沈紅新

(西安衛(wèi)星測(cè)控中心宇航動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710043)

?

脈沖推力最優(yōu)軌跡的Hamilton邊值問(wèn)題

沈紅新

(西安衛(wèi)星測(cè)控中心宇航動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710043)

針對(duì)大推力航天器的Hamilton邊值問(wèn)題(HBVP),提出一組基于變分法的通用方程，其中內(nèi)點(diǎn)和其它端點(diǎn)(包括始、末端點(diǎn))可以滿足統(tǒng)一的方程形式，由此反映了更本質(zhì)的邊值條件解析結(jié)構(gòu)。具體問(wèn)題的最優(yōu)性必要條件均可以從本文給出的通用方程中較方便地推出，避免了以往構(gòu)造邊值問(wèn)題復(fù)雜繁瑣的困難。仿真結(jié)果表明，本文方法可以保證有效、快速地獲得大推力航天器的最優(yōu)飛行路徑。

邊值問(wèn)題; 最優(yōu)性；內(nèi)點(diǎn)；脈沖軌道

0 引 言

航天任務(wù)的經(jīng)濟(jì)、技術(shù)可行性和航天器飛行路徑密切相關(guān)，最小化燃料和時(shí)間資源的消耗是航天器設(shè)計(jì)者不懈的追求，因此有效的優(yōu)化控制方法對(duì)任務(wù)設(shè)計(jì)和方案制定至關(guān)重要。很多航天任務(wù)特別是載人任務(wù)都采用大推力的化學(xué)推進(jìn)，為此，本文研究大推力航天器的最優(yōu)飛行路徑問(wèn)題。目前，在非線性最優(yōu)控制領(lǐng)域主要有兩大類(lèi)數(shù)值方法：直接法和間接法[1-3]。直接法一般采用參數(shù)化方法將連續(xù)空間的非線性最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換成離散空間的非線性規(guī)劃問(wèn)題，雖然它具有容易實(shí)現(xiàn)和收斂半徑較大的優(yōu)點(diǎn)，但是直接法不能保證所獲得解的最優(yōu)性。相對(duì)地，間接法主要是構(gòu)造和求解由最優(yōu)控制的一階必要條件得到的Hamilton邊值問(wèn)題(Hamilton boundary value problem,HBVP)[3-4]，其優(yōu)點(diǎn)是：1)構(gòu)造邊值問(wèn)題而不是參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，理論上能夠準(zhǔn)確快速獲得最優(yōu)解；2)由于采用最優(yōu)控制理論(這里主要指變分法和極大值原理)，間接法能夠提供優(yōu)化問(wèn)題必要的理論信息。但間接法也有其缺點(diǎn)：獲得最優(yōu)性條件的過(guò)程復(fù)雜繁瑣，而且收斂半徑較小[3]。

最優(yōu)飛行路徑確定的核心問(wèn)題是構(gòu)造和求解HBVP。近年來(lái)有很多研究集中于對(duì)HBVP的求解并產(chǎn)生了一批研究成果，如辛方法[5]、生成函數(shù)方法[6]、同倫變換[7-9]和微分變換[10]等，但這些研究都較少關(guān)注HBVP的構(gòu)造方法。針對(duì)HBVP確立最優(yōu)性條件復(fù)雜繁瑣的缺點(diǎn)，本文的目的是以比較簡(jiǎn)潔的方程形式給出大推力航天器最優(yōu)路徑規(guī)劃的通用模型，為該類(lèi)問(wèn)題最優(yōu)性條件的建立提供統(tǒng)一的理論框架，這將有助于設(shè)計(jì)者快速、方便地構(gòu)造進(jìn)而求解HBVP。在任務(wù)初步設(shè)計(jì)階段，大推力一般被假設(shè)為瞬時(shí)脈沖作用，因此大推力航天器最優(yōu)路徑確定是典型的含有內(nèi)點(diǎn)約束的最優(yōu)控制問(wèn)題。Bryson和Ho[4]以及Lawden[11]研究了狀態(tài)不連續(xù)內(nèi)點(diǎn)約束最優(yōu)控制問(wèn)題，但他們的研究?jī)H給出了內(nèi)點(diǎn)處的最優(yōu)性條件。本文將對(duì)內(nèi)點(diǎn)和其它一般端點(diǎn)(例如初始時(shí)刻、終端時(shí)刻等)給出統(tǒng)一的邊值問(wèn)題模型，這樣做的好處是得到的邊界條件更具有一般性，可以方便確定起始時(shí)刻t0+和終端時(shí)刻tf-，而這兩個(gè)時(shí)刻在軌跡優(yōu)化問(wèn)題中也可能是未知量 (例如自由終端時(shí)刻的問(wèn)題)；相對(duì)地，Bryson和Ho[4]以及Lawden[11]的理論只適用于固定時(shí)間軌道轉(zhuǎn)移或交會(huì)問(wèn)題。

1 問(wèn)題提出

由于化學(xué)推進(jìn)的推力很大，發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間相對(duì)飛行時(shí)間來(lái)說(shuō)很短甚至可以忽略，所以可假設(shè)化學(xué)推進(jìn)的推力為瞬時(shí)脈沖，脈沖作用前后航天器位置連續(xù)而速度發(fā)生跳變，脈沖作用點(diǎn)之間由無(wú)動(dòng)力滑行軌跡聯(lián)接。無(wú)動(dòng)力滑行軌跡滿足如下動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)微分方程：

(1)

式中：x為狀態(tài)變量，t為自變量(本文中自變量為時(shí)間)。需要指出的是，這里脈沖并不作為控制變量，而只是作為狀態(tài)間斷來(lái)考慮，所以在脈沖軌跡最優(yōu)控制中不存在控制變量。

在軌跡初始點(diǎn)和終點(diǎn)之間如果存在狀態(tài)或控制不連續(xù)，或者存在約束，這樣的位置被稱(chēng)為內(nèi)點(diǎn)，在內(nèi)點(diǎn)處需要給出對(duì)應(yīng)的最優(yōu)性必要條件。比較方便的做法是將軌跡根據(jù)內(nèi)點(diǎn)劃分為多段，例如第j段從t(j-1)+開(kāi)始到tj-結(jié)束，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)分別是x(j-1)+和xj-，其中j-和j+分別代表在點(diǎn)j之前和之后。脈沖軌跡由于存在速度狀態(tài)的突變，所以是典型的含有內(nèi)點(diǎn)約束問(wèn)題。在軌跡始末兩個(gè)端點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)施加非線性約束條件，這些約束用一個(gè)函數(shù)ψ描述，其表達(dá)式寫(xiě)為

ψ(x(j-1)+,xj-,t(j-1)+,tj-)=0,j=1,…,f

(2)

從容許函數(shù)類(lèi)中求一函數(shù)x(t)，使泛函

J=φ(x(j-1)+,xj-,t(j-1)+,tj-),j=1,…,f

(3)

取極大(小)的問(wèn)題常稱(chēng)為Mayer問(wèn)題，它是古典變分的三個(gè)基本問(wèn)題之一。此外還有Bolza問(wèn)題和Lagrange問(wèn)題。引進(jìn)某些輔助變量可使三類(lèi)問(wèn)題互相轉(zhuǎn)化。因此，研究三種基本問(wèn)題中的任何一種都具有普遍意義，本文采用Mayer形式來(lái)定義優(yōu)化問(wèn)題。此外，通過(guò)改變目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)形式，求泛函極小的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求泛函極大的問(wèn)題，而本文只考慮求極大值的問(wèn)題。

對(duì)不同優(yōu)化指標(biāo)及約束條件的問(wèn)題，HBVP確立最優(yōu)性條件比較復(fù)雜繁瑣[3]，本文的目的是為脈沖轉(zhuǎn)移這類(lèi)問(wèn)題最優(yōu)性條件的建立提供簡(jiǎn)潔的統(tǒng)一的理論框架，這將有助于設(shè)計(jì)者快速、方便地構(gòu)造進(jìn)而求解HBVP。

2 Hamilton邊值問(wèn)題構(gòu)造的一般形式

變分法一般從推演泛函極值的必要條件開(kāi)始。 因?yàn)槭?3)表示的性能指標(biāo)與約束條件或微分方程無(wú)關(guān)， 故引入和邊界條件相聯(lián)系的Lagrange乘子μ， 以及和微分方程相聯(lián)系的協(xié)變量λ， 從而構(gòu)造新的泛函J*：

(4)

(5)

從物理意義的角度說(shuō)，只用時(shí)間和狀態(tài)對(duì)這個(gè)泛函進(jìn)行微小擾動(dòng)，如果擾動(dòng)的結(jié)果是這個(gè)泛函不動(dòng)，說(shuō)明是泛函達(dá)到了極值，也就說(shuō)明達(dá)到了最佳的時(shí)間和狀態(tài)。當(dāng)然如果泛函中包含控制，必然會(huì)有控制的變分，但本文中脈沖作用被視為狀態(tài)的間斷而非控制量。

分部積分式(5)最后一項(xiàng)得

(6)

定義Hamilton函數(shù)為

H=λTf

(7)

并考慮到狀態(tài)量的變分和自變量有關(guān)，有

(8)

這里認(rèn)為自變量t的微分等于變分。

將式(6)～(8)代入式(5)得

(9)

最優(yōu)性必要條件應(yīng)該由極值的基本必要條件確定，即要求泛函J(或J的等價(jià)泛函J*)的一階變分為0，即

δJ*=0

(10)

并且不依賴于dtj-、dt(j-1)+、dxj-、dx(j-1)+和δx的選擇。通過(guò)使δx的系數(shù)為0，獲得Euler-Lagrange方程

(11)

Euler-Lagrange方程是描述協(xié)變量演化的微分方程，和狀態(tài)方程相對(duì)應(yīng)，也稱(chēng)為協(xié)變量方程。

其它系數(shù)和每段端點(diǎn)有關(guān)，令dtj-、dt(j-1)+、dxj-、dx(j-1)+的系數(shù)為0得到一般性的最優(yōu)邊界條件為

(12)

(13)

(14)

(15)

式(12)、式(13)和確定最優(yōu)狀態(tài)有關(guān)，式(14)、式(15)和確定最優(yōu)時(shí)間有關(guān)。式(14)和式(15)在t(j-1)+和tj-時(shí)刻分別得到了Hamilton函數(shù)的兩個(gè)邊界條件。

與Bryson給出的關(guān)于內(nèi)點(diǎn)時(shí)刻tj的一個(gè)條件相比，在討論起始時(shí)刻t0+和終端時(shí)刻tf-時(shí)，式(14)和式(15)更為明確，因?yàn)檫@樣避免了涉及t0-和tf+這些實(shí)際不存在的時(shí)刻點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)(即脈沖作用點(diǎn))在上述方程中只是作為一個(gè)普通的端點(diǎn)處理，內(nèi)點(diǎn)和其它端點(diǎn)(始、末端點(diǎn))可以滿足統(tǒng)一的方程形式。

內(nèi)點(diǎn)的一階必要條件和Lawden條件相同，但Lawden必要條件沒(méi)有給出端點(diǎn)(初始時(shí)刻和終端時(shí)刻)一階必要條件，而在間接法中，端點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)的必要條件可以從同一組方程中導(dǎo)出。相對(duì)Bryson和Ho[4]以及Lawden[11]給出的內(nèi)點(diǎn)方程而言，本文的Hamilton邊值問(wèn)題方程更通用，由此也反映了更本質(zhì)的邊值條件解析結(jié)構(gòu)。具體問(wèn)題的最優(yōu)性必要條件均可以從本文給出的通用方程中較方便地推出，避免了以往構(gòu)造邊值問(wèn)題復(fù)雜繁瑣的困難。

需要說(shuō)明的是，本文構(gòu)造的含內(nèi)點(diǎn)約束的多點(diǎn)邊值問(wèn)題(Multi-pointboundaryvalueproblem，MPBVP)總能得到和未知量相同數(shù)目的邊界條件，具體原因分析如下：

1)式(12)～(15)中μ包含的每個(gè)Lagrange乘子都為常數(shù)，由于μ和約束ψ對(duì)應(yīng)，所以它的個(gè)數(shù)等于ψ所包含約束的個(gè)數(shù)。問(wèn)題求解過(guò)程中，為了減少未知量的個(gè)數(shù)，一般會(huì)通過(guò)一些代數(shù)手段消掉Lagrange乘子。

2)式(12)、(13)能夠?yàn)槌跏紶顟B(tài)x0+和初始協(xié)變量λ0+提供數(shù)目相等的邊界條件(j分別等于f和0)。

3)式(14)、(15)能夠?yàn)閠(j-1)+和tj-提供數(shù)目相等的邊界條件。

4)式(12)、(13)能夠?yàn)閮?nèi)點(diǎn)未知量提供數(shù)目相等的邊界條件。

3 仿真校驗(yàn)

本節(jié)采用三個(gè)典型算例來(lái)測(cè)試上文給出的HBVP通用模型，分別是霍曼轉(zhuǎn)移、異面變軌和多脈沖交會(huì)。

由于球坐標(biāo)形式比直角坐標(biāo)形式物理概念更為直觀，而且下文也會(huì)展示采用球坐標(biāo)形式時(shí)，其中一個(gè)協(xié)變量始終為常值，因此本文算例采用球坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程。只考慮地球引力，航天器的運(yùn)動(dòng)方程和對(duì)應(yīng)的協(xié)變量微分方程為[12]

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

λvθ(-vrvθ+vθvφtanφ)+λφv+

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

3.1 霍曼轉(zhuǎn)移

第一個(gè)例子是共面圓軌道之間的軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題?？紤]初始軌道為半徑r0=8000 km的環(huán)火星圓軌道，目標(biāo)軌道為半徑rf=15000 km的圓軌道。這個(gè)問(wèn)題同Abdelkhalik和Mortari[13]采用遺傳算法結(jié)合最速下降法計(jì)算脈沖軌道轉(zhuǎn)移的第一個(gè)算例相同，該算例源自文獻(xiàn)[14]。Brown[14]解析證明了此問(wèn)題最優(yōu)解的總速度增量為0.609km/s，轉(zhuǎn)移時(shí)間為5.2h。

目標(biāo)函數(shù)為總的速度增量最小，最大化性能指標(biāo)寫(xiě)為

(28)

式中：下標(biāo)“0”、“2”和“f”分別表示第一次脈沖之前、第二次脈沖時(shí)間之前和之后的狀態(tài)。初始和終端條件分別為

(29)

r2=rf

(30)

根據(jù)式(13)和式(28)得邊值條件

(31)

(32)

根據(jù)式(12)和式(28)得邊值條件

(33)

(34)

由于終端時(shí)刻自由，根據(jù)式(14)得Hamilton函數(shù)邊值條件

H2=0

(35)

由式(29)和式(13)得，λr1=μr1，其中μr1是對(duì)應(yīng)等式約束r1=r0的Lagrange乘子，所以λr1是未知參數(shù)。θ0的取值是任意的，不妨設(shè)θ0=0；由于終端條件不限制θ，有λθ2=0，結(jié)合式(23)可知，λθ是一個(gè)等于0的常數(shù)。綜上，式(29)～(35)給出了8個(gè)邊界條件。優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)變量為8個(gè)，分別為Δt、r1、θ1、vr1、vθ1、λr1、λvr1和λvθ1，其中下標(biāo)“1”表示第一次脈沖之后的狀態(tài)，未知量和設(shè)計(jì)變量的數(shù)目相等，上述優(yōu)化問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)邊值問(wèn)題。

本文中邊值問(wèn)題求解方法采用解析同倫方法，采用這種方法可以從具有解析解的初始構(gòu)造問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)調(diào)整參數(shù)逐步迭代過(guò)渡到原始優(yōu)化問(wèn)題，因此這種方法的優(yōu)勢(shì)是可以避免協(xié)變量初值的猜測(cè)的困難，從而比較容易求解邊值問(wèn)題。由于邊值問(wèn)題求解不是本文的研究重點(diǎn)，方法的原理參見(jiàn)文獻(xiàn)[12]，此處不再贅述。最終得到協(xié)變量初值為λr1=0.268，λvr1=0，λvθ1=1，計(jì)算所得結(jié)果如表1所示，和理論上的霍曼轉(zhuǎn)移解析解相同。Abdelkhalik和Mortari[13]報(bào)告了一個(gè)接近霍曼轉(zhuǎn)移的次優(yōu)解，其中所需速度增量和時(shí)間分別為0.6093km/s和5.157h，和最優(yōu)解的偏差分別為0.033%和0.83%。需要指出，Abdelkhalik和Mortari[13]所計(jì)算的霍曼轉(zhuǎn)移最優(yōu)飛行時(shí)間5.08h有誤，應(yīng)為5.2h，見(jiàn)表1。

圖1描述了終端時(shí)間自由時(shí)的最優(yōu)解主矢量變化歷史，顯然滿足主矢量必要條件。可見(jiàn)，采用間接法能夠得到滿足主矢量條件的最優(yōu)解。

表1 霍曼轉(zhuǎn)移問(wèn)題求解結(jié)果

圖1 霍曼轉(zhuǎn)移問(wèn)題最優(yōu)解的主矢量變化歷史Fig.1 Primer history of the optimal LEO to HEO transfer

3.2 異面變軌

第二個(gè)例子是異面圓軌道之間的軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題。 考慮初始軌道為半徑為6671.53km的地球停泊圓軌道，軌道傾角28.5°，目標(biāo)軌道為半徑26558.56km的圓軌道，軌道傾角為0°。這個(gè)問(wèn)題同Abdelkhalik和Mortari[13]采用遺傳算法結(jié)合最速下降法計(jì)算脈沖軌道轉(zhuǎn)移的第二個(gè)算例相同，該算例源自文獻(xiàn)[15]。Vallado[15]提供了兩脈沖最優(yōu)異面變軌的解析解法。

目標(biāo)函數(shù)為總的速度增量最小，最大化性能指標(biāo)寫(xiě)為

(36)

式中：下標(biāo)“0”、“2”和“f”分別表示第一次脈沖之前、第二次脈沖時(shí)間之前和之后的狀態(tài)。

考慮這個(gè)問(wèn)題的一種限制性情況，即限制轉(zhuǎn)移航天器初始時(shí)刻在兩個(gè)軌道的交線上，則φ0=0、vr0=0、vθ0=vc1cosi、vφ0=vc1sini，其中vc1和i分別表示初始軌道的速度大小和軌道傾角，不妨設(shè)θ0=0。初始和終端條件分別為

(37)

(38)

根據(jù)式(13)和式(36)得邊值條件

(39)

(40)

(41)

根據(jù)式(12)和式(36)得邊值條件

(42)

(43)

(44)

和前面的共面轉(zhuǎn)移問(wèn)題類(lèi)似，有

H2=0

(45)

且λθ恒等于0，

(46)

式中：μr1和μφ1是引入的Lagrange乘子，是未知參數(shù)。

綜上，式(37)～(45)給出了12個(gè)邊值條件。優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)變量分別為Δt、r1、θ1、φ1、vr1、vθ1、vφ1、λr1、λφ1、λvr1、λvθ1和λvφ1，其中下標(biāo)“1”表示第一次脈沖之后的狀態(tài)。可見(jiàn)，設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)和邊界條件的個(gè)數(shù)相等，上述優(yōu)化問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)邊值問(wèn)題。

邊值問(wèn)題求解方法同樣采用解析同倫方法，得到的協(xié)變量初值為λr1=0.757，λφ1=6.16×10-8，λvr1=-6.84×10-8，λvθ1=0.975，λvφ1=0.224，計(jì)算結(jié)果如表2所示。本文方法能夠得到和理論最優(yōu)解相同的結(jié)果，并且優(yōu)于采用遺傳算法結(jié)合最速下降法獲得的結(jié)果(總的速度增量為4.0610km/s[13])和采用偽譜法獲得的結(jié)果(總的速度增量為4.0594km/s[16])，見(jiàn)表2。圖2描述了終端時(shí)間自由時(shí)的最優(yōu)解主矢量變化歷史，顯然滿足主矢量必要條件。

表2 異面變軌問(wèn)題求解結(jié)果

圖2 異面變軌問(wèn)題最優(yōu)解的主矢量變化歷史Fig.2 Primer history of the optimal noncoplanar transfer

3.3 多脈沖交會(huì)

同圓交會(huì)問(wèn)題是一個(gè)比較經(jīng)典的多圈脈沖交會(huì)問(wèn)題。目標(biāo)和追蹤航天器是在同一個(gè)圓軌道上，追蹤航天器滯后目標(biāo)航天器一定的相位角，要求在一定時(shí)間內(nèi)追蹤航天器與目標(biāo)航天器在該圓軌道上交會(huì)(相對(duì)狀態(tài)為0)。圖3是目標(biāo)航天器在追蹤航天器前方180°的示意圖。關(guān)于這個(gè)交會(huì)問(wèn)題的研究已經(jīng)很多，包括Prussing和Chiu[17]、Colasurdo等[18]、Prussing[19]以及Luo等[20-21]，當(dāng)交會(huì)時(shí)間是2.3個(gè)軌道周期時(shí)，上述研究分別報(bào)告了最優(yōu)四脈沖交會(huì)解，而且該交會(huì)問(wèn)題需要一個(gè)非常大的Δv(大于1200 m/s)。為了便于對(duì)比，本文也選擇一個(gè)400 km圓軌道工況進(jìn)行測(cè)試。

多脈沖交會(huì)問(wèn)題的HBVP最優(yōu)性條件推導(dǎo)方法和前兩個(gè)問(wèn)題類(lèi)似，因此推導(dǎo)過(guò)程這里不再重復(fù)，而是直接給出設(shè)計(jì)結(jié)果，特別是主矢量變化結(jié)果，從中可以觀察解的最優(yōu)性必要條件的滿足情況。

第一個(gè)四脈沖最優(yōu)解主矢量變化見(jiàn)圖4(圖中黑點(diǎn)表示脈沖作用點(diǎn))，顯然滿足Lawden條件。需要指出，這個(gè)四脈沖最優(yōu)解雖然滿足主矢量條件，但并不是可行解，因?yàn)楹教炱黠w行軌跡最小距離小于地球半徑(見(jiàn)圖5)。

第二個(gè)四脈沖最優(yōu)解主矢量變化見(jiàn)圖6(圖中黑點(diǎn)表示脈沖點(diǎn))，顯然滿足Lawden條件。這組四脈沖解不但滿足主矢量條件，而且也是可行解，圖7給出了航天器飛行軌跡在赤道面內(nèi)的投影，可見(jiàn)最小距離大于地球半徑。

圖3 追蹤和目標(biāo)航天器在同一圓軌道上交會(huì)問(wèn)題Fig.3 Illustration of the same-circle rendezvous problem

圖4 同圓交會(huì)問(wèn)題第一個(gè)解主矢量(算列1)Fig.4 Primer history of same-circle rendezvous (case 1)

圖5 同圓交會(huì)問(wèn)題第一個(gè)四脈沖解最優(yōu)軌跡(算列1)Fig.5 Optimal solution of same-circle rendezvous (case 1)

圖6 同圓交會(huì)問(wèn)題第二個(gè)解主矢量(算列2)Fig.6 Primer history of same-circle rendezvous (case 2)

圖7 同圓交會(huì)問(wèn)題第二個(gè)四脈沖解最優(yōu)軌跡(算列2)Fig.7 Optimal solution of same-circle rendezvous (case 2)

Prussing和Chiu[17]最早對(duì)同圓交會(huì)問(wèn)題進(jìn)行了研究，但只給出了第二個(gè)四脈沖最優(yōu)解。Colasurdo等[18]采用間接法并結(jié)合動(dòng)力學(xué)輔助分析首次完整給出了上述兩個(gè)四脈沖最優(yōu)解。Luo等[20]和Luo等[21]利用進(jìn)化算法也找到了上述兩個(gè)四脈沖最優(yōu)解，然而進(jìn)化算法通常需要的計(jì)算較大。相比之下，本文提出的方法較為簡(jiǎn)單通用，而且能從理論上保證解的最優(yōu)性。

需要說(shuō)明的是，初始和終端時(shí)刻不能作為內(nèi)點(diǎn)處理，而且終端時(shí)刻可能不固定(見(jiàn)前兩個(gè)算例)，因此主矢量理論不適用于這兩個(gè)端點(diǎn)，本文構(gòu)造的模型可以將端點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)統(tǒng)一起來(lái)處理。

以上三個(gè)算例都比較典型，代表了不同類(lèi)型的軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題：前兩個(gè)算例有解析解，一個(gè)是平面轉(zhuǎn)移，另一個(gè)是異面轉(zhuǎn)移，第三個(gè)算例是典型的多脈沖交會(huì)問(wèn)題，不存在解析解。用不同類(lèi)型的問(wèn)題能夠更好地驗(yàn)證文中模型的適用性。其他脈沖轉(zhuǎn)移問(wèn)題的Hamilton邊值問(wèn)題的構(gòu)建與此類(lèi)似。Lawden主矢量理論是在二體模型中推導(dǎo)的，本文提出的Hamilton邊值問(wèn)題通用模型并不依賴于二體動(dòng)力學(xué)模型假設(shè)，對(duì)更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題也有應(yīng)用前景。

表3 400 km同圓交會(huì)軌道問(wèn)題的二組解

4 結(jié) 論

本文研究了大推力航天器最優(yōu)飛行路徑的Hamilton邊值問(wèn)題，給出了這類(lèi)問(wèn)題所滿足的邊值條件一般形式。根據(jù)邊值條件的一般形式，可以很方便地得到具體問(wèn)題的邊值條件，從而簡(jiǎn)化了原問(wèn)題的復(fù)雜性。在討論最優(yōu)飛行路徑Hamilton邊值問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)內(nèi)點(diǎn)和所有其它端點(diǎn)均可以滿足同樣一套方程，據(jù)此，拓展和完善了Bryson和Ho求解該問(wèn)題的模型。由于采用了脈沖假設(shè)，這個(gè)假設(shè)只適用于大推力情形，對(duì)于小推力問(wèn)題，是否存在比較通用的邊值條件形式還值得進(jìn)一步研究。

[1] 雍恩米, 陳磊, 唐國(guó)金. 飛行器軌跡優(yōu)化數(shù)值方法綜述[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2008, 29(2): 397-406. [Yong En-mi, Chen Lei, Tang Guo-jin. A survey of numerical methods for trajectory optimization of spacecraft [J]. Journal of Astronautics, 2008, 29(2): 397-406.]

[2] 李俊峰, 蔣方華. 連續(xù)小推力航天器的深空探測(cè)軌道優(yōu)化方法綜述[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 2011, 33(3): 1-6. [Li Jun-feng, Jiang Fang-hua. Survey of low-thrust trajectory optimization methods for deep space exploration [J]. Mechanics in Engineering, 2011, 33(3): 1-6.]

[3] Betts J T. Survey of numerical methods for trajectory optimization [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1998, 21(2): 193-207.

[4] Bryson A E, Ho Y C. Applied optimal control[M]. Washington, DC: Hemisphere, 1975.

[5] Peng H J, Gao Q, Wu Z, et al. Symplectic approaches for solving two-point boundary-value problems [J]. Journal of Guidance Control and Dynamics, 2012, 35 (2): 653-658.

[6] 陳琪鋒,張躍東,吳文昭,等. 基于近似生成函數(shù)迭代的分布式衛(wèi)星構(gòu)形最優(yōu)控制研究[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2009, 30(3): 988-993. [Chen Qi-feng, Zhang Yue-dong, Wu Wen-zhao, et al. Research on optimal control of distributed satellite system formation based on iteration of generating function approximation [J]. Journal of Astronautics, 2009, 30(3): 988-993.]

[7] Jiang F, Baoyin H, Li J. Practical techniques for low-thrust trajectory optimization with homotopic approach [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2012, 35(1): 245-258.

[8] Shen H X, Casalino L, Li H Y. Adjoints estimation methods for impulsive Moon-to-Earth trajectories in the restricted three-body problem [J]. Optimal Control Applications and Methods, 2014, 36: 463-474.

[9] Pan B, Lu P, Pan X, et al. Double-homotopy method for solving optimal control problems [J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 2016, 39(8): 1706-1720.

[10] Hwang I, Li J H, Du D. Differential transformation and its application to nonlinear optimal control [J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 2009, 131(5): 1-11.

[11] Lawden D F. Optimal trajectories for space navigation [M]. London: Butterworths, 1963.

[12] 沈紅新. 基于解析同倫的月地應(yīng)急返回軌跡優(yōu)化方法[D]. 長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué), 2014. [Shen Hong-xin. Optimization method for the Moon-Earth abort return trajectories based on analytic homotopic technique [D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2014.]

[13] Abdelkhalik O, Mortari D. N-impulse orbit transfer using genetic algorithms [J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2007, 44(2): 456-460.

[14] Brown C D. Spacecraft mission design[M]. AIAA, 1998.

[15] Vallado D A. Fundamentals of astrodynamics and applications[M]. Torrance, USA: Microcosm Press, 2001.

[16] Shen H X. A novel algorithm for optimal design of impulsive orbit transfer [C]. The 3rd International Symposium on Systems and Control in Aeronautics and Astronautics, Harbin, China, June 8-10, 2011.

[17] Prussing J E, Chiu J H. Optimal multiple-impulse time-fixed rendezvous between circular orbits [J]. Journal of Guidance Control and Dynamics, 1986, 9(1):17-22.

[18] Colasurdo G, Pastrone D. Indirect optimization method for impulsive transfer[R]. AIAA Paper 1994-3762, 1994.

[19] Prussing J E. A class of optimal two-impulse rendezvous using multiple-revolution Lambert solutions [J]. The Journal of the Astronautical Sciences, 2000, 48(2):131-148.

[20] Luo Y Z, Zhang J, Li H Y, et al. Interactive optimization approach for optimal impulsive rendezvous using primer vector and evolutionary algorithms[J]. Acta Astronautica, 2010, 67(3): 396-405.

[21] Luo Y Z, Tang G J, Li Y J, et al. Optimization of multiple-impulse, multiple-revolution, rendezvous phasing maneuvers [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2007, 30(4): 946-952.

[22] Shen H X, Casalino L. Indirect optimization of three-dimensional multiple-impulse Moon-to-Earth transfers [J]. The Journal of Astronautical Sciences, 2014, 61: 255-274.

通信地址：西安505信箱28分箱(710043)

電話：(029)84762520

E-mail:shxnudt@163.com

Hamilton Boundary Value Problem for Optimal Impulsive Trajectory

SHEN Hong-xin

(State Key Laboratory of Astronautic Dynamics, Xi’an Satellite Control Center, Xi’an 710043, China)

For a spacecraft with high thrust, a general equations based on variational calculus for formulating the Hamilton boundary value problem (HBVP) is proposed, where the optimality conditions on interior points and other general boundary points (inclucling initial and final points) are in the same manners, so that our equations tend to reveal the more intrinsic analytic structure of HBVP. The detailed optimality conditions can be determined conveniently according to the general equations; therefore, the tedious task of formulating HBVP is precluded. Simulations show that the method proposed in this paper could ensure obtaining the optimal flight path of the high-thrust spacecraft effectively and efficiently.

Boundary value problem; Optimality; Interior point; Impulsive trajectory

2016-10-18;

2017-05-15

V412.4

A

1000-1328(2017)07-0686-08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.07.000

沈紅新(1986-)，男，博士，工程師，主要從事航天器軌道姿態(tài)最優(yōu)控制研究。