure

10.7498/aps.66.110501

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11472115,11472116)和國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):11632008)資助的課題.

?通信作者.E-mail:qbi@ujs.edu.cn

?2017中國(guó)物理學(xué)會(huì)Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11472115,11472116)and the Major National Natural Science Foundation of China(Grant No.11632008).

?Corresponding author.E-mail:qbi@ujs.edu.cn