于大騰，王 華，李林森，王洪宇

(1. 國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，長沙 410073；2. 上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109)

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能量約束下的動(dòng)能攔截彈逆軌攔截攻擊區(qū)建模

于大騰1，王 華1，李林森1，王洪宇2

(1. 國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，長沙 410073；2. 上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109)

針對(duì)動(dòng)能攔截彈(KKV)攔截高速目標(biāo)的攔截末端對(duì)抗分析問題，提出一種末端攔截彈攻擊區(qū)建模方法以及目標(biāo)最優(yōu)規(guī)避策略。首先，通過空間幾何關(guān)系推導(dǎo)并得出了攔截彈與目標(biāo)機(jī)動(dòng)范圍在攻擊區(qū)中的投影計(jì)算方法。以所建立模型為基礎(chǔ)，推導(dǎo)捕獲區(qū)與逃逸區(qū)以及界柵的計(jì)算方法，并給出了顯式表達(dá)式。隨后，引入燃料消耗這一能量約束條件，進(jìn)一步建立考慮能量約束的攻擊區(qū)計(jì)算模型。對(duì)于目標(biāo)，通過對(duì)所建立的攻擊區(qū)及相應(yīng)的投影進(jìn)行分析得到了其最優(yōu)規(guī)避策略。仿真結(jié)果表明，文中所建立的模型、投影計(jì)算方法及目標(biāo)最優(yōu)規(guī)避策略是正確的。利用本文提出的模型，可根據(jù)末端攔截彈與目標(biāo)的參數(shù)對(duì)攔截彈捕獲逃逸區(qū)進(jìn)行快速計(jì)算。通過對(duì)不同情況下的攻擊區(qū)進(jìn)行分析，可為助推火箭與攔截彈末制導(dǎo)交接班條件的研究提供便利。

動(dòng)能攔截彈；逆軌攔截；攻擊區(qū)；捕獲區(qū)；逃逸區(qū);能量約束；規(guī)避策略

0 引 言

隨著空間技術(shù)的快速發(fā)展，空間攻防對(duì)抗已逐漸成為國際航天領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[1-2]；與此同時(shí)，國內(nèi)外多種高超聲速飛行器順利進(jìn)行試驗(yàn)。攔截高速目標(biāo)，特別是目標(biāo)速度高于攔截彈速度時(shí)的彈目間對(duì)抗分析將成為未來一項(xiàng)富有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。

目前針對(duì)大氣層外動(dòng)能攔截器的文獻(xiàn)研究主要集中在KKV/EKV末制導(dǎo)律方面[3-6]。Taur[7]針對(duì)末端攔截高超聲速目標(biāo)，給出了改進(jìn)的擴(kuò)展增廣比例制導(dǎo)律(Augmented proportional navigation，APN)。近來，Prasanna等[8]提出了一種將比例制導(dǎo)中比例系數(shù)設(shè)置為負(fù)值，即負(fù)比例的導(dǎo)引律用以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的順軌攔截。以上文獻(xiàn)均對(duì)攔截問題進(jìn)行了饒有價(jià)值的分析，然而僅局限在末制導(dǎo)律上。對(duì)于攔截雙方的對(duì)抗，特別是攔截末端攔截彈攻擊區(qū)的研究，缺乏相應(yīng)的分析方法。

攻擊區(qū)可以綜合體現(xiàn)多種因素對(duì)攔截彈作戰(zhàn)使用的影響，是分析導(dǎo)彈攻擊性能的重要方法?？湛諏?dǎo)彈攻擊區(qū)的研究已有較多成果?；菀宓萚9]提出了一種動(dòng)態(tài)攻擊區(qū)的高精度快速算法。張安柯等[10]在攻擊區(qū)建模時(shí)考慮了目標(biāo)強(qiáng)機(jī)動(dòng)的影響。此外，針對(duì)末端脈沖修正彈的攻擊區(qū)問題，楊榮軍等[11]提出了導(dǎo)引頭探測(cè)區(qū)模型，對(duì)影響攻擊區(qū)范圍的相關(guān)因素進(jìn)行了研究。在攔截彈領(lǐng)域，不少學(xué)者也已進(jìn)行了研究。Tyan等[12]和Lin等[13]設(shè)計(jì)了三維純比例制導(dǎo)律并推導(dǎo)了相關(guān)的捕獲逃逸區(qū)域。馮海丁等[14]分析了末制導(dǎo)階段的場(chǎng)景參數(shù)對(duì)攔截域的影響。王黎光[15]對(duì)測(cè)量誤差導(dǎo)致的脫靶量及能量消耗進(jìn)行了研究。端軍紅等[16-17]對(duì)動(dòng)能攔截彈末端攻擊區(qū)進(jìn)行了建模，并以此提出了相應(yīng)的衛(wèi)星末端防御策略。以上文獻(xiàn)均進(jìn)行了饒有價(jià)值的研究，但反映初始參數(shù)和攻擊區(qū)間關(guān)系的研究較少，且大多未考慮能量約束。對(duì)此，本文提出一種考慮能量約束的攔截彈末端攻擊區(qū)建模方法，可對(duì)不同條件下的初始參數(shù)對(duì)攻擊區(qū)的影響進(jìn)行分析，從而為助推火箭與攔截彈末制導(dǎo)交接班條件的研究提供一定參考。

本文以末端初始時(shí)刻攔截彈速度矢量方位角和俯仰角來描述攔截彈末端攻擊區(qū)，推導(dǎo)得到了攔截彈和目標(biāo)在能量約束下的機(jī)動(dòng)范圍在攻擊區(qū)的投影表達(dá)式，由此保證了在任意初始方位角和俯仰角下所建立模型均可支持。隨后利用空間幾何關(guān)系進(jìn)行分析，得到了目標(biāo)最優(yōu)規(guī)避機(jī)動(dòng)方向。最后給出的算例驗(yàn)證了所建立模型的正確性。

1 問題簡述

對(duì)于本文研究的高速目標(biāo)攔截問題，目前主要有兩種攔截方式：逆軌攔截和順軌攔截。所謂逆軌攔截方式，即攔截彈和目標(biāo)速度方向相反，其優(yōu)勢(shì)在于可以較小速度攔截高速目標(biāo)；順軌攔截方式，即攔截彈和目標(biāo)速度方向同側(cè)，其優(yōu)勢(shì)在于彈目接近速度低，所需過載小，但對(duì)自身速度要求高。對(duì)于衛(wèi)星或者超高聲速飛行器等目標(biāo)，由于其速度非常大，因此在對(duì)這些目標(biāo)進(jìn)行攔截時(shí)通常會(huì)采用逆軌攔截的方式進(jìn)行攔截。本文假設(shè)攔截彈速度低于目標(biāo)速度，采用逆軌攔截方式攔截某高速目標(biāo)，以此為背景建立攻擊區(qū)模型。

本文只對(duì)逆軌攔截末端進(jìn)行分析，即考慮攔截彈導(dǎo)引頭已捕獲目標(biāo)并開始自導(dǎo)引，目標(biāo)也已發(fā)現(xiàn)來襲攔截彈開始實(shí)施規(guī)避。此時(shí)攔截彈與目標(biāo)一般相距幾十千米，由于兩者迎頭接近，接近速度可達(dá)10 km/s以上，因此整個(gè)攔截末端一般僅持續(xù)數(shù)秒。在此過程中，與攔截彈初始速度方向相比，由制導(dǎo)律產(chǎn)生的垂直視線方向的速度改變?yōu)樾×俊?/p>

為對(duì)問題進(jìn)行分析，還需要引入一些基本假設(shè)，本文后續(xù)分析均是建立在以下假設(shè)之上：

1)由于末端攔截過程僅持續(xù)數(shù)秒，兩者的相對(duì)距離與地心距相比為小量，因此忽略攔截彈與目標(biāo)重力加速度差異。

2)假設(shè)在整個(gè)末端攔截過程中攔截彈機(jī)動(dòng)能力優(yōu)于目標(biāo)。

3)在整個(gè)末端攔截過程中，假設(shè)攔截彈的姿控及制導(dǎo)控制都是穩(wěn)定的，不考慮可靠性問題。

2 攔截彈攻擊區(qū)模型

2.1 攻擊區(qū)建模

假設(shè)攔截彈初始位置矢量為rm0=[0,0,0]T(坐標(biāo)原點(diǎn))，初始速度矢量為vm0=[vmx,vmy,vmz]T，目標(biāo)位置矢量為rt0=[rtx,rty,rtz]T，初始速度矢量為vt0=[vtx,vty,vtz]T。

首先給出攔截彈末端可達(dá)域定義如下：

定義1. 攔截彈末端可達(dá)域是以初始時(shí)刻攔截彈位置為起始點(diǎn)，在整個(gè)攔截末端過程中攔截彈所能達(dá)到的所有空間區(qū)域。

由對(duì)稱性可知，攔截彈攻擊區(qū)為以初始速度矢量為中心的有限曲面錐形空間區(qū)域(如圖1所示)。每一時(shí)刻T的可達(dá)域可描述為距該錐形頂點(diǎn)vm0T處的截面圓，攔截時(shí)刻的可達(dá)域?yàn)樵摽臻g錐的底面圓。

圖1展示了可達(dá)域的空間形狀，圖中α0為方位角，β0為俯仰角，Sm,max為攔截彈垂直于初始速度矢量方向的最大機(jī)動(dòng)位移量。在圖1所示的空間錐中，vm0從初始時(shí)刻至期望攔截點(diǎn)時(shí)刻的路徑為該空間錐的軸。從初始時(shí)刻開始至期望攔截時(shí)刻，以攔截彈最大加速度沿任意方向施加垂直于vm0的機(jī)動(dòng)，所形成的路徑即為該空間錐的母線。當(dāng)α0和β0均為等于或接近于零的小角度時(shí)，稱該條件下為標(biāo)稱情況。

圖1 攔截末端可達(dá)域Fig.1 Interception final phase reachable domain

文獻(xiàn)[16]對(duì)攔截彈攻擊區(qū)進(jìn)行了建模，但該模型在初始俯仰角方位角不為零時(shí)模型將不再適用。本文對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，采用初始速度矢量的方位角和俯仰角對(duì)攻擊區(qū)進(jìn)行描述，所建立模型對(duì)方位角和俯仰角不為零時(shí)同樣適用。假設(shè)Pc(坐標(biāo)為(xc,yc,zc))為可達(dá)域內(nèi)任一可命中的目標(biāo)點(diǎn)，則其在α-β平面內(nèi)均有唯一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(αc,βc)，因此采用方位角俯仰角對(duì)攻擊區(qū)進(jìn)行描述是合理的。

Tfn=rtn/(vm0+vt0)

(1)

(2)

式中：rb為攔截彈導(dǎo)引頭盲區(qū)距離。

圖2 標(biāo)稱情況下的可達(dá)域Fig.2 Reachable domain in the nominal case

將可達(dá)域邊界與方位角俯仰角描述下的攻擊區(qū)一一對(duì)應(yīng)，不難發(fā)現(xiàn)標(biāo)稱攻擊區(qū)的俯仰角邊界為攔截時(shí)刻可達(dá)域與xy平面距x軸最遠(yuǎn)的兩個(gè)交點(diǎn)，方位角邊界為攔截時(shí)刻可達(dá)域與xz平面距x軸最遠(yuǎn)的兩個(gè)交點(diǎn)。假設(shè)攔截彈最大機(jī)動(dòng)加速度為am,max，則在攔截時(shí)刻其垂直于初始速度矢量方向的最大位移為

(3)

式中：右側(cè)第一項(xiàng)為攔截彈進(jìn)入盲區(qū)前以最大機(jī)動(dòng)加速度機(jī)動(dòng)產(chǎn)生的位移，第二項(xiàng)為攔截彈進(jìn)入盲區(qū)后的位移量，由于導(dǎo)引頭停止工作，攔截彈將不再進(jìn)行機(jī)動(dòng)，而是以進(jìn)入時(shí)刻速度勻速運(yùn)動(dòng)。

易知方位角與俯仰角改變量的邊界值為

(4)

(5)

由式(5)可知，Δβmn,max=Δαmn,max，即方位角和俯仰角的邊界量相等?？紤]攔截時(shí)刻可達(dá)域?yàn)檩S對(duì)稱，因此將其投影到α-β平面，可得如圖3所示α-β平面的攻擊區(qū)。

圖3 攻擊區(qū)示意Fig.3 The sketch of attack area

圖3中的攻擊區(qū)是以初始時(shí)刻速度矢量方位角和俯仰角為圓心，半徑為Δαmn,max/Δβmn,max的圓。同理，將任意時(shí)刻的可達(dá)域投影至α-β平面均可得到類似圖3的攻擊區(qū)。理想情況下，當(dāng)初始速度矢量沒有橫向偏差，即目標(biāo)速度矢量與攔截彈初始速度矢量處于同一直線時(shí)，則圖3中圓心即為期望攔截點(diǎn)。當(dāng)目標(biāo)不機(jī)動(dòng)時(shí)，只要目標(biāo)初始速度投影落在攻擊區(qū)內(nèi)，即說明攔截彈可以對(duì)其進(jìn)行攔截，本文不考慮超出可達(dá)域的情況。

當(dāng)目標(biāo)初始投影落于攻擊區(qū)時(shí)，在不機(jī)動(dòng)的情況下將會(huì)被攔截，但一般目標(biāo)均具有一定的機(jī)動(dòng)能力。假設(shè)目標(biāo)最大加速度為at,max，則從初始時(shí)刻至攔截時(shí)刻其最大橫向位移為

(6)

下面考慮一種理想情況。當(dāng)目標(biāo)速度矢量與攔截彈初始速度矢量平行但不共線時(shí)，最大機(jī)動(dòng)橫向位移為Stn,max(見圖2)，目標(biāo)機(jī)動(dòng)產(chǎn)生的可達(dá)域在攔截時(shí)刻的截面為以不機(jī)動(dòng)時(shí)的攔截點(diǎn)投影為圓心，Stn,max為半徑的圓。由于目標(biāo)橫向機(jī)動(dòng)與vm0Tf相比為小量，進(jìn)行適當(dāng)簡化，則該位移引起的方位角和俯仰角的改變量為

(7)

易知，Δβtn,max=Δαtn,max，目標(biāo)機(jī)動(dòng)范圍在攻擊區(qū)的投影也是一個(gè)以不機(jī)動(dòng)時(shí)刻攔截點(diǎn)投影為圓心，半徑為Δβtn,max的圓，具體如圖3所示。當(dāng)該圓有落在攻擊區(qū)外部的部分時(shí)說明目標(biāo)可以進(jìn)行逃逸，其余情況為不可逃逸。具體的捕獲與逃逸分析將在下節(jié)進(jìn)行詳細(xì)分析。

以上對(duì)標(biāo)稱情況下的攻擊區(qū)投影進(jìn)行了分析，然而實(shí)際任務(wù)中標(biāo)稱情況較少出現(xiàn)，一般均為類似圖1中的普適情況。以標(biāo)稱情況下的分析為基礎(chǔ)，下面對(duì)普適情況下的攻擊區(qū)投影及目標(biāo)機(jī)動(dòng)投影進(jìn)行分析。

(vm0Tf-vt0Tf)·vm0=0

(8)

由式(8)可計(jì)算得到整個(gè)攔截過程的時(shí)間，對(duì)于進(jìn)入盲區(qū)的時(shí)間，可用下式進(jìn)行估計(jì)

(9)

在得到攔截時(shí)間后，攔截彈與目標(biāo)的最大位移計(jì)算方法與標(biāo)稱情況下相同。下面對(duì)普適情況下的攻擊區(qū)計(jì)算進(jìn)行分析。由圖1中所示空間幾何關(guān)系可知，普適情況下的方位角與俯仰角改變量的邊界值計(jì)算如下

(10)

(11)

將式(11)與式(5)進(jìn)行比較不難發(fā)現(xiàn)，普適情況下的攻擊區(qū)投影為以(α0,β0)為中心，長半軸為Δα±m(xù),max，短半軸為Δβ±m(xù),max的橢圓。該橢圓計(jì)算式如下

(12)

圖4 可達(dá)域在xy和xz平面的投影Fig.4 The projection of reachable domain in xy and xz plane

(13)

在由式(13)計(jì)算得到目標(biāo)機(jī)動(dòng)位移量在攔截彈可達(dá)域底面圓的投影后，目標(biāo)機(jī)動(dòng)可引起的攔截彈俯仰角和方位角變化邊界值可由下式計(jì)算得到

(14)

2.2 捕獲區(qū)與逃逸區(qū)計(jì)算

本節(jié)將對(duì)攔截彈與目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力對(duì)最終攔截結(jié)果的影響進(jìn)行分析。

圖5 捕獲區(qū)與逃逸區(qū)示意Fig.5 The sketch of capture region and escape region

考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)后剛好達(dá)到攔截彈攻擊區(qū)邊界的情況，此時(shí)應(yīng)有目標(biāo)機(jī)動(dòng)范圍橢圓與攔截彈攻擊區(qū)橢圓相內(nèi)切，具體如圖5所示。由圖5可知，所有滿足內(nèi)切要求的目標(biāo)機(jī)動(dòng)范圍橢圓圓心即組成了捕獲區(qū)與逃逸區(qū)的界柵。所有這些圓心的集合可由下式進(jìn)行計(jì)算：

(15)

式(15)即攔截彈捕獲與逃逸區(qū)的界柵描述方程，在該橢圓內(nèi)部是攔截彈的捕獲區(qū)，當(dāng)目標(biāo)不機(jī)動(dòng)時(shí)的期望攔截點(diǎn)在捕獲區(qū)內(nèi)時(shí)，無論目標(biāo)是否機(jī)動(dòng)均會(huì)被攔截彈捕獲攔截，而該橢圓以外為目標(biāo)的逃逸區(qū)，當(dāng)目標(biāo)不機(jī)動(dòng)時(shí)的期望攔截點(diǎn)在逃逸區(qū)內(nèi)時(shí)，目標(biāo)通過最大機(jī)動(dòng)可以成功逃逸。

3 能量約束下的攻擊區(qū)模型

在實(shí)際攔截任務(wù)中，由于燃料的消耗導(dǎo)致加速度是時(shí)變的，且軌控發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間也是有限的。假設(shè)攔截彈軌控發(fā)動(dòng)機(jī)最大工作時(shí)間為tm,max，目標(biāo)軌控發(fā)動(dòng)機(jī)最大工作時(shí)間為tt,max。本節(jié)將在Tfn>tm,max和Tfn≤tm,max兩種情況下對(duì)攔截彈與目標(biāo)的最大位移量進(jìn)行分析。

3.1Tfn≤tm,max時(shí)的攻擊區(qū)計(jì)算

設(shè)攔截彈軌控發(fā)動(dòng)機(jī)比沖為Im,g，最大穩(wěn)態(tài)推力為Pm,max，攔截彈初始質(zhì)量為mm0，軌控推進(jìn)劑質(zhì)量為mm,p。若攔截彈始終以最大穩(wěn)態(tài)推力推進(jìn)，則攔截彈的質(zhì)量變化率為

(16)

式中：g0為標(biāo)準(zhǔn)海平面重力加速度。

攔截彈t時(shí)刻的橫向最大加速度可表示如下

(17)

由式(17)可以計(jì)算t時(shí)刻的攔截彈橫向速度以及最大橫向機(jī)動(dòng)位移量如下

(18)

(19)

由于Tfn≤tm,max，即整個(gè)攔截過程中，攔截彈均可以最大橫向加速度進(jìn)行制導(dǎo)機(jī)動(dòng)，則在攔截時(shí)刻攔截彈垂直于初始速度矢量方向的最大位移可由式(3)修正為

(20)

將式(20)所得結(jié)果替代第2.1節(jié)中式(3)結(jié)果進(jìn)行后續(xù)分析即可得到能量約束下的攻擊區(qū)范圍及捕獲逃逸區(qū)界柵，這里不再贅述。同理，設(shè)目標(biāo)軌控發(fā)動(dòng)機(jī)比沖為It,g，最大穩(wěn)態(tài)推力為Pt,max，目標(biāo)初始質(zhì)量為mt0，軌控推進(jìn)劑質(zhì)量為mt,p。

則攔截彈每一時(shí)刻的橫向最大加速度可表示如下

(21)

目標(biāo)從初始時(shí)刻至攔截時(shí)刻其最大橫向位移可由式(6)修正為

(22)

將式(22)所得結(jié)果替代第2.1節(jié)中式(6)結(jié)果進(jìn)行后續(xù)分析即可得到能量約束下的目標(biāo)機(jī)動(dòng)范圍，從而得到新的捕獲區(qū)與逃逸區(qū)相應(yīng)結(jié)果。

3.2Tfn>tm,max時(shí)的攻擊區(qū)計(jì)算

當(dāng)總攔截時(shí)間大于攔截彈軌控發(fā)動(dòng)機(jī)最大工作時(shí)間時(shí)，若攔截彈一直以最大加速度機(jī)動(dòng)，其將在攔截前因耗盡燃料導(dǎo)致軌控發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)。類似第3.1節(jié)可以推導(dǎo)得到攔截彈的最大橫向機(jī)動(dòng)位移量為

(23)

需要注意的是，為了制導(dǎo)需要，攔截彈應(yīng)在進(jìn)入盲區(qū)前均留有機(jī)動(dòng)能力，因此式(23)后半部分考慮的是進(jìn)入盲區(qū)前能達(dá)到的最大速度增量乘以盲區(qū)時(shí)間從而得到盲區(qū)中的橫向位移量。

目標(biāo)在攔截過程中，先以最大加速度規(guī)避，在燃料耗盡后將以軌控發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)時(shí)的速度繼續(xù)規(guī)避直至攔截時(shí)刻，其最大橫向位移量為

(24)

將式(23)和式(24)計(jì)算得到的攔截彈與目標(biāo)最大橫向位移量代入第2節(jié)相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算即可得到能量約束下的攻擊區(qū)范圍與捕獲逃逸區(qū)界柵。

4 目標(biāo)最優(yōu)規(guī)避策略

由于整個(gè)攔截末端時(shí)間非常短暫，因此及時(shí)采用最優(yōu)規(guī)避策略是十分重要的。

maxJ=(αt0-α0)2+(βt0-β0)2

(25)

5 仿真算例分析

本節(jié)采用文中建立的模型進(jìn)行仿真，首先對(duì)第3節(jié)中不同情況下的攻擊區(qū)以及捕獲逃逸區(qū)進(jìn)行仿真計(jì)算，隨后在目標(biāo)初始攔截點(diǎn)在捕獲區(qū)及逃逸區(qū)兩種情況下對(duì)捕獲逃逸區(qū)進(jìn)行驗(yàn)證。

5.1 不同情況下的捕獲逃逸區(qū)仿真

取攔截彈質(zhì)量為m0=8 kg，推力Pm,max=300 N，Im,gg0=2100 m/s，tm,max=9s，初始速度為vm0=3000 m/s。目標(biāo)質(zhì)量為mm0=200kg，推力Pt,max=1950N，It,gg0=2000m/s，初始速度為vt0=7000 m/s。當(dāng)初始相對(duì)距離rt0=50000 m，攔截時(shí)間Tfn=6.36 s，即攔截時(shí)間小于軌控發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間時(shí)，計(jì)算得到的捕獲逃逸區(qū)如圖6所示。

圖6 攔截彈攻擊區(qū)及捕獲界柵(Tfn

為了便于觀察，圖6中將攻擊區(qū)中相關(guān)坐標(biāo)均減去(α0,β0)。在攔截初始時(shí)刻，當(dāng)目標(biāo)投影位于不可逃逸區(qū)以內(nèi)，說明目標(biāo)即使全速規(guī)避仍會(huì)被攔截彈攔截；若目標(biāo)投影位于不可逃逸區(qū)以外，則說明初始偏差加上目標(biāo)機(jī)動(dòng)距離超出攔截彈機(jī)動(dòng)能力，攔截將失敗。

當(dāng)初始相對(duì)距離rt0=80000 m，攔截時(shí)間Tfn=10.36 s，即攔截時(shí)間大于攔截彈軌控發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間時(shí)，具體分兩種情況進(jìn)行討論：

1) 設(shè)目標(biāo)軌控發(fā)動(dòng)機(jī)最大工作時(shí)間為8 s，即小于攔截彈。由圖7(a)可知，此種情況下的攔截彈攻擊區(qū)大于初始相對(duì)距離50000 m時(shí)。此時(shí)，若目標(biāo)初始位置位于不可逃逸區(qū)內(nèi)，則至攔截前目標(biāo)軌控發(fā)動(dòng)機(jī)將先停止工作，最后被攔截彈攔截。若處于不可逃逸區(qū)外，則表明初始偏差加上目標(biāo)機(jī)動(dòng)距離已超出攔截彈最大機(jī)動(dòng)范圍，攔截失敗。

2) 設(shè)目標(biāo)軌控發(fā)動(dòng)機(jī)最大工作時(shí)間為11 s，即大于攔截彈。此種情況下，目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力雖弱于攔截彈，但攜帶燃料充足，可較長時(shí)間實(shí)施機(jī)動(dòng)。此時(shí)計(jì)算得到的捕獲逃逸區(qū)如圖7(b)所示。由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)間較長，使得攔截彈末端的攻擊范圍雖然大于圖6，但是其不可逃逸區(qū)所占比例卻較圖6與圖7(a)明顯減少，亦即對(duì)攔截彈末端的相對(duì)初始狀態(tài)要求提高，從而對(duì)攔截彈末端助推火箭與攔截彈末制導(dǎo)交接班條件提出了更高要求。

5.2 初始期望攔截點(diǎn)投影位于捕獲區(qū)

現(xiàn)以圖7(b)為例進(jìn)行捕獲逃逸區(qū)的仿真校驗(yàn)。將攔截彈發(fā)射慣性系原點(diǎn)平移至初始時(shí)刻攔截彈質(zhì)心，簡稱新的坐標(biāo)系為平移發(fā)慣系。設(shè)攔截彈在平移發(fā)慣系下的初始狀態(tài)為rm0=[0,0,0]Tm，vm0=[193.735,2750.783,1181.379]Tm/s，目標(biāo)在攔截彈平移發(fā)慣系下的初始狀態(tài)為rt0=[74033.326,27361.611,13054.073]Tm，vt0=[-7000,0,0]Tm/s，目標(biāo)初始狀態(tài)位于攔截彈捕獲區(qū)。

本文采用最經(jīng)典且常用的真比例導(dǎo)引(True proportion navigation,TPN)制導(dǎo)律作為攔截彈制導(dǎo)律進(jìn)行研究，攔截彈TPN制導(dǎo)律中的N=4。引入一階慣性環(huán)節(jié)來表示過載指令從產(chǎn)生到執(zhí)行過程中的延遲影響

(26)

取過載指令響應(yīng)時(shí)間常數(shù)τ=0.1 s。初始相對(duì)距離為rt0=80000 m，文中所有仿真均以相對(duì)距離為零或接近速率大于等于零作為仿真終止條件。以此為基礎(chǔ)進(jìn)行仿真校驗(yàn)。將初始狀態(tài)在捕獲區(qū)的投影以及攔截過程在攻擊區(qū)的投影在圖8進(jìn)行展示。

圖8 目標(biāo)初始位于捕獲區(qū)時(shí)的攻擊區(qū)Fig.8 Attack area when initial state of target in the capture region

將攔截過程中攔截彈與目標(biāo)軌跡在三維坐標(biāo)中顯示見圖9。可見，攔截彈在目標(biāo)最優(yōu)機(jī)動(dòng)時(shí)同樣可以成功進(jìn)行攔截。

從圖10可以看出，初始時(shí)攔截彈均是以最大加速度制導(dǎo)接近，由于考慮了能量約束，攔截彈質(zhì)量因燃料消耗逐漸減少，因此由式(17)計(jì)算得到的最大加速度逐漸增加。當(dāng)目標(biāo)不機(jī)動(dòng)時(shí)攔截彈所需加速度先短暫維持最大,隨后快速減小并在最后趨近于零,當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)攔截彈所需加速度較前者減小較慢且進(jìn)入盲區(qū)前加速度約為21m/s。

圖9 攔截彈與目標(biāo)軌跡變化(捕獲區(qū))Fig.9 The trajectory variation of KKV and target (capture region)

圖10 不同情況下攔截彈加速度變化(捕獲區(qū))Fig.10 The acceleration variation of KKV in different cases (capture region)

5.3 初始期望攔截點(diǎn)投影位于逃逸區(qū)

設(shè)攔截彈在平移發(fā)慣系下的初始狀態(tài)為rm0=[0,0,0]Tm，vm0=[109.612,2762.576,1164.541]Tm/s，目標(biāo)在攔截彈平移發(fā)慣系下的初始狀態(tài)為rt0=[74033.326,27361.611,13054.073]T，vt0=[-7000,0,0]Tm/s，目標(biāo)初始狀態(tài)位于攔截彈逃逸區(qū)。其它仿真條件與第5.2節(jié)中相同。圖11為初始狀態(tài)在逃逸區(qū)的情況以及攔截過程在攻擊區(qū)的投影。

圖11 目標(biāo)初始位于逃逸區(qū)時(shí)的攻擊區(qū)Fig.11 Attack area when initial state of target in the escape region

從圖11可以看出，當(dāng)目標(biāo)不機(jī)動(dòng)時(shí)的攔截點(diǎn)位于逃逸區(qū)時(shí)，攔截彈只能在目標(biāo)不機(jī)動(dòng)時(shí)對(duì)其進(jìn)行攔截。當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行最優(yōu)機(jī)動(dòng)時(shí)，攔截彈最終位于攻擊區(qū)邊界，而目標(biāo)處于攻擊區(qū)外，即攔截失敗。

將攔截過程中攔截彈與目標(biāo)軌跡在三維坐標(biāo)中顯示如圖12。仿真數(shù)據(jù)顯示，攔截彈在仿真停止時(shí)刻的脫靶量為134.81m?？梢?，攔截彈在目標(biāo)進(jìn)行最優(yōu)規(guī)避機(jī)動(dòng)時(shí)攔截失敗。

圖12 攔截彈與目標(biāo)軌跡變化(逃逸區(qū))Fig.12 The trajectory variation of KKV and target (escape region)

圖13為攔截過程加速度變化曲線。由圖13可知，初始時(shí)攔截彈均是以最大加速度制導(dǎo)接近，當(dāng)目標(biāo)不機(jī)動(dòng)時(shí)攔截彈所需加速度逐漸減小并在最后趨近于零，當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)攔截彈所需加速度一直維持在最大直至9s時(shí)攔截彈燃料耗盡，攔截失敗。

圖13 不同情況下攔截彈加速度變化(逃逸區(qū))Fig.13 The acceleration variation of KKV in different cases (escape region)

本節(jié)仿真首先對(duì)不同情況下的捕獲逃逸區(qū)進(jìn)行仿真和分析，隨后從目標(biāo)初始位于捕獲區(qū)與逃逸區(qū)兩種情況分別進(jìn)行仿真，所得結(jié)果驗(yàn)證了前文建模與分析的正確性。從仿真結(jié)果可以看出，本文所建立的捕獲逃逸區(qū)模型可以準(zhǔn)確地對(duì)攔截彈末端攻擊區(qū)進(jìn)行描述，具有可視性強(qiáng)和易于理解等優(yōu)點(diǎn)，可以應(yīng)用于助推火箭與攔截彈末制導(dǎo)交接班條件的研究中，為末端初始精度需求分析提供便利。需要指出的是，本文假設(shè)攔截彈采用的是TPN制導(dǎo)律，但是對(duì)于其它類型的制導(dǎo)律本文模型均是適用的。

6 結(jié) 論

針對(duì)高速目標(biāo)攔截問題，本文對(duì)動(dòng)能攔截彈逆軌攔截的末端攻擊區(qū)提出了一種建模方法。可以得到以下結(jié)論：

1)采用本文能量約束下的攻擊區(qū)模型，可根據(jù)末端攔截彈與目標(biāo)實(shí)際參數(shù)十分快捷的對(duì)攻擊區(qū)進(jìn)行計(jì)算，所推導(dǎo)的界柵表達(dá)式可準(zhǔn)確地對(duì)捕獲與逃逸區(qū)進(jìn)行描述。通過對(duì)不同條件下的初始參數(shù)對(duì)攻擊區(qū)影響進(jìn)行分析，可為助推火箭與攔截彈末制導(dǎo)交接班條件的研究提供一定參考，為末端初始精度需求分析提供便利。

2)攔截彈軌控發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間一定的情況下，Tfn≤tm,max時(shí)的攻擊區(qū)范圍小于Tfn>tm,max時(shí)的攻擊區(qū)；目標(biāo)軌控發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間大于攔截彈時(shí)，不可逃逸區(qū)所占攻擊區(qū)的比例較目標(biāo)軌控發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間小于攔截彈時(shí)的情況會(huì)出現(xiàn)明顯下降。

3)所提出的目標(biāo)最優(yōu)規(guī)避策略可保證目標(biāo)在初始位于逃逸區(qū)時(shí)成功對(duì)攔截彈的攻擊進(jìn)行規(guī)避。

[1] 鄧泓. 攔截衛(wèi)星末段攔截軌道的控制與規(guī)劃方法研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2012. [DengHong.Researchoncontrolandplanningofterminalinterceptingorbitfortheinterceptor[D].Harbin:HarbinInstituteofTechnology, 2012.]

[2] 于大騰，王華，尤岳，等. 不完備軌道信息下的LEO軌道面內(nèi)機(jī)動(dòng)檢測(cè)方法[J]. 宇航學(xué)報(bào)，2013, 34(3): 314-319. [YuDa-teng,WangHua,YouYue,etal.Anewin-planemaneuverdetectionmethodforincompleteorbitinformationofLEOspacecraft[J].JournalofAstronautics, 2013, 34(3): 314-319.]

[3] 黃詰，張友安，劉永新. 一種有撞擊角和視場(chǎng)角約束的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的偏置比例導(dǎo)引算法[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2016, 37(2): 195-202. [HuangJie,ZhangYou-an,LiuYong-xin.Abiasedproportionalguidancealgorithmformovingtargetwithimpactangleandfield-of-viewconstraint[J].JournalofAstronautics, 2016, 37(2): 195-202.]

[4] 高長生，李澗青，荊武興. 攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)偽裝制導(dǎo)律[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2016, 37(6): 737-743. [GaoChang-sheng,LiJian-qing,JingWu-xing.Motioncamouflagestrategyguidancelawforinterceptingmaneuveringtarget[J].JournalofAstronautics, 2016, 37(6): 737-743.]

[5]LiKB,ChenL.Commentonpartialintegratedmissileguidanceandcontrolwithfinitetimeconvergence[J].JournalofGuidance,Control,andDynamics, 2016, 39(3): 733-734.

[6] 白國玉，沈懷榮，李轅，等. 攔截高速目標(biāo)的全向真比例制導(dǎo)律研究[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào), 2016, 42(6): 1116-1125. [BaiGuo-yu,ShenHuai-rong,LiYuan,etal.Omnidirectionaltrueproportionalnavigation:novelguidancelawforinterceptionofhigh-speedtargets[J].JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics, 2016, 42(6): 1116-1125.]

[7]TaurDR.CompositeguidanceandnavigationstrategyforaSAMagainsthigh-speedtarget[C].AIAAGuidance，Navigation，andControlConferenceandExhibit,Austin,USA,August11-14,2003.

[8]PrasannaHM,GhoseD.Retro-proportional-navigation:anewguidancelawforinterceptionofhigh-speedtargets[J].JournalofGuidance,Control,andDynamics, 2012, 35(2): 377-386.

[9] 惠耀洛，南英，陳哨東, 等. 空空導(dǎo)彈動(dòng)態(tài)攻擊區(qū)的高精度快速算法研究[J]. 彈道學(xué)報(bào)，2015, 27(2): 39-45. [HuiYao-luo,NanYing,ChenShao-dong,etal.Researchonrapidandhigh-precisioncalculationofdynamicattackzoneforair-to-airmissile[J].JournalofBallistics, 2015, 27(2): 39-45. ]

[10] 張安柯，孔繁峨，賀建良. 目標(biāo)強(qiáng)機(jī)動(dòng)對(duì)中遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈可攻擊區(qū)的影響 [J]. 彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2016, 36(2): 21-25. [ZhangAn-ke,KongFan-e,HeJian-liang.Effectofstrongmaneuvertargetonattackingareaoflong-rangeair-to-airmissile[J].JournalofProjectiles,Rockets,MissilesandGuidance, 2016, 36(2): 21-25.]

[11] 楊榮軍，王良明，曹小兵, 等. 末段脈沖修正彈攻擊區(qū)研究 [J]. 彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2009，29(6): 162-165. [YangRong-jun,WangLiang-ming,CaoXiao-bing,etal.Studyonattackareaforterminalcorrectionprojectilewithimpulsethrustercontrol[J].JournalofProjectiles,Rockets,MissilesandGuidance, 2009, 29(6): 162-165.]

[12]TyanF，JengFS．CaptureregionofthreedimensionalPPNguidancelawagainstahighspeed-nonmaneuveringtarget[C].AmericanControlConference,Seattle,USA,Jun11-13,2008.

[13]LinYP，LinCL，LiYH．Developmentof3-Dmodifiedproportionalnavigationguidancelawagainsthigh-speedtargets[J]．IEEETransactionsonAerospaceandElectronicSystems，2013，49(1) : 677-687．

[14] 馮海丁, 王長慶, 趙民. 大氣層外動(dòng)能攔截器末制導(dǎo)階段的攔截域分析[J]. 航天控制, 2011, 29(1): 23-26. [FengHai-ding,WangChang-qing,ZhaoMin.Theanalyseofinterceptfieldintheendgameofexoatmosphericinterceptor[J].AerospaceControl, 2011, 29(1): 23-26.]

[15] 王黎光，景占榮，王玲玲. 攔截彈導(dǎo)引頭測(cè)量誤差對(duì)攔截效能的影響[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2012, 34(3): 578-591. [WangLi-guang,JingZhan-rong,WangLing-ling.Effectofinterceptingmissileseeker’smeasurementerroroninterceptionefficiency[J].SystemsEngineeringandElectronics, 2012, 34(3): 578-591. ]

[16] 端軍紅, 高曉光. 衛(wèi)星對(duì)動(dòng)能攔截器的一種規(guī)避策略[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2011, 32(9): 1953-1962. [DuanJun-hong,GaoXiao-guang.Anorbitmaneuverstrategyforthesatellitebasedonevaluatingthepregnableareaofincomingkinetickillvehicle[J].JournalofAstronautics, 2011, 32(9): 1953-1962.]

[17] 端軍紅, 高曉光. 動(dòng)能攔截器逆軌攔截時(shí)攻擊區(qū)的一種估算方法[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 27(6): 838-845. [DuanJun-hong,GaoXiao-guang.Anewandeffectivemethodforevaluatingpregnableareaofkinetickillvehicle(KKV)forsuccessfulhead-oninterceptionofhigh-speedtarget[J].JournalofNorthwesternPolytechnicalUniversity, 2009, 27(6): 838-845.]

[18]YuDT,WangH,LiKB.ThecaptureregionofTPNguidancelawfororbitalpursuit-evasionwithlimitedmaneuverability[C]. 2016IEEEChineseGuidance,NavigationandControlConference,Nanjing,China,August12-14, 2016.

通信地址：國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院1301教研室(410073)

電話：(0731)84576316

E-mail:ydt236500@126.com

Attack Area Modeling of Kinetic Kill Vehicle Head-on Interception with Energy Constraint

YU Da-teng1, WANG Hua1, LI Lin-sen1, WANG Hong-yu2

(1. College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China; 2. Shanghai Aerospace System Engineering Research Institute, Shanghai 201109, China)

A final phase attack area modeling method of a kinetic kill vehicle (KKV) and an optimal evasive strategy of a target is proposed in this paper to analyze the opposed process between KKV and the high speed target. Firstly, based on the analysis of the space geometry, the projection of the maneuvering range of both KKV and target in the attack area is calculated. Based on the established model, the calculating methods of the capture region, escape region and barrier are derived and the explicit formulation is obtained. Then, the fuel consumption is introduced as a condition of the energy constraint. Thus, the attack area calculating model is established with the energy constraint. According to the attack area model, the optimal evasive strategy is obtained through the analysis of the attack area and projection calculation. Finally, the simulation results show the effectiveness of the model, projection calculation and optimal evasive strategy. Using the proposed model, the capture and escape region can be calculated in a convenient way. With the analysis of the attack area in different cases, the model proposed in this paper can offer convenience for research on the conditions of the association of the booster and KKV.

Kinetic kill vehicle (KKV); Head-on interception; Attack area; Capture region; Escape region; Energy constraint; Evasive strategy

2017-01-06;

2017-05-19

國家自然科學(xué)基金(11572345)

V412.4

A

1000-1328(2017)07-0704-10

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.07.000

于大騰(1988-)，男，博士生，主要從事航天器系統(tǒng)仿真與軌道追逃方面研究。